图①图②图③（2）如图②，在5?5的网格中有一个正方形，把正方形的各边三等分，分别以居中那条线段为一边向外作正方形，并去掉居中的那条线段．请你把得到的图形画在图③中，并写出这个图形的边数；
（3）现有一个正五边形，把正五边形的各边三等分，分别以居中那条线段为一边向外作正五边形，并去掉居中的那条线段，得到的图形的边数是多少？
22．平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．
ACP图①OBDC图②APBBPCDQA图③DABFCD图④E
（1）如图①，若AB∥CD，点P在AB，CD外部，则有?B??BOD，又因为?BOD是△POD的外角，故?BOD??BPD??D，得?BPD??B??D．将点P移到AB，CD内部，如图②，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则?BPD，?B，?D之间有何数量关系？请证明你的结论；
（2）如图②中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图③，则?BPD，?B，?D，?BQD之间有何数量关系？（不需证明）
（3）根据（2）的结论，求图④中?A??B??C??D??E??F的度数． 微探究 平面镶嵌
平面镶嵌就是用同样形状的平面几何图形无缝隙又不重复地铺满整个平面．
我们研究的镶嵌是：镶嵌的正多边形的边长都相等，每个顶点都是同样数目的一些同样形式的多边形的公共点．
镶嵌的实质在于，围绕一点拼在一起的若干个多边形的内角加在一起恰为360?，镶嵌图案有下列多种方式： 1．任意三角形和任意四边形都能镶嵌； 2．用同一种正多边形进行镶嵌； 3．用几种正多边形组合镶嵌． 对于（2）、（3），可以证明：能镶嵌整个平面的只有11种．如图：
例1 用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点拼在一起，刚好能完全铺满地面，设正多边形的边数为
111x、y、z，则??的值为________．
xyz试一试从建立x、y、z的等式入手．
例2 现有四种地面砖，它们的形状分别是：正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等，同时选择其中两种地面砖密铺地面，选择的方式有（）． A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
试一试假设选择正三角形与正方形，设在一个顶点周围有m个正三角形，n个正方形，则60m?90n?360，即2m?3n?12，将问题转化为求不定方程正整数解，类似探讨其他选择方式． 例3 问题再现
现实生活中，镶嵌图案在地面、墙面乃至于服装面料设计中随处可见，对于单种多边形的镶嵌，主要研究了三角形、四边形、正六边形的镶嵌问题，今天我们把正多边形的镶嵌作为研究问题的切入点，提出其中几个问题，共同来探究．
我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面，如图，用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点O周围围绕着4个正方形的内角．
试想：如果用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着________个正六边形的内角．
O
问题提出
如果我们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面，可能设计出几种不同的组合方案？ 问题解决
猜想1：是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？
分析：我们可以将此问题转化为数学问题来解决，从平面图形的镶嵌中可以发现，解决问题的关键在于分析能同时用于完整镶嵌平面的两种正多边形的内角特点．具体地说，就是在镶嵌平面时，一个顶点周围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角．
验证1：在镶嵌平面时，设围绕某一点有x个正方形和y个正八边形的内角可以拼成一个周角．根据题意，可得方程：
90x??8?2??180?y?360，整理得：2x?3y?8，
8?x?1我们可以找到唯一一组适合方程的正整数解为?．
y?2?结论1：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正方形和2个正八边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌．
猜想2：是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？若能，请按照上述方法进行验证，并写出所有可能的方案；若不能，请说明理由． 验证2：_________________________________________ 结论2：_________________________________________
上面，我们探究了同时用两种不同的正多边形组合镶嵌平面的部分情况，仅仅得到了一部分组合方案，相信同学们用同样的方法，一定会找到其他可能的组合方案． 问题拓展
请你依照上面的研究方式，探索出一个同时用三种不同的正多边形组合进行平面镶嵌的方案，并写出验证过程．
猜想3：_____________________________________ 验证3：_____________________________________ 结论3：_____________________________________ 拼图的背后
例4 同时用边长相等的正三角形和正方形拼（无重叠无间隙）凸多边形，能拼成怎样的凸多边形？ 分析要得到完整的解答，需将问题转化为解方程组．
解设可以拼成凸n边形，n边形的内角只可能是60?，90?，120?，150?．并设其个数分别为x，y，z，w（x，y，z，w为大于等于零的整数）． ??x?y?z?w?n① 则?60x?90y?120z?150w?n?2?180②????由②得2x?3y?4z?5w?6n?12③ ①?6?③得4x?3y?2z?w?12④
∴n?x?y?z?w≤4x?3y?2z?w?12．
由此可见，拼得的多边形最大边数为12．下面我们分情况一一探讨．
?x?y?z?w?12（1）当n?2时，由?，得3x?2y?z?0，
4x?3y?2z?w?12?∴?x,y,z,w???0,0,0,12?．
这说明可以拼成十二边形，且这十二边形的每个内角均为150?，如图①．
?x?y?z?w?11（2），当n?11时，由?，得3x?2y?z?1，
4x?3y?2z?w?12?∴?x,y,z,w???0,0,1,10?．
这说明，可以拼成十一边形，且这十一边形中有一个内角为120?，其余各内角均为150?，如图②．
?x?y?z?w?10（3）当n?10时，由?，得3x?2y?z?2，
4x?3y?2z?w?12?∴?x,y,z,w???0,0,2,8?．
这说明可以拼成十边形，且这十边形中有2个内角为120?，有8个内角为150?，如图③．
?x?y?z?w?9（4）当n?9时，由?，得3x?2y?z?3，
?4x?3y?2z?w?12∴?x,y,z,w???0,0,3,6?．
这说明可以拼成九边形，且这九边形中有3个内角为120?，有6个内角为150?，如图④． 同理，可以拼成八边形、七边形、六边形、五边形，分别如图⑤、⑥、⑦、⑧．
图④(九边形)图①(十二边形)图②(十一边形)图③(十边形)
图⑥(七边形)图⑧(五边形)图⑤(八边形)图⑦(六边形)练一练 1．用大小相同的正六边形瓷砖按如图所示的方式来铺设广场，中间的正六边形瓷砖记为A，定义为第一组；在它的周围铺上6块同样大小的正六边形瓷砖，定义为第二组；在第二组的外围用同样大小的正六边形瓷砖来铺满，定义为第三组??按这种方式铺下去，用现有的2005块瓷砖最多能完整地铺满_______组，还剩_________块瓷砖．
A
2．花团锦簇
有一个正六边形花坛，周围用同样规格的正三角形、正方形砖块铺路，按图示方法从花坛向外铺10圈，共需砖_______块，其中正三角形砖_______块．若铺n圈，则共需砖_______块．
3．有下列五种正多边形地砖：①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形；⑤正八边形，现要用
同一种大小一样、形状相同的正多边形地砖铺设地面，其中能做到彼此之间不留空隙、不重叠地铺设的地砖有（）．
A．4种 B．3种 C．2种 D．1种
4．如图，一个正方形水池的四周恰好被4个正n边形地板砖铺满，则n等于（）． A．4 B．6C．8 D．10
5．在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌），这显然与正多边形的内角大小有关，当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360?）时，就拼成了一个平面图形． （1）请根据下列图形，填写表中空格；
…
3 5 6 ? n 4 正多边形边数 正多边形每个内角的度数 60? 90? ? （2）如果限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？
（3）从正三角形、正四边形、正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形（草图）；并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由． 微探究
三角形三边关系
三角形的三边关系是三角形最基本的性质，是解决三角形计数、研究线段不等关系、探讨几何最值等问题的基础．
例1 不等边三角形ABC的两条高的长度分别为4和12，若第三条高的长度也是整数，那么这条高的长度等于_________．
试一试设△ABC的面积为S、第三条高的长为h，则△ABC三边都可用S的代数式表示，由三边关系建立关于h的不等式组．
例2 已知三角形的三边a、b、c的长都是整数，且a≤b?c，如果b?7，则这样的三角形共有（）． A．21个 B．8个 C．9个 D．4个
试一试a的取值范围是明确的，依三角形三边关系，可确定c的取值范围，列表枚举出所有的可能性． 例3 如图，已知P为△ABC内任一点．
（1）AB?BC?CA与2?PA?PB?PC?哪个大？证明你的结论； （2）AB?BC?CA与PA?PB?PC哪个大？证明你的结论．
APBC
试一试对于（2），解题的关键是先证明：BP?PC?AB?AC，PA?PC?AB?BC，PA?PB?AC?BC．
例4 现有长为150cm的铁丝，要截成n?n?2?小段，每段的长为不小于1cm的整数．如果其中任意3小段都不能拼成三角形，试求n的最大值，此时有几种方法将该铁丝截成满足条件的n段？