试一试因n段之和为定值150cm，故欲n尽可能的大，必须每段的长度尽可能的小，这样依题意可构造一个数列． 整边三角形
c且a≤b≤cb，例5 将长度为24的一根铅丝折成各边均为整数的三角形，记?a,b,c?为三边分别为a，
的一个三角形．
（1）试尽可能多地写出满足题意的?a,b,c?； （2）你能否提出一些进一步的问题？
?a?b?c分析与解（1）由题意可知a?b?c?24，且?，由此得8≤c≤11，
?a≤b≤c即c?8，9，10，11，故满足题意的?a,b,c?共有如下12组：
A:?2,11,11?；B:?3,10,11?；C:?4,9,11?；D:?5,8,11?；E:?6,7,11?；F:?4,10,10?；G:?5,9,10?；H:?6,8,10?；I:?7,7,10?；J:?6,9,9?；K:?7,8,9?；L:?8,8,8?．
（2）以下问题供参考：
①将长度为n?n≥7?的线段折成各边均为整数的三角形，求最大边的边长的取值范围；
②将长度为n?n≥4?的线段折成各边均为整数的四边形，可得多少个不同的四边形？ 练一练
1．现有3cm、4cm、7cm、9cm长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是________________．
2．若三角形的周长是偶数，其中有两边的长是2和5，则这个三角形是________三角形（按边分类）． 3．如图，加油站A和商店B在马路MN的同一侧，A到MN的距离大于B到MN的距离，AB?7m，一个行人P在马路MN上行走．问：当P到A的距离与P到B的距离之差最大时，这个差等于_______米．
AB
MPN4．将长度为25cm的细铁丝折成边长都是质数（单位：厘米）的三角形，若这样的三角形的三边的长分别是a、b、c，且满足a≤b≤c，则?a,b,c?有________组解，所构成的三角形都是_______三角形． 5．三角形的三边长为3，4，x?1，那么x的取值范围是（）． A．0?x?8 B．2?x?8 C．0?x?6 D．2?x?6
6．三角形三边的长都是正整数，其中最长边的长为10，这样的三角形有（）． A．55种 B．45种 C．40种 D．30种
7．7条长度均为整数的线段a1，a2，?，a7满足a1?a7???a7，且这7条线段中的任意三条都不能构成三角形，若a1?1，a7?21，则a6?（）． A．18 B．13 C．8 D．5
8．已知△ABC的两条高线的长分别为5、20，若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为（）
A．5 B．6 C．7 D．8
9．在平面内，分别用3根，5根，6根，?火柴首尾依次相接，能搭成什么形状的三角形呢？通过尝试，列表如下所示： 5 6 火柴数 3 ? 示意图 111? 2222 2 1形状 等边三角形 等腰三角形 等边三角形 ? 问：（1）4根火柴能搭成三角形吗？ （2）8根、12根火柴能搭成几种不同形状的三角形？画出它们的示意图．
10．有长度分别为1、2、3、4、5、6、7、8、9（单位：cm）的细木棒各1根，利用它们（允许连接加长但不允许折断）能够围成多少种周长不同的等边三角形？
11．周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个？
25．多边形的边与角 问题解决
例1 连BC，?A??B??C??D??E??F?四边形EFBC的内角和?360?．
例2 C 设凸多边形的边数为n，n个内角中恰有三个是锐角，则其余n?3个外角中将是钝角或直角，而外角中钝角或直角的个数不超过3，即n?3≤3，解得n≤6．
x?2570?360例3 设除去的角为x?，则?n?2??180?x?2570，得n?，x?130，n?17．
180例4 ?EAF??C?180?，又?C??BAD，故?BAD??EAF?180?． 数学冲浪
1．30 2．60? 3．540?
4．6得到的正多边形的一个内角为360??2?120??120?． 5．B 6．D 7．D 8．B 9．?B?40?
AB??CFB10．?DAB??DCB?180?，?EAB??FCB?90?，E∥CF． 又?FCB??CFB?90?，得?E，故A11．720? 12．十八边形，或十九边形或二十边形 13．240? 14．1080?连KF 15．C
11113?n?1516．D 设这个多边形为n边形（n为正整数），由2002???n?2??180??2002??360?，得1，9090n?14或15．
17．C 18．D 19．可以证明CD∥AF 20．（1）DE⊥BF；（2）DE∥BF（证明略） 21．（1）12；（2）这个图形的边数是20（如图所示）；（3）得到的图形的边数是30．
22．（1）不成立，结论是?BPD??B??D． （2）结论：?BPD??BQD??B??D． （3）?A??B??C??D??E??F?360?． 平面镶嵌（微探究）
x?2y?2z?21111?180??180??180?360，化简得???． 例1 依题意有：xyzxyz2例2 B 用两种正多边形密铺地面的组合有：正三角形和正六边形、正三角形和正方形、正方形和正八边形，共3种．
例3 问题再现：3
验证2：在镶嵌平面时，设围绕某一点有a个正三角形和b个正六边形的内角可以拼成一个周角． 根据题意，可得方程：60a?120b?360．
?a?2?a?4整理得：a?2b?6，可以找到两组适合方程的正整数解为?和?．
?b?2?b?1结论2：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着2个正三角形和2个正六边形的内角或者围绕着4个正三角形和1个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌．
猜想3：是否可以同时用正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合进行平面镶嵌？
验证3：在镶嵌平面时，设围绕某一点有m个正三角形、n个正方形和c个正六边形的内角可以拼成一个周角．根据题意，可得方程：60m?90n?120c?360，整理得：2m?3n?4c?12，可以找到唯一一组适合方程
?m?1?的正整数解为?n?2．
?c?1?结论3：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正三角形、2个正方形和1个正六边形的内角可以拼成一个
周角，所以同时用正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合可以进行平面镶嵌． 练一练
1．铺满n组时，所用瓷砖总数为1?6?1?6?2???6?n?1??1?3n?n?1?．当n?26时，
1?3n?n?1??1951?2005，当n?27时，1?3n?n?1??2107?2005，故最多能完整地铺满26组，还剩
2005?1951?54（块）瓷砖．
2．660；600；6n2?6n 3． B
4． C 由
?n?2??180?135，得n?8．
n5．（1）108?；120?；
n（2）正三角形、正四边形（或正方形）、正六边形．
?n?2??180?
假定在接合处一共有k块正n边形地砖．由于正n边形的所有内角都相等，则k?k??n?2??180?360，即
n2n4?2?，因k为整数，故n?2|4，n?2?1，2，4，得n?3，4或6，由此可见，只有三种正n?2n?2多边形的瓷砖，可以按要求铺地，即正三角形、正方形和正六边形．
（3）如：正方形和正八边形，设在一个顶点周围有m个正方形的角，n个正八边形的角，那么，m，n应是方程m?90??n?135??360?的整数解，即2m?3n?8的整数解．
?m?1一组，∴符合条件的图形只有一种． ∵这个方程的整数解只有??n?2
三角形三边关系（微探究）
例1 设长度为4和12的高分别是边a、b上的，边c上的高为h，△ABC的面积为S，则a?c?2S2S，b?，4122S2S2S2S2S2S????，由，得3?h?6，又h为整数且△ABC为不等边三角形，故h?5． 412h412h例2 A分a?1，2，?，7情形讨论，又a?b?c，列表如下： a b c 1 7 不存在 2 7 8 3 7 8，9 4 7 8，9，10 5 7 8，9，10，11 6 7 8，9，10，11，12 7 7 8，9，10，11，12，13 例3 （1）AB?PA +PB，BC?PB?PC，AC?PC?PA，相加得：AB?BC?CA?2?PA?PB?PC?．
（2）如图，延长BP交AC于D．
ADPBC
在△ABD中，AB?AD?BD?BP?PD①， 在△PDC中，PD?DC?PC②，
①+②，得AB?AD?PD?DC?BP?PD?PC
即AB?AC?PB?PC，同理AB?BC?PA?PC，AC?BC?PA?PB．
相加得:2?AB?AC?BC??2?PA?PB?PC?，故AB?AC?BC?PA?PB?PC．
例4 这些小段的长度只可能分别是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，?但
1?1?2???34?55?143?150，1?1?2???34?55?89?232?150．故n的最大值为10，共有以下7种方式：
?1,1,2,3,5,8,13,21,34,62?；?1,1,2,3,5,8,13,21,35,61?；
?1,1,?1,1,?1,1,2,3,5,8,13,21,36,60?；?1,1,2,3,5,8,13,21,37,59?；2,3,5,8,13,22,35,60?；?1,1,2,3,5,8,13,22,36,59?；2,3,5,8,14,22,36,58?．
练一练
1．2 2．等腰
3．7PA?PB≤AB，当A、B、P在一条直线上时，等号成立．
114．2等腰最长边介于周长的和之间，故最长边可取整数12、11、10、9，又三边长都是质数，则最长
23边为11，另两边的和为14．其中符合条件的有11?11?3?25，7?7?11?25． 5．B 6．D
7．B 只有当a2?2，a3?a1?a2?3，a4?a2?a3?5，a5?a3?a4?8，a6?a4?a5?13时，7条线段中的任意三条都不能构成三角形．
208．B 设第三条高线的长为h，可得4?h?．
39．（1）不能搭成三角形
（2）2，3，3能搭成一个等腰三角形；2，5，5；3，4，5；4，4，4各能搭成一个三角形，并且这个三角形分别是等腰三角形、直角三角形、等边三角形，图略．
10．因所有线段的和为45，故最大的等边三角形边长为15．依据边长列表如下： c b 边长 a 从表中可以看出，符合条件的三角形边长最短为5，最长为15 9，6 7，8 1，2，3，4，5 15，都能找到适合的线段组合．故能够围成的周长不同的等边三角形共有11种． 9，5 8，6 3，4，7 14 13 9，4 8，3 6，7 9，3 4，8 5，7 12 9，2 3，8 4，7 11 10 9，1 2，8 3，7 9 9 2，7 3，6 8 8 2，6 5，3 7 7 3，4 2，5 6 6 1，5 2，4 5 5 1，4 2，3 ?a?b?30?ca?b?c11．不妨设，则由?得10?c?15．因c为整数，故c?11，12，13，14．当c?11时，
a?b?c?b?10，a?9；b?11，a?7或b?10，a?8；b?12，a?5或b?11，a?6或b?10，当c?12时，当c?13时，
a?7或b?9，a?8；当c?14时，b?13，a?3或b?12，a?4或b?11，a?5或b?10， a?6或b?9，a?7．