解答：根据eg0l?1?3?10?4ld，可以知道单程增益g0L=ln(1+0.0003L/d)=0.0723
由于反射不完全引起的损耗可以用公式2.1.24或者2.1.25来衡量 根据2.1.24得到：
δr≈-0.5lnr1r2=0.0204
根据题意，总的损耗为反射损+其他损耗，因此单程总损耗系数为 δ=0.0204+0.0003 如果考虑到衍射损耗，则还要根据菲涅尔数来确定衍射损系数： 此方形共焦腔氦氖激光器的菲涅尔数为：N=a2/(Lλ)=7.6，菲涅尔数大于一很多倍，因此可以不考虑衍射损耗的影响。 通过以上分析可以断定，此谐振腔可以产生激光振荡。又根据氦氖激光器的多普勒展宽达到1.6GHZ，而纵模及横模间隔根据计算可知很小，在一个大的展宽范围内可以后很多具有不同模式的光波振荡，因此不采取技术措施不可能得到基模振荡。 为了得到基模振荡，可以在腔内加入光阑，达到基模振荡的作用。在腔镜上，基模光斑半径为： ?os?L???2.46?10?2cm 因此，可以在镜面上放置边长为2ω0s的光阑。 解答完毕。 6 试求出方形镜共焦腔面上TEM30模的节线位置，这些节线是等距分布吗？ 解答如下： 方形镜共焦腔自再现模满足的积分方程式为 ?i?ikL?aa''?mn?x,y???mn?e???a??a?mnx,ye?L????xx'?yy'ikLdx'dy' ?cx2?y2?L???经过博伊德—戈登变换，在通过厄密-高斯近似，可以用厄密-高斯函数表示镜面上场的函数 ?mn?x,y? ??CmnHm?????2??x?Hn??L????x2?y2?L????2?y??eL?????2???2???H0??e?30?x,y??C30H3?xy?L???L??????使?30???x,y??0就可以求出节线的位置。由上式得到： ??2??3?2?????x?y???12???e?L????C30?8?xx?L?????L????????2232?，这些节线是等距的。解答完毕。 2l?7 求圆形镜共焦腔TEM20和TEM02模在镜面上光斑的节线位置。 x1?0,x2,3??解答如下：圆形镜共焦腔场函数在拉盖尔—高斯近似下，可以写成如下的形式 ?2r?n?2r?????mn?r,???Cmn????Lm??2?e?0s??0s?2m?r22?0s?cosm? （这个场对应于TEMmn，两个三角函数因?sinm??22r2子可以任意选择，但是当m为零时，只能选余弦，否则整个式子将为零） ?2r?2?2r???02s?cos2??L0?2?e???r,???C20?对于TEM20：20 ??????sin2???0s??0s??2r2并且L?2???0s20????1，代入上式，得到 ??2r???02s?e?20?r,???C20?????0s?22r2?cos2??，我们取余弦项，根据sin2??r2?2r???02s???r,???C20?题中所要求的结果，我们取20???ecos2??0，就能求出镜面上 ?0s?节线的位置。既 cos2??0??1?对于TEM02，可以做类似的分析。 ?4,?2?03?4 ?2?2r?0?2r???02s0?2r??0s?L2?2?e???02?r,???C02??CLe022?2? ????????0s??0s??0s?22r2r2?2r2?4r22r4L???2???1??2??40s0s?0s?02，代入上式并使光波场为零，得到 ?2r???02?r,???C02?????0s?020?4r2r???02s?1?2?4?e?0 ???0s?0s??24r2?2r2?4r22r4显然，只要L???2???1??2??4?0即满足上式 0s0s?0s?最后镜面上节线圆的半径分别为： r1?1?22?0s,r2?1??0s 22解答完毕。 8 今有一球面腔，两个曲率半径分别是R1=1.5M，R2=-1M，L=80CM，试证明该腔是稳定腔，求出它的等价共焦腔的参数，在图中画出等价共焦腔的具体位置。 1?A?D??1，这个公式具有普适性（教材36页中间文字部分），2L对于简单共轴球面腔，可以利用上边式子的变换形式0?g1g2?1判断稳定性，其中gi?1?。 RiL8L8题中g1?1??1?，g2?1??1? R115R210g1g2?0.093，在稳定腔的判别范围内，所以是稳定腔。 解：共轴球面腔稳定判别的公式是?1?任意一个共焦腔与无穷多个稳定球面腔等价，一个一般稳定球面腔唯一对应一个共焦腔，他们的行波场是相同的。 等价共焦腔的参数包括：以等价共焦腔的腔中心为坐标原点，从坐标原点到一般稳定球面两个腔镜面的坐标Z1和Z2，再加上它的共焦腔的镜面焦距F，这三个参数就能完全确定等价共焦腔。 根据公式（激光原理p66-2.8.4）得到： Z1?L?R2?L?0.8??1?0.8????0.18M?L?R1???L?R2??0.8?1.5???0.8?1? ?L?R1?L??0.8??1.5?0.8???0.62M ?L?R1???L?R2??0.8?1.5???0.8?1?L?R2?L??R1?L??R1?R2?L?0.8??1?0.8???1.5?0.8??1.5?1?0.8?F2???0.23522??L?R1???L?R2????0.8?1.5???0.8?1??因此F?0.485M Z2?等价共焦腔示意图略。 9 某二氧化碳激光器采用平-凹腔，L=50CM，R=2M，2a=1CM，波长λ=10.6μm，试计算镜面上的光斑半径、束腰半径及两个镜面上的损耗。 解：此二氧化碳激光器是稳定腔，其中平面镜的曲率半径可以看作是无穷大。 根据公式（激光原理p67-2.8.6或2.8.7）得到： ??g2?s1??0s???g1?1?g1g2?? 1/4??g2?L?????g1?1?g1g2??1/41/4?1.687?10?6?1.316?2.22?10?6M?s2??g1??0s???g2?1?g1g2??1/4??g1?L?????g2?1?g1g2???1.687?10?6?5.333?8.997?10?6M其中第一个腰斑半径对应平面镜。上式中?0S?L??是这个平凹腔的等价共焦腔镜面上的腰斑半径， 并且根据一般稳定球面腔与等价共焦腔的性质，他们具有同一个束腰。 根据共焦腔束腰光斑半径与镜面上光斑半径的关系可知： ?0??0S2?1.687?1.193?M1.414 作为稳定腔，损耗主要是衍射损，衍射损耗与镜面上的菲涅尔数有关，在损耗不大的情况下，是倒数关系。 即： ??1N 根据公式（激光原理p69-2.8.18或2.8.19）分别求出两个镜面的菲涅尔数 Nef1?Nef1?a12??2s1??0.25?10?43.1416?2.22?100.25?10?4??62??1.615?106 ?9.831?104 a12??2s13.1416?8.997?10??62?根据衍射损耗定义，可以分别求出： ?1?11?6.2?10?7，?2??1.02?10?5 Nef1Nef2相同而曲率半径R不同的对称稳定球面腔中，共焦腔的衍射损耗 a210 证明在所有菲涅尔数N?L?最低。这里L表示腔长，a是镜面的半径。 证明： ?R1?R2?2L??在对称共焦腔中，R1?R2? R1R2??f??22?11 今有一平面镜和一个曲率半径为R=1M的凹面镜，问：应该如何构成一个平—凹稳定腔以获得最 小的基模远场发散角，画出光束发散角与腔长的关系。 解答： 我们知道，远场发散角不仅和模式（频率）有关，还和腔的结构有关。根据公式2.6.14得到： ?0?2?f?，如果平面镜和凹面镜构成的谐振腔所对应的等价共焦腔焦距最大，则可以获得最小的基模 光束发散角。 f2?L?R2?L??R1?L??R1?R2?L???L?R1???L?R2??2?fmax?0.25m 代入发散角公式，就得到最小发散角为： ?0?2????2?4f?0.25????2f??l?1?l?? 发散角与腔长的关系式： ?0?213 某二氧化碳激光器材永平凹腔，凹面镜的R=2M，腔长L=1M，试给出它所产生的高斯光束的束腰腰斑半径的大小和位置，该高斯光束的焦参数和基模发散角。 解答： F?L?R2?L??R1?L??R1?R2?L??R1?R2?2L?2?1M ?2???0??1.128?3.67?10?3rad ??0F14 某高斯光束束腰光斑半径为1.14MM，波长λ=10.6μM。求与束腰相距30厘米、100厘米、1000 米远处的光斑半径及相应的曲率半径。 解答：根据公式（激光原理p71-2.9.4, 2.9.6） ?0?F??10.6?1.84?M 3.1416??z???0??z??z??2??1????1?0?f????????0?22 把不同距离的数据代入，得到： ??30cm??1.45MM，??10m??2.97CM，??1000m??2.97M ????2?2?0?? R?z??z?1?????z??????，R10m曲率半径 与不同距离对应的曲率半径为： R?30cm??0.79M???10.015M，R?1000m??1000M 15 若已知某高斯光束的束腰半径为0.3毫米，波长为632.8纳米。求束腰处的q参数值，与束腰距离 30厘米处的q参数值，与束腰相距无限远处的q值。 解答： 束腰处的q参数值实际上就是书中的公交参量（激光原理p73-2.9.12）： ??02q0?if?i?44.68i ?根据公式（激光原理p75-2.10.8） q?z??q0?z，可以得到30厘米和无穷远处的q参数值分别为 q?30??q0?30?30?44.68i 无穷远处的参数值为无穷大。 16 某高斯光束束腰半径为1.2毫米，波长为10.6微米。现在用焦距F=2cm的锗透镜聚焦，当束腰与透镜距离分别为10米，1米，10厘米和0时，求焦斑大小和位置，并分析结果。 解答： 根据公式（激光原理p78-2.10.17和2.10.18） 当束腰与透镜距离10米时 ?0?'2F2?0?F?l?2????????20????2?2.4?M 同理可得到： 解答完毕 17 二氧化碳激光器输出波长为10.6微米的激光，束腰半径为3毫米，用一个焦距为2厘米的凸透镜聚焦，求欲得到焦斑半径为20微米及2.5微米时，透镜应该放在什么位置。 解答：根据公式（激光原理p78-2.10.18） ??2'02F2?0???F?l?2??????????202 上式中束腰到透镜的距离l就是我们要求的参数，其他各个参数都为已知，代入题中给出的数据，并对上式进行变换，得到 2???0?F??? l?F????'2?0???当焦斑等于20微米时，l?1.395M（透镜距束腰的距离） 当焦斑等于2.5微米时，l?23.87M 2202此提要验证 18 如图2.2所示，入射光波厂为10.6微米，求?0及l3。 解答：经过第一个透镜后的焦斑参数为： '202F12?0'''???F1?l1?2????????220????2 l?F1??l1?F1?F12?l1?F1?2????????20????2 经过第二个透镜后的焦参数为： ?0?2'''F22?0?F2?l''2?????????'20????2 l3?F1??l?l''''?F2F22??F2?2????????'20????2 l'?l''?l2 解方程可以求出题中所求。 19 某高斯光束束腰腰斑半径为1.2毫米，波长为10.6微米。现在用一个望远镜将其准直。主镜用曲率半径为1米的镀金反射镜，口径为20厘米；副镜为一个焦距为2.5厘米，口径为1.5厘米的锗透镜；高斯光束束腰与透镜相距1米，如图所示。求该望远镜系统对高斯光束的准直倍率。 解答： 根据公式（激光原理p84-2.11.19） ?l?M'?M1???f????已知：?02??l???M1?????2??0?2，其中M?F2F1，为望远镜主镜与副镜的焦距比。 题中的反射镜，相当于透镜，且曲率半径的一半就是透镜的焦距。 ?1.2MM，??10.6?M，F1?2.5CM，F2?R?50CM2，2a1?1.5CM