泰勒斯（公元前624?前547），古希腊学者，西方理性数学的倡导者，素有“科学之父”的美称．他不满足于直观的感性的特殊认识，崇尚抽象的理性的一般的知识，发现了许多平面几何定理，泰勒斯在天文学方面也有不同凡响的工作，相传他曾测知公元前585年5月28日的一次日全食，他不愧于其墓碑上镌刻的颂词：“他是一位圣贤，又是一位天文学家，在日月星辰的王国里，他顶天立地，万古流芳．” 25．多边形的边与角 解读课标
大街上的人行道，装修一新的居家，在许多地方，我们可以看到由各种形状（呈多边形）的地砖或瓷砖铺成的漂亮的地面和墙面．
一般地，由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连接组成的平面图形称为n边形，又称多边形． 边、角、对角线是多边形中最基本的概念．
多边形的许多性质常可以用三角形来说明、解决，连对角线或向外补形，是把多边形问题转化为三角形问题来解决的基本策略．
多边形的内角和性质反映出一定的规律性：?n?2??180?随n的变化而变化，而多边形的外角和性质反映出更本质的规律：外角和是360?的一个常数．把内角问题转化为外角问题，以静制动是解多边形相关问题的常用技巧． 问题解决
例1 如图，?A??B??C??D??E??F?__________．
EFDGHA
CB试一试运用三角形外角的性质，或连线运用对顶三角形的性质，把分散的角加以集中． 例2凸多边形恰好有三个内角是钝角，这样的多边形边数的最大值是（）． A．4 B．5 C．6 D．7
试一试把凸多边形内角问题转化为外角问题．
例3凸n边形除去一个内角外，其余内角和为2570?，求n的值．
试一试设除去的角为x?，可建立关于x，n的不定方程；又0??x?180?，又可得到关于n的不等式，故有两种解题途径，注意n为自然数的隐含条件．
例4如图，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AD∥BC，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F．证明：?BAD??EAF?180?．
ADFBEC
试一试从四边形AECF内角和入手． n角星
例5 （1）如图①，任意画一个五角星，求?A??B??C??D??E??F度数．
（2）如图②，用“一笔画”方法画成的七角形，求?A??B??C??D??E??F??G度数． （3）如图③，用“一笔画”方法画成的2n?1角形?n≥2?，且B1B2?B2nB2n?1是凸2n?1边形，求?A1??A2??A3????A2n??A2n?1度数．
A2A1B1B2n+1B2nB9A2n+1A2nA9AEJKBLAIDHMNC图②GA3A4A5B3B4B2BE
B5A6B8B6A7图③B7A8C图①DF分析从特殊到一般，将所求的度数用相关三角形、凸多边形内角和的式子表示． 解（1）180? （2）540?
?A1??A2????A2n??A2n?1?（3）（2n?1个三角形A1B1B2n?1，A2B2B1，A3B3B2，?，A2nB2nB2n?1，A2n?1B2n?1B2n的内角总和减去多边形B1B2?B2nB2n?1外角和的2倍）??2n?1??180??360??2??2n?3??180?． 完全多边形
把平面上的一些点以及这些点中某些点之间连接的线段，称为一个图．如图，这样的图有6个点，每两点之
n?n?1?间都有一条线，称为完全六边形．一个完全n边形共有条连线．
2
例6证明：任何6个人中，必有3个人互相认识，或者有3个人互相不认识． 分析与解借助图表示这一抽象的思想．
用点A1，A2，?，A6代表6个人，两个人互相认识则在对应的两点间连一条红边，否则连一条蓝边，问题转化为图中必有三边同色的三角形．
考虑A1与5条引线，因为只染了两种颜色，由抽屉原理知必有3条同色，不妨设A1A2，A1A3，A1A4同为红
A3A4，A4A2中有红边，A3A4，A4A2无红边，色；若A2A3，则有红色△A1AiAj?2≤i,j≤4?；若A2A3，则△A2A3A4为蓝色三角形，无论哪种情况，图中都有同色三角形．
A1
A2A3A4数学冲浪
知识技能广场
????3?41．如图，?1、?2、?3、?4是五边形ABCDE的4个外角，若?A?120?，则?1??2_______．
3E4D2C
1AB2．如图①，将一块正六边形硬纸片做成一个底面仍是正六边形且高相等的无盖纸盒（侧面均垂直于底面，如图②），需在每一个顶点处剪去一个四边形，如图①中的四边形AGA'H，那么?GA'H的度数为_______．
HAGA'
图②图①3．如图，?1??2??3??4??5??6??7的度数为_____________．
2351
7464．用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图①，用n个全等的正六边形按这种方式拼接，如图②，若围成一圈后中间也形成一个正多边形，则n的值为___________．
图①图②5．将五边形纸片ABCDE按如图所示的方式折叠，折痕为AF，点E、D分别落在E'、D''上，已知?AFC?76?，则?CFD'等于（）．
A．31? B．28? C．24? D．22?
ABE'CD'FDE
6．如图，已知正五边形ABCDE中，?． 1??2，?3??4，则x?（）A．30? B．45? C．40? D．36?
A1x3BE
2C4D7．一个凸多边形的每一内角都等于140?，那么，从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是（）． A．9条 B．8条 C．7条 D．6条
8．一个凸n边形，除一个内角外，其余n?1个内角的和是2400?，则n的值是（）． A．15 B．16 C．17 D．不能确定
9．如图，已知DC∥AB，?BAE??BCD，AE⊥DE，?D?130?，求?B的度数．
DEABC
10．如图，在四边形ABCD中，?B??D?90?，AE、CF分别平分?BAD和?BCD．求证：AE∥CF．
DEC
AFB思维方法天地
11．从凸n边形的一个顶点引出的所有对甬线把这个凸n边形分成了m个小三角形，若m等于这个凸n边形
4对角线条数的，那么此n边形的内角和为________．
912．一个多边形截去一个（三角形状的）角后，形成另一个多边形，其内角和是3060?，则原多边形是_________边形．
13．如图，设?CGE?120?，则?A??B??C??D??E??F?__________．
AECαGBDF
14．如图，?A??B??C??D??E??F??G??H??I??K的度数为_________．
BAGKCHIDEF
15．如图，?A??B??C??D??E??F??G的度数等于（）． A．360? B．450?C．540?D．720?
AGBFCMNDE
16．在一个多边形中，除了两个内角外，其内角之和为2002?，则这个多边形的边数为（）． A．12 B．12或13 C．14 D．14或15
17．有一个边长为4m的正六边形客厅，用边长为50cm的正三角形瓷砖铺满，则需要这种瓷砖（）． A．216块 B．288块 C．384块 D．512块
18．一位模型赛车手遥控一辆赛车，先前进一米，然后原地逆时针方向旋转???0?????180??，被称为一次操作，若5次操作后发现赛车回到出发点，则??角为（）． A．720? B．108?或144? C．144?D．720?或144?
19．如图，在凸六边形ABCDEF中，已知?A??B??C??D??E??F成立，试证明：该六边形必有两条对边是平行的．
CBD
AFE20．已知凸四边形ABCD中，?A??C?90?．
（1）如图①，若DE平分?ADC，BF平分?ABC的邻补角，判断DE与BF的位置关系并证明； （2）如图②，若BF、DE分别平分?ABC、?ADC的邻补角，判断DE与BF的位置关系并证明．
ADACBEF图①BF图②DEC
应用探究乐园 21．（1）如图①，把等边三角形的各边三等分，分别以居中那条线段为一边向外作等边三角形，并去掉居中的那条线段，得到一个六角星，则这个六角星的边数是_________；