§2 无穷积分的性质与收敛判别无穷积分的性质
非负函数无穷积分的收敛判别法一般函数无穷积分的
收敛判别法
又因为f(x)?h(x)?g(x),所以????u2u1f(x)dx??h(x)dx??g(x)dx??,u1u1u2u2即?uu21h(x)dx??.??a再由柯西准则的充分性,证得?h(x)dx收敛.数学分析第十一章反常积分高等教育出版社§2 无穷积分的性质与收敛判别无穷积分的性质
非负函数无穷积分的收敛判别法一般函数无穷积分的
收敛判别法
性质3若f在任何有限区间[a,u]上可积,且?a??f(x)dx收敛，则???a并有f(x)dx也收敛，f(x)dx.?a??f(x)dx????a数学分析第十一章反常积分高等教育出版社§2 无穷积分的性质与收敛判别无穷积分的性质
非负函数无穷积分的收敛判别法
引理（非负函数无穷积分的判别法）非负函数无穷积分的收敛判别法一般函数无穷积分的
收敛判别法
设定义在[a,??)上的非负函数f 在任何[a, u]上可积,则??M?0,使??af(x)dx收敛的充要条件是:?u?[a,??),?auf(x)dx?M.数学分析第十一章反常积分高等教育出版社§2 无穷积分的性质与收敛判别无穷积分的性质
非负函数无穷积分的收敛判别法一般函数无穷积分的
收敛判别法
证设F(u)??f(x)dx,则?au???u2u1au??af(x)dx收敛的充要条件是limF(u)存在.由于f(x)?0,当u1?u2时，?af(x)dx??f(x)dx??u2u1f(x)dx?0,从而F (u) 是单调递增的(u?[a,??)).由单调递增函数的收敛判别准则, limF(u)存在的充要条u???件是F(u)在[a,??)上有界,即?M?0,使?u?[a,??),有数学分析第十一章反常积分高等教育出版社?auf(x)dx?M.§2 无穷积分的性质与收敛判别无穷积分的性质
非负函数无穷积分的收敛判别法一般函数无穷积分的
收敛判别法
定理11.2（比较判别法）设定义在[a,??)上的两个非负函数f , g在任何有限区间[a, u]上可积, 且满足
f(x)?g(x),x?[a,??),则当g(x)dx?M.?auu因此?f(x)dx??g(x)dx?M.aa由非负函数无穷积分的判别法,?数学分析第十一章反常积分高等教育出版社?证若?当??a???ag(x)dx收敛时,???a??af(x)dx亦收敛;f(x)dx发散时,?ug(x)dx亦发散.??ag(x)dx收敛,则?M?0,?u?[a,??),??af(x)dx收敛.