有这么一个故事-------------离心率
令直线l与x轴垂直，则有l：y?解法2：（参数法）
11，所以有?p?q?4a2a?1?1y p?q?4a
如图1，设P(x1,y1)，Q(x2,y2)且PM，QN分别垂P 直于准线于M,N．
11，q?QN?y2? p?PM?y1?4a4a2抛物线y?ax（a＞0）的焦点F(0,F Q 1)，准线4a
O x y??1．
4aN [来源:Zxxk.Com]
1 4a又由l?m，消去x得
∴ l：y?kx?M 图1
16a2y2?8a(1?2k2)y?1?0
1?2k21,y1y2?∴y1?y2?， 22a16a1?k2111?k2,pq?y1y2?(y1?y2)??∴p?q? a4a16a24a2∴p?1?q?1?4a．
例10： (2011·北京东城区期末)已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为F(0，2)，且长轴长与短轴长的
比是2?1.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若椭圆C上在第一象限的一点P的横坐标为1，过点P作倾斜角互补的两条不同的直线PA，PB分别交椭圆C于另外两点A，B，求证：直线AB的斜率为定值；
(3)在(2)的条件下，求△PAB面积的最大值．
y2x2
解 (1)设椭圆C的方程为a2＋b2＝1(a>b>0)．
?
由题意，得?a:b＝2:1，
?c＝2，
解得a2＝4，b2＝2.
a2＝b2＋c2，
y2x2
所以椭圆C的方程为4＋2＝1.
(2)由题意知，两直线PA，PB的斜率必存在，设PB的斜率为k.又由(1)知，P(1，2)， 则直线PB的方程为y－2＝k(x－1)． ?y－2＝k(x－1?)，?
由?y2x2
＋＝1，??42
得(2＋k2)x2＋2k(2－k)x＋(2－k)2－4＝0.
设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则
11
有这么一个故事-------------离心率
k2－22k－2xB＝1·xB＝， 2＋k2k2＋22k－2
同理可得xA＝.
2＋k242k8k
则xA－xB＝. 2，yA－yB＝－k(xA－1)－k(xB－1)＝2＋k2＋k2yA－yB
所以kAB＝＝2为定值．
xA－xB
(3)由(2)，设直线AB的方程为y＝2x＋m. ?y＝2x＋m，?
由?y2x2
＋＝1，??42
得4x2＋22mx＋m2－4＝0.
由Δ＝(22m)2－16(m2－4)>0，得m2<8.
m2－42m
此时xA＋xB＝－2，xA·xB＝4.
|m|
点P到直线AB的距离d＝，
3
|AB|＝(xA－xB)2＋(yA－yB)2
3
＝ －2m2＋12.
24－3m21m2(8－m)211|m|
∴S△PAB＝2d·|AB|＝2·＝2
223
当且仅当m2＝8－m2即m2＝4时，Smax＝2.
y2x2例11：在双曲线??1的一支上有不同的三点A(x1,y1),B(26,6),C(x2,y2)与焦点F(0,5)的距离成等差数
1213列。（1）求y1?y2的值。（2）证明线段AC的垂直平分线经过一定点，并求该定点的坐标。
分析：（1）∵∣AF∣，∣BF∣，∣CF∣成等差数列，则结合定义得
ey1?a?ey2?a?2(6e?a)?y1?y2?12，
（2）由此，可设弦AC的中点坐标为(x0,6)
222x0y12x12y2x2y1?y212(x1?x2)12x0??1,??1?k????由 AC12131213x1?x213(y1?y2)13?613弦AC的中垂线方程为：
y?6??1313131325(x?x0)?y?6??x??y??x? 2x02x022x0225)。 2故弦AB的中垂线过定点(0,2例12：过抛物线x?y上的定点C(1,1)作两条互相垂直的弦CA、CB，求证直线AB过定点。
分析：设A(x1,y1),B(x2,y2)，则y1?2px1,y2?2px2
12
22????????????????OA?OB?OA?OB?0?(x1?1)(x2?1)?(y1?1)(y2?1)?0?(x1?1)(x2?1)(x1?x2?2)?0C不重合，所以(x1?1)(x2?1)?0故x1?x2?2?0
2y1?y2?x12?x2?kAB?有这么一个故事-------------离心率
2?(x1?1)(x2?1)?(x12?1)(x2?1)?0?(x1?1)(x2?1)?(x1?1)(x2?1)(x1?1)(x2?1)?0 因为点A、B与点
y1?y2?x1?x2，直线AB的方程为：y?y1?(x1?x2)(x?x1)
x1?x2?y?(x1?x2)x?x12?x1x2?y1?y?(x1?x2)x?x1x2
?y?(x1?x2)x?x1?x2?2?y?2?(x1?x2)(x?1)
所以直线AB过定点(?1,2)。
五、近三年新课标高考试题
2010年新课标理数卷
（2010年12）已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(-12,-15),则E的方程为（ ）
x2y2x2y2x2y2??1 （B） ??1 （C） ??1 （D）（A）364563(2012年15)过点A(4,1)的圆C与直线x?y?1?0相切于点 (2012年20)（本小题满分12分）
x2y2??1 54B(2,1)．则圆C的方程为 .
x2y2设F1,F2分别是椭圆E:2?2?1（a>b>0）的左、右焦点，过F1斜率为1的直线l与E 相较于A,B两点，且
abAF2,AB,BF2成等差数列.
（Ⅰ)求E的离心率；（Ⅱ）设点P（0,-1）满足PA?PB,求E的方程. 2011年新课标理数卷
（2011年7）设直线L过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，L与C交于A ,B两点，AB为C的实轴长的2倍，则C的离心率为（ ）
（A）2 （B）3 （C）2 （D）3
（2011年14）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1,F2在x轴上，离心率为过F1的直线L交C于A,B两点，且?ABF2的周长为16，那么C的方程为 。
（20）（本小题满分12分）
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2。2有这么一个故事-------------离心率
在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1)，B点在直线y = -3上，M点满足MB//OA，MA?AB//MB?BA，
M点的轨迹为曲线C。
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值。
2012年新课标理数卷
x2y23a（2012年4）设F1F2是椭圆E:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点，P为直线x?上一点， ?F2PF1是底角为30?ab2的等腰三角形，则E的离心率为（ ）
(A)12? (B) (C) 23?(D)? ?2（2012年8）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y?16x的准线交于A,B两点，AB?43；则C的实轴长为（ ）
(A)2 (B) 22 (C)? (D)?
（2012年20）（本小题满分12分）
设抛物线C:x?2py(p?0)的焦点为F，准线为l，A?C，已知以F为圆心，
2FA为半径的圆F交l于B,D两点；
（1）若?BFD?90，?ABD的面积为42；求p的值及圆F的方程；
（2）若A,B,F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，
求坐标原点到m,n距离的比值。
0x2y2（2013年高考新课标1（理））已知椭圆E:2?2?1(a?b?0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆于A,B两
ab点.若AB的中点坐标为(1,?1),则E的方程为
（ ）
x2y2??1 A．
4536x2y2??1 B．
3627x2y2??1 C．
2718x2y2??1 D．
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