有这么一个故事-------------离心率
专题五：圆锥曲线(教师版）
题型一：离心率问题：
关于椭圆离心率
22xy设椭圆2?2?的左、右焦点分别为F1、F2，如果椭圆上存在点P，使?，求离心率1（a?b?0）FPF90?12?abe的取值范围。
解法1：利用曲线范围
设P（x，y），又知Fc，则 （?，0），F（c，0）12F1P?(x?c，y)，F2P?(x?c，y)由?F1PF2?90?，知F1P?F2P， 则F1P?F2P?0，??????
即(x?c)(x?c)?y2?0得x2?y2?c2 将这个方程与椭圆方程联立，消去y，可解得
a2c2?a2b2x?a2?b2但由椭圆范围及?F1PF2?90?2知0?x?a22
a2c2?a2b2即0??a222a?b可得c2?b2，即c2?a2?c2，且c2?a2而得e? 从c2c?，且e??1a2a2所以e?[，）12
解法2：利用二次方程有实根
由椭圆定义知
222 |PF|?|PF|?2a?|PF|?|PF|?2|PF||PF|?4a121212又由?FPF90?，知12?
2222|PF|?|PF|?|FF|?4c1212则可得|PF||PF|?2(a?c)1222
222这样，|PF|与|PF|是方程u?2au?2(a?c)?0的两个实根，因此12 1
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??4a2?8(a2?c2)?0c21 ?e?2?2a2?e?22
因此e?[2，1) 2 解法5：利用基本不等式
由椭圆定义，有2 平方后得 a?|PF|?|PF|12 4 a?||PF?||PF?2||PF??||PF2(||PF?||PF)?2|FF|?8c121212122222222c212 得2? 所 以有e?[，1）22a 解法6：巧用图形的几何特性
由?，知点P在以|F为直径的圆上。 FPF90?F|?2c12?12 又点P在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点P 故有c ?bc??bac??2，1） 2一、直接求出a，c或求出a与b的比值，以求解e。
由此可得e?[2222cc在椭圆中，e?，e??aac2?a2a2?b2b2?1?2 a2a3 21.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于3.若椭圆经过原点，且焦点为F1(1,0),F2(3,0),则椭圆的离心率为
1 24.已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为
1。 22x2y25.若椭圆2?2?1,(a?b?0)短轴端点为P满足PF1?PF2，则椭圆的离心率为e?。
2abx2y23126..已知??1(m?0.n?0)则当mn取得最小值时，椭圆2?2?1的的离心率为
2mnmn7
8.已知F1为椭圆的左焦点，A、B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，当PF1⊥F1A，PO∥AB（O为椭圆中心）时，椭圆的离心率为e?2。 2 2
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x2y29.P是椭圆2+2=1（a＞b＞0）上一点，F1、F2是椭圆的左右焦点，已知?PF1F2??,?PF2F1?2?, ?F1PF2?3?,椭圆的离心率
ab为e?3?1
??10.已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，若?PF1F2?15,?PF2F1?75， 则椭圆的离心率为
6 3x2y2113.椭圆2?2?1（a>b>0）的两顶点为A（a,0）B(0,b),若右焦点F到直线AB的距离等于∣AF∣，则椭圆的离
2ab6心率是。
3x2y2a15.已知直线L过椭圆2?2?1（a>b>0）的顶点A（a,0）、B(0,b),如果坐标原点到直线L的距离为，则椭圆的
2ab离心率是
6 3?a2?x2y2,0?作圆16.在平面直角坐标系中，椭圆2?2?1( a?b?0)的焦距为2，以O为圆心，a为半径作圆，过点?cab??的两切线互相垂直，则离心率e=二、构造a，c的齐次式，解出e
1．已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是
2 23 52．以椭圆的右焦点F2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M、N两点，椭圆的左焦点为F1，直线MF1与圆相切，则椭圆的离心率是3?1
3．以椭圆的一个焦点F为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心O并且与椭圆交于M、N两点，如果∣MF∣=∣MO∣，则椭圆的离心率是3?1
4．设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的
离心率是2?1
5．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是
3 3x2y26．设F1、F2分别是椭圆2?2?1?a?b?0?的左、右焦点，P是其右准线上纵坐标为3c （c 为半焦距）的点，
ab2且F1F2?F2P，则椭圆的离心率是
2三、寻找特殊图形中的不等关系或解三角形。
??????????21．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足MF1?MF2?0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是(0,)
22．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且?F1PF2?90，椭圆离心率e的取值范围为???2?,1?? 2?? 3
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3．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且?F1PF2?60，椭圆离心率e的取值范围为?,1?
??1??2?x2y24．设椭圆2?2?1（a>b>0）的两焦点为F1、F2，若椭圆上存在一点Q，使∠F1QF2=120o，椭圆离心率e的取值范
ab6?e?1 围为3375．在△ABC中，AB?BC，cosB??．若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e?．
818x2y26．设F1，F2分别是椭圆2?2?1（a?b?0）的左、右焦点，若在其右准线上存在P, 使线段PF1的中垂线过点
ab?3?1?F2，则椭圆离心率的取值范围是?， ??3?
关于双曲线离心率
一、利用双曲线性质
x2y2例1 设点P在双曲线2?2?1(a?0,b?0)的左支上，双曲线两焦点为F1、F2，已知|PF1|是点P到左准线
abl的距离d和|PF2|的比例中项，求双曲线离心率的取值范围。
解析：由题设|PF1|?d|PF2|得：式得：?2|PF1||PF2||PF2||PF1|??e，由焦半径公。由双曲线第二定义?e得：d|PF1||PF1|da?ex(1?e)a?e，则x??2??a，即e2?2e?1?0，解得1?e?1?2。
a?exe?ex2y2归纳：求双曲线离心率取值范围时可先求出双曲线上一点的坐标，再利用性质：若点P在双曲线2?2?1的
abx2y2左支上则x??a；若点p在双曲线2?2?1的右支上则x?a。
ab二、利用平面几何性质
x2y2例2 设点P在双曲线2?2?1(a?0,b?0)的右支上，双曲线两焦点F1、F2，|PF1|?4|PF2|，求双曲线
ab离心率的取值范围。
解析：由双曲线第一定义得：|PF1|?|PF2|?2a，与已知|PF1|?4|PF2|联立解得：
82825|PF1|?a,|PF2|?a，由三角形性质|PF1|?|PF2|?|F1F2|得：a?a?2c解得：1?e?。
33333归纳：求双曲线离心率的取值范围时可利用平面几何性质，如“直角三角形中斜边大于直角边”、“三角形两边之和大于第三边”等构造不等式。
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三、利用数形结合 例3 （同例2） 解析：由例2可知：
82|PF1|?a,|PF2|?a，点P在双曲线右支上由图1可知：|PF1|?c?a，|PF2|?c?a，即
338255a?c?a,a?c?a，两式相加得：a?c，解得：1?e?。
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四、利用均值不等式
|PF1|2x2y2例4 已知点P在双曲线2?2?1(a?0,b?0)的右支上，双曲线两焦点为F1、F2，最小值是8a，求
|PF2|ab双曲线离心率的取值范围。
|PF1|2(|PF2|?2a)24a2??|PF2|??4a?8a，解析：由均值定理知：当且仅当|PF2|?2a时取得最小值8a，
|PF2||PF2||PF2|又|PF2|?c?a所以2a?c?a，则1?e?3。 五、利用已知参数的范围
例5 （2000年全国高考题）已知梯形ABCD中，|AB|?2|CD|，点E分有向线段AC所成的比为?，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，当
23???时，求双曲线离心率的取值范围。 34x2y2解析：如图2建立平面直角坐标系，设双曲线方程为2?2?1(a?0,b?0)，设
ab(??2)c?hc,y0?，把C、 A(?c,0)、B(c,0)、C(,h)、E(x0,y0)其中h是梯形的高，由定比分点公式得x0?2(??1)??12E两点坐标分别代入双曲线方程得
(??2)2c2?2h2c2h2??1， ?2?1，222224(??1)a(??1)b4ab(??2)2e2?2e2e2?123?(?1)?1??两式整理得，从而建立函数关系式，由已知得，???4(??1)2(??1)2434e2?22e2?13??，解得7?e?10。 3e2?24
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