第四章 比例
3.比例的应用
【知识梳理】
1.比例尺。
（1）意义：一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。
图上距离：实际距离=比例尺或
图上距离=比例尺
实际距离（2）分类：①按表现形式分，可以分为数值比例尺和线段比例尺；② 按将实际距离缩小还 是放大分，可以分为缩小比例尺和放大比例尺。 （3）已知图上距离和实际距离，求比例尺的方法。
先把图上距离和实际距离统一单位，再用图上距离比实际距离，然后把它化简成前项是1或后项是1的比，得出比例尺。
（4）已知比例尺和图上距离，求实际距离的方法。 可以根据“
图上距离=比例尺”用解比例的方法求出实际距离，也可以利用“实际距
实际距离离=图上距离÷比例尺”直接列式计算。
（5）已知比例尺和实际距离，求图上距离的方法。 可以根据“
图上距离=比例尺”用解比例的方法求出图上距离，也可以利用“图上距离=
实际距离实际距离×比例尺”直接列式计算。 （6）应用比例尺画图。
①确定比例尺；②根据比例尺求出图上距离；③画图；④ 标出所画图的名称和比例尺。 要点提示：①比例尺是一个比，表示两个同类量间的倍比关系，不能带单位名称。②图上距离一般用厘米作单位，实际距离一般用米或千米作单位，计算比例尺时一定要先统一单位。③为了计算方便，一般把比例尺写成前项或后项是1的形式。 2.图形的放大与缩小。
（1）特点：形状相同，大小不同。 （2）将图形放大或缩小的方法。 一看，看原图形各边占几格；
二算，按已知比计算出放大图或缩小图的各边占几格； 三画，按计算出的边长画出原图形的放大图或缩小图。
要点提示：把图形每条边按相同倍数放大（或缩小）后，形状不变，相对应的角的度数也不变。
3.用比例解决问题。
根据问题中的不变量找出两种相关联的量，并判断这两种相关联的量成什么比例关系，再根据正、反比例关系列出相应的比例并求解。
要点提示：用正、反比例解决问题的关键是确定成什么比例关系。
【诊断自测】
1.填空。
（1）在比例尺是1：2000000的地图上，量得两地距离是38厘米，这两地的实际距离是( )千米。
（2）白兔与灰兔只数的比是7：6，白兔56只，灰兔( )只。 （3）已知3：x=5：y，x比y小15，则x=( )，y=( )。
（4）一个三角形的周长是14厘米，这个三角形的三边的比为2：2：3，这个三角形最长的一条边是（ ）厘米，按照边来分类，它是一个（ ）三角形。 2.选择。
（1）圆的面积与（ ）成正比例关系。 A. 半径 B.半径的平方 C.圆周率 （2）a，b，c 三个数均大于零，当a×1=b× A. a B. b C. c
（3）一个礼堂长18米，宽10米，用边长4分米的方砖铺地，需要（ ）块方砖。 A.1100 B. 1125 C.45 D.180 3.判断。
（1）把图形放大或缩小后得到的图形与原图形相比，大小不同，但形状相同。（ ） （2）出勤率一定，出勤的人数与应出勤的人数成正比例关系。（ ）
（3）同一时间、同一地点（中午12时除外），竿高和它的影子成正比例关系。（ ） 4.解决问题。
有一批货物，如果每天运20车，30天可以运完．现在要提前5天运完，每天应运多
15=c×时，则 a，b，c中最大的是（ ）。 124
少车？（用比例解）
【考点突破】
类型一：比例尺的意义。
例1. 判断。比例尺的前项都是1。（ ）
答案：×
解析：缩小比例尺的前项一般是1，但放大比例尺的前项却不一定是1，如比例尺8：1 的前项是8。 例2. 填空。
(1)在图幅相同的情况下，长春地图、中国地图和世界地图相比，（ ）地图的比例尺最大，（ ）地图的比例尺最小。
(2)甲地到乙地的实际距离是120km，画在比例尺是1：6000000的地图上，两地的图上距离是（ ）。
答案：（1）长春 世界（2）2cm
解析：（1）根据
图上距离=比例尺可知，当图上距离一定时，实际距离与比例尺成反
实际距离比例关系。长春、中国和世界的东西和南北长度相比，长春的实际长度<中国的实际长 度<世界的实际距离，所以在图幅相同（即图上距离一定）的情况下，长春地图的比例 尺>中国地图的比例尺>世界地图的比例尺。（2）根据图上距离=实际距离×比例尺可知， 图上距离=120×例3.选择。
（1）在比例尺是1：6000000的地图上，量得南京到北京的距离是15厘米，南京到北京的实际距离大约是（ ）千米。
A．800千米 B．90千米 C．900千米
（2）在设计图上，用40cm的长度表示4mm的机器零件的长度，这幅设计图的比例尺是（ ）。
1=0.00002km=2cm。
6000000
A.10:1 B.1:10 C.1：100
答案：（1）C （2）C
解析：（1）根据图上距离÷实际距离=比例尺可知，实际距离=图上距离÷比例尺=15÷
图上距离1=90000000cm=900km，故选C。（2）40cm=400mm，根据=比例尺可知，
6000000实际距离4=1：100，故选C。 4001的比例尺在下面画出它的平面示3000 比例尺=
例4. 一块长方形菜地的长是90m，宽是75m。请你用意图。
答案： 菜地的平面示意图
3cm 2.5cm
比例尺=
1 3000 解析：（1）90m=9000cm，75m=7500cm。根据图上距离=实际距离×比例尺可知，长方形长的图上距离=9000×
11cm=3cm，长方形宽的图上距离=7500×=2.5cm。再按照比例尺30003000的画图步骤画出菜地的平面示意图。 类型二：图形的放大与缩小。
例5.选择。张强和李明分别将教室的黑板画了下来，如下图。如果张强是按1：m的比画的，那么李明是按（ ）的比画的。 A.1:
答案：A
6cm 张强画的
12cm 李明画的
11m B.1：2m C.1：m D.1：m 24
解析：根据
图上距离图上距离=比例尺，由张强的画可知，黑板长的实际距离==6m。
实际距离比例尺1m，故选A。 2 再由李明的画可知，比例尺=12÷6m=1： 例6.选择。
（1）把一个图形按3：1放大后，周长（ ）。
A.扩大到原来的3倍 B.扩大到原来的6倍 C.扩大到原来的9倍 D.不变 （2）把一个图形按4：1放大后，它的面积（ ）。 A.扩大到原来的2倍 B.扩大到原来的4倍 C.扩大到原来的8倍 D.扩大到原来的16倍
答案：（1）A （2）D
解析：如果把一个图形按一定的比扩大，图形周长扩大的倍数与图形边长放大的倍数相同；图形面积扩大的倍数等于图形边长放大倍数的平方。故（1）选A， （2）选D。
例7.把一个长12cm、宽8cm的长方形按1：4缩小，得到的长方形的面积是多少平方厘米？
答案：12×
112
=3（cm） 8×=2（cm） 3×2=6（cm） 44 答：得到的长方形的面积是6平方厘米。
解析：把一个长12cm、宽8cm的长方形按1：4缩小，是指把长方形的长和宽分别缩小到原来的
111，由题意可知，缩小后的长方形长=12×=3（cm），宽=8×=2（cm），故面积4442
=3×2=6（cm） 。 类型三：用比例解决问题。
1
例8.客车和货车同时从甲、乙两地相向开出，客车每小时行全程的4 ,货车每小时行60千米，相遇时客车和货车所行路程的比是3:2。甲、乙两地相距多少千米？
答案：解：设甲、乙两地相距x千米，则由题意得
1x：60=3：2 41 x=180
2
x=360