3-10一人手拿两个哑铃，两臂平伸并绕右足尖旋转，转动惯量为J，角速度为ω。若此人突然将两臂收回，转动惯量变为J/3。如忽略摩擦力，求：此人收臂后的动能与收臂前的动能之比。
解：因人在转动过程中所受重力和支持力对转轴的力矩均为零，所以此人的转动满足刚体绕定轴转动的角动量守恒定律。设人收回两臂后的角速度为
??，由L1?L2得
J??即
J?? 3???3?
所以，收臂后的动能与收臂前的动能之比为
1J2??23?Ek3?? 1Ek1J?22
3-11一质量为m的人站在一质量为m、半径为R的水平圆盘上，圆盘可无摩擦地绕通过其中心的竖直轴转动。系统原来是静止的，后来人沿着与圆盘同心，半径为r(r?R)的圆周走动。求：当人相对于地面的走动速率为v时，圆盘转动的角速度为多大？
解：对于转轴，人与圆盘组成的系统角动量守恒。 人的转动惯量为 J人?mr 圆盘的转动惯量为 J盘?21mR2 2选地面为惯性参照系，根据角动量守恒定律，有
J人?人?J盘?盘?0
其中 ?人?
v，代入上式得 r16
?盘??2rv 2R负号表示圆盘的转动方向和人的走动方向相反。
3-12一转动惯量为J的圆盘绕一固定轴转动，起初角速度为ω0，设它所受阻力矩与转动角速度之间的关系为M??kω (k为正常数)。 则在它的角速度从ω0变为
1ω0过程中阻力矩所做的功为多少？ 2解：根据刚体绕定轴转动的动能定理，阻力矩所做的功为
W??Md??1212J??J?0 22将??1?0代入上式，得 232 W??J?083-13 一根质量为m、长为l的均匀细棒，可绕通过其一段的光滑轴O在竖直平面内转动。设t?0时刻，细棒从水平位置开始自由下摆，求：细棒摆到竖直位置时其中心点C和端点A的速度。
解：解法一：对细棒进行受力分析可知，在转动过程中，细棒受到重力P和轴对棒的支持力N的作用。其中支持力N的大小和方向是随时变化的。 在棒转动过程中，支持力N通过轴O，所以对轴O的力矩始终为零。重力对轴O的力矩为变力矩，是
棒运动的合外力矩。设在转动过程中某时刻，棒与水平方向成?角，则重力矩为
PO?CAlM?mgcos?
2
17
所以细棒在由水平位置转到竖直位置的过程中，重力矩做的功为
W??Md????20llmgcos?d??mg22
设棒在水平位置的角速度为?0?0，在竖直位置的角速度为?。根据刚体定轴转动的动能定理，有
W?mgl1?Ek?Ek0?J?2?0 22其中，棒的转动惯量为J?12ml，代入上式得 3??3g l根据速度和角速度的关系v??r，细棒摆到竖直位置时其中心点C和端点A的速度分别为
vC??l1?3gl 22vA??l?3gl
解法二：由于棒在转动过程中只有重力矩做功，所以机械能守恒，有?Ep??Ek
mg12l12=J?，J?ml 223??vC??3g ll1?3gl 22vA??l?3gl
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班级 学号 姓名
第4章 机械振动
4-1对同一简谐振动的研究, 两个人都选平衡位置为坐标原点，但其中一人选铅直向上的Ox轴为坐标系，而另一个人选铅直向下的OX轴为坐标系，则振动方程中不同的量是[ C ]
(A) 振幅； (B) 圆频率； (C) 初相位； (D) 振幅、圆频率。
4-2三个相同的弹簧(质量均忽略不计)都一端固
定, 另一端连接质量为m的物体, 但放置情况不同。如图所示，其中一个平放, 一个斜放, 另一个竖直放置。如果忽略阻力影响，当它们振动起来时, 则三者的[ C ]
(A) 周期和平衡位置都不相同； (B) 周期和平衡位置都相同； (C) 周期相同, 平衡位置不同； (D 周期不同, 平衡位置相同。
O平衡位置x X
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4-3 一轻弹簧，上端固定，下端挂有质量为m的重物，其自由振动的周期为T．今已知振子离开平衡位置为x时，其振动速度为v，加速度为a．则下列计算该振子劲度系数的公式中，错误的是［ ］
22(A) k?mvmax； (B) k?mg/x； /xmax (C) k?4π2m/T2； (D) k?ma/x。 答： (B) 因为mg?kx?ma
4-4 某物体按余弦函数规律作简谐振动, 它的初相位为??/2, 则该物体振动的初始状态为[ A ]
(A) x0 = 0 , v0 ? 0； (B) x0 = 0 , v0 < 0； (C) x0 = 0 , v0 = 0； (D) x0 = ?A , v0 = 0。
4-5 一个质点作简谐振动，振幅为A，周期为T，在起始时刻 (1) 质点的位移为A/2，且向x轴的负方向运动； (2) 质点的位移为-A/2，且向x轴的正方向运动； (3) 质点在平衡位置，且其速度为负； (4) 质点在负的最大位移处；
写出简谐振动方程，并画出t=0时的旋转矢量图。 解：(1) x?Acos(2??2?2?t?) (2) x?Acos(t?) T3T3OAx?3O2?3xA(2)图(1)图
(3) x?Acos(2??2?t?) (4) x?Acos(t??) T2T 20