（2） 若a>2，则0?11?.当x变化时，f’(x),f（x）的变化情况如下表： a20 0 极大值 X f’(x) f(x) ?1?0? ??，?2?+ ?1??0，? ?a?- 1 a0 极小值 ?11??，? ?a2?+ ? ? ? ?5?a?1>0,f(-)>0,???2?8?11?当x???，?时，f（x）>0等价于?即?
1122???f()>0,?1->0.2???a?2a解不等式组得
22.因此2
综合（1）和（2），可知a的取值范围为0
（21）（本小题满分14分）
x2y23已知椭圆2?2?1（a>b>0）的离心率e=，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积ab2为4.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为（-a，0）. （i）若|AB|=42，求直线l的倾斜角；5
???????? （ii）若点Q在线段AB的垂直平分线上，且QA?（0，y0）QB=4.求y0的值.
【解析】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、
直线的倾斜角、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查综合分析与运算能力.满分14分.
（Ⅰ）解：由e=
c322222?，得3a?4c.再由c?a?b，解得a=2b. a2由题意可知
1?2a?2b?4，即ab=2. 2解方程组??a?2b,得a=2，b=1.
?ab?2,
x2?y2?1. 所以椭圆的方程为4(Ⅱ)(i)解：由（Ⅰ）可知点A的坐标是（-2,0）.设点B的坐标为(x1,y1)，直线l的斜率为k.则直线l的方程为y=k（x+2）.
?y?k(x?2),?于是A、B两点的坐标满足方程组?x2消去y并整理，得 2??y?1.?4(1?4k2)x2?16k2x?(16k2?4)?0.
4k16k2?42?8k2y?x?由?2x1?，得.从而. 111?4k21?4k21?4k2?2?8k2??4k?41?k2所以|AB|???2?. ???2?2?21?4k??1?4k?1?4k?4241?k242由|AB|?，得. ?251?4k522整理得32k?9k?23?0，即(k?1)(32k?23)?0，解得k=?1.
4222所以直线l的倾斜角为
?3?或.
44?8k22k?,（ii）解：设线段AB的中点为M，由（i）得到M的坐标为??. 22??1?4k1?4k?以下分两种情况：
（1）当k=0时，点B的坐标是（2,0），线段AB的垂直平分线为y轴，于是
????????????????QA???2,?y0?,QB??2,?y0?.由QA?QB?4，得y0??22。
2k1?8k2?（2）当k?0时，线段AB的垂直平分线方程为y?。 ???x?22?1?4kk?1?4k?6k。
1?4k2????????由QA???2,?y0?，QB??x1,y1?y0?，
令x?0，解得y0??
?????????2?2?8k2?6k?4k6k? QA?QB??2x1?y0?y1?y0????22?22?1?4k1?4k?1?4k1?4k??4?16k4?15k2?1??1?4k?222?4，
整理得7k?2。故k??14214。所以y0??。 75214 5综上，y0??22或y0??
（22）（本小题满分14分）
在数列?an?中，a1=0，且对任意k?N，a2k?1,a2k,a2k+1成等差数列，其公差为2k.
*（Ⅰ）证明a4,a5,a6成等比数列；（Ⅱ）求数列?an?的通项公式；
32232n22n?2）（Ⅲ）记Tn?. ??????，证明?2n?Tn?（2a2a3an【解析】本小题主要考查等差数列的定义及前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等基
础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法，满分14分。
（I）证明：由题设可知， a3?a2?2?4，a5?a4?4?12，a2?a1?2?2，a4?a3?4?8，
a6?a5?6?18。
从而
a6a53??，所以a4，a5，a6成等比数列。 a5a42
（II）解：由题设可得a2k?1?a2k?1?4k,k?N*所以a2k?1?a1??a2k?1?a2k?1???a2k?1?a2k?3??...?a3?a1? ?4k?4?k?1??...?4?1 ?2k?k?1?,k?N*.
由a1?0，得a2k?1?2k?k?1? ，从而a2k?a2k?1?2k?2k2.
?n2?1n,n为奇数2??1?1??n?2所以数列?an?的通项公式为an??或写为an?，n?N*。 ?224?n,n为偶数??2（III）证明：由（II）可知a2k?1?2k?k?1?，a2k?2k2， 以下分两种情况进行讨论：
（1） 当n为偶数时，设n=2m?m?N*?
k2若m?1，则2n???2，
k?2akn
若m?2，则
mm2k?m?1?2k?1??k24k2m?14k2?4k?1??????2???aaak?2kk?1k?1k?12kk?12k?k?1?2k2k?1nm?1?4k2?4k?1?1?11????2m?2?? ?2m???????? ?2kk?12kk?12kk?1????????k?1?k?1?m?122
?2m?2?m?1??n1?1?31?1?n2??. ??2?m?2nnk2313k2所以2n????，从而?2n???2,n?4,6,8,....
2n2k?2akk?2ak（2） 当n为奇数时，设n?2m?1?m?N*?。
2?2m?1?k22mk2?2m?1?31???4m?????a2m?122m2m?m?1?k?2akk?2akn2
1131?4m???2n??22?m?1?2n?1n
nk2313k2所以2n??，从而?2n?????2,n?3,5,7,....
2n?12k?2akk?2ak综合（1）和（2）可知，对任意n?2,n?N*,有
3?2n?Tn?2. 2