有这么一个故事-------------离心率
六、利用直线与双曲线的位置关系
x22例6 已知双曲线2?y?1(a?0)与直线l：x?y?1交于P、Q两个不同的点，求双曲线离心率的取值范围。
a解析：把双曲线方程和直线方程联立消去x得：(1?a)y?2y?1?a?0,1?a?0时，直线与双曲线有两个
2222c213不同的交点则??0，??4?4(1?a)?4a(2?a)?0，即a?2且a?1，所以e?2?1?2?，即
2aa222222e?6且e?2。 2七、利用点与双曲线的位置关系
x22例7 已知双曲线2?y?1(a?0)上存在P、Q两点关于直线x?2y?1对称，求双曲线离心率的取值范围。
a2解析：设P(x1,y1),Q(x2,y2)，弦PQ中点为M，由点差法求得M(a,21)，
a?2a2?2当点M在双曲线内部时
42a21，整理得：a?3a?5?0无解； ??1(a2?2)2(a2?2)2当点M在双曲线外部时，点M应在两渐近线相交所形成的上下区域内，由线性规划可知：
a21122??0，即，则a?1e?1??2，所以e?2。
(a2?2)2(a2?2)2a21、直接法w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程, 称之直接法.
例13 已知点A(?2,0)、B(3,0).动点P(x,y)满足PA?PB?x，则点P的轨迹为（ ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
解：PA?(?2?x,?y),PB?(3?x,?y) ，?PA?PB?(?2?x)(3?x)?y
22?x2?x?6?y2. 由条件，x2?x?6?y2?x2，整理得y2?x?6，此即点P的轨迹方程，所以P的轨迹为抛物
线，选D. 2、定义法
定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的定义或特征，再求出该曲线的相关参量，从而得到轨迹方程.
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例14 已知?ABC中，?A、?B、?C的对边分别为a、b、c，若a,c,b依次构成等差数列，且a?c?b，
AB?2，求顶点C的轨迹方程.
解：如右图，以直线AB为x轴，线段AB的中点为原
C y 点建立直角坐标系. 由题意，a,c,b构成等差数列，?2c?a?b，
A O B x 即|CA|?|CB|?2|AB|?4，又CB?CA，?C的轨迹为椭圆的左半部分.在此椭圆中，a??2,c??1，b??3，
x2y2故C的轨迹方程为??1(x?0,x??2).
433、代入法
当题目中有多个动点时，将其他动点的坐标用所求动点P的坐标x,y来表示，再代入到其他动点要满足的条件或轨迹方程中，整理即得到动点P的轨迹方程，称之代入法，也称相关点法、转移法.
例15 如图，从双曲线C:x?y?1上一点Q引直线
22y P Q N O x l:x?y?2的垂线，垂足为N，求线段QN的中点P的轨迹方程.
解：设P(x,y)，Q(x1,y1)，则N(2x?x1,2y?y1).?N在直线l上， ?2x?x1?2y?y1?2.① 又PN?l得
y?y1?1,即x?y?y1?x1?0.②
x?x13x?y?2?x?13x?y?223y?x?22?2联解①②得?.又点在双曲线上，QC?()?()?1，化简整理得：?22?y?3y?x?21?2?2x2?2y2?2x?2y?1?0，此即动点P的轨迹方程.
4、几何法
几何法是指利用平面几何或解析几何知识分析图形性质，发现动点的运动规律和要满足的条件，从而得到动点的轨迹方程.
例16 已知点A(?3,2)、B(1,?4)，过A、B作两条互相垂直的直线l1和l2，求l1和l2的交点M的轨迹方程. 解：由平面几何知识可知，当?ABM为直角三角形时，点M的轨迹是以AB为直径的圆.此圆的圆心即为AB的中点(?1,?1)，半径为
1522222AB?，方程为(x?1)?(y?1)?13. 故M的轨迹方程为(x?1)?(y?1)?13. 225、参数法
参数法是指先引入一个中间变量（参数），使所求动点的横、纵坐标x,y间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得到x,y间的直接关系式，即得到所求轨迹方程.
例17 过抛物线y?2px（p?0）的顶点O作两条互相垂直的弦OA、OB，求弦AB的中点M的轨迹方程.
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?y?kx1解：设M(x,y)，直线OA的斜率为k(k?0)，则直线OB的斜率为?.直线OA的方程为y?kx，由?2k?y?2px?x???解得??y???2pk2，即A(2p,2p)，同理可得B(2pk2,?2pk).
k2k2pk?x???由中点坐标公式，得??y???p?pk222k，消去k，得y?p(x?2p)，此即点M的轨迹方程. p?pkk6、交轨法
求两曲线的交点轨迹时，可由方程直接消去参数，或者先引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数来得到轨迹方程，称之交轨法.
x2y2例18 如右图，垂直于x轴的直线交双曲线2?2?1于
aby M P A1 O A2 N x M、N两点，A1,A2为双曲线的左、右顶点，求直线A1M与
A2N的交点P的轨迹方程，并指出轨迹的形状.
解：设P(x,y)及M(x1,y1),N(x1,?y1)，又A1(?a,0),A2(a,0)，可得 直线A1M的方程为y?y1?y1(x?a)①；直线A2N的方程为y?(x?a)②. x1?ax1?a?y12x12y12b22b2222222(x?a)③. 又?2?2?1,??y1?2(a?x1)，代入③得y??2(x?a2)，化①×②得y?22x1?aabaa2x2y2简得2?2?1，此即点P的轨迹方程. 当a?b时，点P的轨迹是以原点为圆心、a为半径的圆；当a?b时，点
abP的轨迹是椭圆.
【问题3】直线与圆锥曲线位置关系问题
利用数形结合法或将它们的方程组成的方程组转化为一元二次方程，利用判别式、韦达定理来求解或证明. 例7．抛物线y2=4x的顶点为O，点A的坐标为(5，0)，倾斜角为
?的直线l与线段OA相交(不经过点O或点A)且交4抛物线于M、N两点，求△AMN面积最大时直线l的方程，并求△AMN的最大面积
命题意图 直线与圆锥曲线相交，一个重要的问题就是有关弦长的问题 本题考查处理直线与圆锥曲线相交问题的第一种方法——“韦达定理法”
知识依托 弦长公式、三角形的面积公式、不等式法求最值、函数与方程的思想
错解分析 将直线方程代入抛物线方程后，没有确定m的取值范围 不等式法求最值忽略了适用的条件
技巧与方法 涉及弦长问题，应熟练地利用韦达定理设而不求计算弦长，涉及垂直关系往往也是利用韦达定理，设而不求简化运算
解法一 由题意，可设l的方程为y=x+m,其中－5＜m＜0
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?y?x?m由方程组?2,消去y,得x2+(2m－4)x+m2=0 ①
?y?4x∵直线l与抛物线有两个不同交点M、N，
∴方程①的判别式Δ=(2m－4)2－4m2=16(1－m)＞0, 解得m＜1,又－5＜m＜0,∴m的范围为(－5，0) 设M(x1,y1),N(x2,y2)则x1+x2=4－2m，x1·x2=m2, ∴|MN|=42(1?m)
点A到直线l的距离为d=5?m2
∴S△=2(5+m)1?m,从而S△2=4(1－m)(5+m)2 =2(2－2m)·(5+m)(5+m)≤2(
2?2m?5?m?5?m3
)=128
3∴S△≤82,当且仅当2－2m=5+m,即m=－1时取等号
故直线l的方程为y=x－1，△AMN的最大面积为82
解法二 由题意，可设l与x轴相交于B（m,0）, l的方程为x = y +m,其中0＜m＜5
由方程组??x?y?m2?y?4x,消去x,得y 2－4 y －4m=0 ①
∵直线l与抛物线有两个不同交点M、N，
∴方程①的判别式Δ=(－4)2+16m=16(1+m)＞0必成立, 设M(x1,y1),N(x2,y2)则y 1+ y 2=4，y 1·y 2=－4m, ∴S△=
11(5?m)|y1?y2|?(5?m)(y1?y2)2?4y1y2 22521m)25151(1?m)=4(?m)(?m)(1?m) 22223 ＝4(?51?51?(?m)?(?m)?(1?m)??22?4?22??82 3????∴S△≤82,当且仅当(?521m)?(1?m)即m=1时取等号 2故直线l的方程为y=x－1，△AMN的最大面积为82
x2?y2?1的左焦点为F，O为坐标原点。 例8．（福建卷）已知椭圆2（Ⅰ）求过点O、F，并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程；
（Ⅱ）设过点F且不与坐标轴垂直交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值
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范围.
本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力。
解：（I）?a?2,b?1,?c?1,F(?1,0),l:x??2.
22?圆过点O、F，
1?圆心M在直线x??上。
2设M(?By1,t),则圆半径 2lFAGOx
13r?(?)?(?2)?.
22由OM?r,得(?)?t?
12223, 解得t??2. 2
19?所求圆的方程为(x?)2?(y?2)2?.
24（II）设直线AB的方程为y?k(x?1)(k?0),
x2?y2?1,整理得(1?2k2)x2?4k2x?2k2?2?0. 代入2?直线AB过椭圆的左焦点F，?方程有两个不等实根。
记A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点N(x0,y0),
4k2, 则x1?x2??22k?1令y?0,得
1?AB的垂直平分线NG的方程为y?y0??(x?x0).
k
2k2k2k211xG?x0?ky0??2?2??2???2.2k?12k?12k?124k?2 1?k?0,???xG?0,21?点G横坐标的取值范围为(?,0).
2
【问题4】圆锥曲线中的最值、定点、定值问题
例9：过抛物线m：y?ax2（a＞0）的焦点F作直线l交抛物线于P,Q两点，若线段PF与FQ的长分别为p,q，则p?1?q?1的值必等于（ ）． A．2a B．
解法1：（特殊值法）
14 C．4a D． 2aa 10