∴P（B）=
（III）∵参加演讲比赛的每一位选手获奖的概率均为， ∴本题是一个独立重复试验，
该单位至少有一名选手获奖包括一个获奖、两个获奖，三个获奖三种结果， 设该单位至少有一名选手获奖的概率为P， 则P=P3（1）+P3（2）+P3（3）=
．
点评：本题的第三问也可以这样解：P=1﹣
=
，这是一个独立重复试验，解题时关键是看出题目的实质，
参加演讲比赛的每一位选手获奖的概率均为，这是题目的突破口．
20．（2008?湖南）甲、乙、丙三人参加一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约．甲表示只要面试合格就签约，乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设每人合格的概率都是，且面试是否合格互不影响．求：
（I）至少有一人面试合格的概率； （II）没有人签约的概率．
考点：相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件与对立事件。 专题：计算题。
分析：（I）至少有一人面试合格的对立事件是三个人面试都不合格，根据每人合格的概率都是，且面试是否合格互不影响，做出三个人都不合格的概率，根据对立事件的概率得到结果．
（II）没有人签约包括三种情况，甲不合格，且乙和丙恰有一个不合格；甲不合格且乙和丙都不合格，这三种情况是互斥的，根据相互独立事件的概率和互斥事件的概率公式，得到结果． 解答：解：用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格． 由题意知A，B，C相互独立，且P（A）=P（B）=P（C）=． （Ⅰ）至少有1人面试合格的概率是（II）没有人签约的概率为
=
点评：本题考查相互独立事件同时发生的概率，考查互斥事件的概率，是一个基础题，题目中对于乙和丙的叙述比较难理解，“乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．”，这里容易漏掉结果．
21．（2008?北京）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者． （Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率． 考点：等可能事件的概率。 分析：（Ⅰ）由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件是6个人分到4个岗位，每个岗位至少有一名志愿者共有C52A44种结果，满足条件的事件数A33，根据古典概型公式得到结果．
（2）由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件是6个人分到4个岗位，每个岗位至少有一名志愿者共有C52A44种结果，甲、乙两人不在同一个岗位服务的对立事件是两个人在一个岗位上，由对立事件概率公式得到结果．
解答：解：（Ⅰ）由题意知本题是一个古典概型， 记甲、乙两人同时参加A岗位服务为事件EA，
∵试验包含的所有事件是6个人分到4个岗位，每个岗位至少有一名志愿者共有C52A44种结果， 满足条件的事件数A33 ∴
，
（Ⅱ）由题意知本题是一个古典概型，
设甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E，
∵试验包含的所有事件是6个人分到4个岗位，每个岗位至少有一名志愿者共有C5A4种结果， 不满足条件的事件数A44 ∴
，
2
4
∴由对立事件的概率公式得到
甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是
．
点评：本题主要考查古典概型和排列组合，排列与组合问题要区分开，若题目要求元素的顺序则是排列问题，排列问题要做到不重不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素．
22．（2007?重庆）设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为（Ⅰ）若甲、乙各射击一次，求甲命中但乙未命中目标的概率； （Ⅱ）若甲、乙各射击两次，求两人命中目标的次数相等的概率．
考点：相互独立事件的概率乘法公式；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率。 专题：计算题。
分析：本题考查的知识点是相互独立事件的概率乘法公式和加法公式，
（Ⅰ）甲、乙各射击一次，甲命中但乙未命中目标，分为两步，由甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为
，
，且各次射击相互独立．
我们易得甲命中但乙未命中目标的概率，代入计算即可得到结果； （Ⅱ）甲、乙各射击两次，求两人命中目标的次数相等，包括三种情况，即均不中，均中一次，均中两次，则两人命中次数相等的概率为
P（A0B0）+P（A1B1）+P（A2B2），代入计算即可得到答案． 解答：解：（Ⅰ）设A表示甲命中目标，B表示乙命中目标， 则A、B相互独立， 且P（A）=
，
从而甲命中但乙未命中目标的概率为
（Ⅱ）设A1表示甲在两次射击中恰好命中k次，B
1
表示乙有两次射击中恰好命中l次．
依题意有
由独立性知两人命中次数相等的概率为
P（A0B0）+P（A1B1）+P（A2B2）
=P（A0）P（B0）+P（A1）P（B1）+P（A2）+P（B2）
=
点评：本小题主要考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，要想计算一个事件的概率，首先我们要分析这个事件是分类的（分几类）还是分步的（分几步），然后再利用加法原理和乘法原理进行求解． 23．（2007?天津）已知甲盒内有大小相同的3个红球和4个黑球，乙盒内有大小相同的5个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球． （Ⅰ）求取出的4个球均为红球的概率； （Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率．
考点：互斥事件的概率加法公式；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率。 分析：（1）本小题主要考查互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，取出的4个球均为红球表示从甲盒内各任取2个红球，同时从乙盒中也取两个红球，记出事件得到概率用相互独立事件同时发生的概率公式计算． （2）看清楚取出的4个球中恰有1个红球包含的情况，从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球同时从乙盒内取出的2个红球为黑球，从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球．计算结果． 解答：解：（Ⅰ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为红球”为事件A，“从乙盒内取出的2个球均为红球”为事件B．由于事件A，B相互独立，且
，
，
故取出的4个球均为红球的概率是．
（Ⅱ）解：设“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球为黑球”为事件C，“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件D．由于事件C，D互斥，且
，
．
故取出的4个红球中恰有4个红球的概率为．
点评：考查运用概率知识解决实际问题的能力，相互独立事件是指，两事件发生的概率互不影响，注意应用相互独立事件同时发生的概率公式．
24．（2007?陕西）某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰、已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为、、、，且各轮问题能否正确回答互不影响． （Ⅰ）求该选手进入第四轮才被淘汰的概率； （Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核的概率． （注：本小题结果可用分数表示）
考点：相互独立事件的概率乘法公式。
专题：计算题。 分析：（1）该选手进入第四轮才被淘汰，表示前三轮通过，第四轮淘汰，则该选手进入第四轮才被淘汰的概率P=
式即可求解．
（2）求该选手至多进入第三轮考核表示该选手第一轮被淘汰，或是第二轮被淘汰，或是第三轮被淘汰，则该选手至多进入第三轮考核的概率即可求解．
，根据已知条件，算出式中各数据量的值，代入公
，根据已知条件，算出式中各数据量的值，代入公式
解答：解：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件为Ai（i=1，2，3，4）， 则
，
，
，
，
∴该选手进入第四轮才被淘汰的概率
===
．
（Ⅱ）该选手至多进入第三轮考核的概率
==
点评：本小题主要考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，要想计算一个事件的概率，首先我们要分析这个事件是分类的（分几类）还是分步的（分几步），然后再利用加法原理和乘法原理进行求解． 25．（2007?江西）栽培甲、乙两种果树，先要培育成苗，然后再进行移栽．已知甲、乙两种果树成苗 的概率分别为0.6，0.5，移栽后成活的概率分别为0.7，0.9． （1）求甲、乙两种果树至少有一种果树成苗的概率； （2）求恰好有一种果树能培育成苗且移栽成活的概率． 考点：相互独立事件的概率乘法公式。 专题：计算题。
分析：（1）甲、乙两种果树至少有一种果树成苗的对立事件是两颗果树都不成苗，用对立事件的概率公式得到结果． （2）本题考查互斥事件和相互独立事件同时发生的概率，记出事件，表示出符合题意的事件，用相互独立事件的公式写出概率的表达式，得到结果．
解答：解：（1）分别记甲、乙两种果树成苗为事件A1，A2； P（A1）=0.6，P（A2）=0.5，P（B1）=0.7，P（B2）=0.9． ∴甲、乙两种果树至少有一种成苗的概率为
（2）分别记甲、乙两种果树苗移栽成活为事件B1，B2， 分别记两种果树培育成苗且移栽成活为事件A，B，
则P（A）=P（A1B1）=0.42，P（B）=P（A2B2）=0.45． 恰好有一种果树培育成苗且移栽成活的概率为
点评：本题的第二问还可以这样解：恰好有一种果树栽培成活的概率为
．
26．（2007?江苏）某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留到小数点后面第2位） （1）5次预报中恰有2次准确的概率； （2）5次预报中至少有2次准确的概率；
（3）5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率． 考点：n次独立重复试验中恰好发生k次的概率。
；
．
专题：计算题；应用题。 分析：（1）本题是一个独立重复试验，事件发生的概率是0.8，有5次恰好发生2次，根据独立重复试验概率公式写出结果．
（2）本题是一个独立重复试验，事件发生的概率是0.8，5次预报中至少有2次准确的对立事件是5次预报中只有1次准确，根据对立事件的概率和独立重复试验的概率公式得到概率．
（3）本题是一个独立重复试验，事件发生的概率是0.8，5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确，表示除第三次外另外四次恰有一次正确，根据独立重复试验的概率公式得到概率． 解答：解：（1）由题意知，本题是一个独立重复试验，事件发生的概率是0.8， 5次预报中恰有2次准确的概率是
（2）由题意知，本题是一个独立重复试验，事件发生的概率是0.8，
5次预报中至少有2次准确的对立事件是5次预报中只有1次准确和都不准确， 根据对立事件的概率和独立重复试验的概率公式得到
（3）由题意知，本题是一个独立重复试验，事件发生的概率是0.8 5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确， 根据独立重复试验的概率公式得到
点评：本题考查独立重复试验的概率，考查对立事件的概率，是一个综合题，题目中易错点是5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确，这里表示表示除第三次外另外四次恰有一次正确，不要出错．
27．（2007?湖南）某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训．已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%．假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响． （Ⅰ）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率； （Ⅱ）任选3名下岗人员，求这3人中至少有2人参加过培训的概率． 考点：等可能事件的概率；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率。 专题：计算题。
分析：（1）欲求该人参加过培训的概率，可先其对立事件的概率，即求该人没有参加过培训的概率，结合对立事件的两个概率之和为1求解即可；
（2）任选3名下岗人员，包括两种情形，3人中只有2人参加过培训或3人都参加过培训，分别求出它们的概率后相加即可．
解答：解：任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A，“该人参加过计算机培训”为事件B，由题设知，事件A与B相互独立，且P（A）=0.6，P（B）=0.75． （I）任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是所以该人参加过培训的概率是1﹣P1=1﹣0.1=0.9．
（II）任选3名下岗人员，3人中只有2人参加过培训的概率是P4=C32×0.92×0.1=0.243． 3人都参加过培训的概率是P5=0.9=0.729．
所以3人中至少有2人参加过培训的概率是P4+P5=0.243+0.729=0.972．
点评：本题考查概率的求法与运用，相互独立的两个事件同时发生的概率计算的一般方法：A，B独立，由P（AB）=P（A）×P（B）． 28．（2007?福建）甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别为0、7、0、6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：
（I）甲试跳三次，第三次才能成功的概率；
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