(2)若从车速在[80,90)的车辆中任意抽取3辆，求车速在[80,85)和[85,90)内都有车辆的概率．
(3)若从车速在[70,80)的车辆中任意抽取3辆，求车速在[75,80)的车辆数的数学期望． [解析] (1)此研究性学习小组在采样中，用到的抽样方法是系统抽样． 这40辆小型汽车车速众数的估计值为87.5，中位数的估计值为87.5.
(2)车速在[80,90)的车辆共有(0.2＋0.3)×40＝20辆，速度在[80,85)，[85,90)内的车辆分别有8辆和12辆．
记从车速在[80,90)的车辆中任意抽取3辆车，车速在[80,85)内的有2辆，在[85,90)内的有1辆为事件A，车速在[80,85)内的有1辆，在[85,90)内的有2辆为事件B，
C8C12C8C1286472则P(A)＋P(B)＝3＋3＝＝.
C20C20114095
(3)车速在[70,80)的车辆共有6辆，车速在[70,75)和[75,80)的车辆分别有2辆和4辆，若从车速在[70,80)的车辆中任意抽取3辆，设车速在[75,80)的车辆数为X，则X的可能取值为1、2、3.
C2×C441
P(X＝1)＝3＝＝，
C6205C2×C4123
P(X＝2)＝3＝＝，
C6205C2×C441
P(X＝3)＝3＝＝，
C6205故分布列为
0
3
1
2
2
1
21
12
X P 1 1 52 3 53 1 5131
∴车速在[75,80)的车辆数的数学期望为E(X)＝1×＋2×＋3×＝2.
555
21．(本题满分12分)(2015·洛阳市期末)在某学校的一次选拔性考试中，随机抽取了100名考生的成绩(单位：分)，并把所得数据列成了如下表所示的频数分布表： 组别 频数 [40,50) 5 [50,60) 18 [60,70) 28 [70,80) 26 [80,90) 17 [90,100] 6 －2
(1)求抽取的样本平均数x和样本方差s(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)已知这次考试共有2000名考生参加，如果近似地认为这次成绩z服从正态分布
N(μ，σ2)(其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2)，且规定82.7分是复试
线，那么在这2000名考生中，能进入复试的有多少人？(附：161≈12.7，若z～N(μ，σ)，
11
2
－
则P(μ－σ (3)已知样本中成绩在[90,100]中的6名考生中，有4名男生，2名女生，现从中选3人进行回访，记选出的男生人数为ξ，求ξ的分布列与期望E(ξ)． －2 [解析] (1)样本平均数x和样本方差s分别为 － x＝45×0.05＋55×0.18＋65×0.28＋75×0.26＋85×0.17＋95×0.06＝70， s2＝(－25)2×0.05＋(－15)2×0.18＋(－5)2×0.28＋52×0.26＋152×0.17＋252×0.06 ＝161， 1－0.6826 (2)由(1)知，z～N(70,161)，从而P(z>82.7)＝＝0.1587， 2能进入复试的人数为2000×0.1587≈317. (3)显然ξ的取值为1,2,3， C4·C21C4·C23C41 P(ξ＝1)＝3＝，P(ξ＝2)＝3＝，P(ξ＝3)＝3＝， C65C65C65ξ的分布列为 ξ 1 1 52 3 53 1 51 2 2 1 3 P 131所以E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝2. 555 22．(本题满分12分)(2015·湖北理，20)某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A，B两种奶制品．生产1吨A产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1 000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1 200元．要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每天生产A，B两种产品时间之和不超过12小时．假定每天可获取的鲜牛奶数量W(单位：吨)是一个随机变量，其分布列为 W P 12 0.3 15 0.5 18 0.2 该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z(单位：元)是一个随机变量． (1)求Z的分布列和均值； (2)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10 000元的概率． [分析] 本题主要考查随机变量及其分布列、线性规划．考查考生的应用意识、数据处理能力及转化化归思想 (1)依据题意列出不等式组，并写出目标函数；分类讨论，通过可行域得出最大获利Z 12 的不同取值，从而得到最大获利Z的分布列；由随机变量的期望公式可求出数学期望．(2)由(1)中结论得到一天最大获利超过10 000元的概率，由对立事件和二项分布的概率计算公式可得到3天中至少有1天最大获利超过10 000元的概率． [解析] (1)设每天A，B两种产品的生产数量分别为x，y，相应的获利为z，则有 ??2x＋1.5y≤W， ?x＋1.5y≤12， (1) ?2?x－y≥0，x≥0，y≥0. 目标函数为z＝1 000x＋1 200y. 图1 图2 图3 当W＝12时，(1)表示的平面区域如图1， 三个顶点分别为A(0,0)，B(2.4,4.8)，C(6,0)． 将z＝1 000x＋1 200y变形为 y＝－5 z6 x＋ 1 200 ， 当x＝2.4，y＝4.8时， 直线l：y＝－56x＋z1 200，在y轴上截距最大， 13 最大获利Z＝zmax＝2.4×1 000＋4.8×1 200＝8 160(元)． 当W＝15时，(1)表示的平面区域如图2， 三个顶点分别为A(0,0)，B(3,6)，C(7.5,0)． 5z将z＝1 000x＋1 200y变形为y＝－x＋， 61 200 5z当x＝3，y＝6时，直线l：y＝－x＋在y轴上的截距最大，最大获利Z＝zmax＝3×1 61 200000＋6×1 200＝10 200(元)． 当W＝18时 ，(1)表示的平面区域如图3， 四个顶点分别为A(0,0)，B(3,6)，C(6,4)，D(9,0)． 5z将z＝1 000x＋1 200y变形为y＝－x＋， 61 200 5z当x＝6，y＝4时，直线l：y＝－x＋在y轴上的截距最大，最大获利Z＝zmax＝6×1 61 200000＋4×1 200＝10 800. 故最大获利Z的分布列为 Z P 8 160 0.3 10 200 0.5 10 800 0.2 因此，E(Z)＝8 160×0.3＋10 200×0.5＋10 800×0.2＝9 708. (2)由(1)知，一天最大获利超过10 000元的概率p1＝P(Z＞10 000)＝0.5＋0.2＝0.7，由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10 000元的概率为p＝1－(1－p1)＝1－0.3＝0.973. 3 3 14