§2 无穷积分的性质与收敛判别无穷积分的性质
非负函数无穷积分的收敛判别法一般函数无穷积分的
收敛判别法一般函数的无穷积分还可试用以下的狄利克雷判别法和阿贝尔判别法判别其收敛性.
定理11.3（狄利克雷判别法）g(x)在[a,??)若F(u)??f(x)dx在[a,??)上有界，au上当x???时单调趋于0，则???af(x)g(x)dx收敛.证设?auf(x)dx?M,u?[a,??).???0,由于x???limg(x)?0,4M对任意的因g为单调函数，由积分第二中值定理，数学分析第十一章反常积分高等教育出版社故存在G?a,x?G时，g(x)??.§2 无穷积分的性质与收敛判别无穷积分的性质
非负函数无穷积分的收敛判别法一般函数无穷积分的
收敛判别法u2?u1?G,???[u1,u2],使得??u2u1f(x)g(x)dx?g(u1)?f(x)dx?g(u2)?u1?u2?f(x)dx,于是u2u1f(x)g(x)dx?g(u1)?g(u1)??u1f(x)dx?g(u2)f(x)dx??u1a???u2f(x)dx??af(x)dxa?g(u2)?u2af(x)dx??f(x)dx??4M???2M??4M?2M??.因此, 由柯西准则，?af(x)g(x)dx收敛.数学分析第十一章反常积分高等教育出版社§2 无穷积分的性质与收敛判别无穷积分的性质
非负函数无穷积分的收敛判别法一般函数无穷积分的
收敛判别法定理11.4（阿贝尔判别法）若?f(x)dx收敛,g(x)在[a,??)上单调有界，??a则???a??af(x)g(x)dx收敛.证[证法1]设g(x)?M,x?[a,??),由于?f(x)dx收敛,则???0,?G?a,当u2?u1?G时，2M对任意的因g为单调函数，由积分第二中值定理，u1?u2f(x)dx??.u2?u1?G,???[u1,u2],使得数学分析第十一章反常积分高等教育出版社§2 无穷积分的性质与收敛判别无穷积分的性质
非负函数无穷积分的收敛判别法一般函数无穷积分的
收敛判别法??u2u1f(x)g(x)dx?g(u1)?uf(x)dx?g(u2)??f(x)dx.1?u2因此u2u1f(x)g(x)dx?g(u1)??u1f(x)dx?g(u2)??u2f(x)dx??2M?M??2M?M??.由柯西准则,[证法2]
???af(x)g(x)dx收敛.因g(x)在[a,??)上单调有界，故存在A使x???limg(x)?A.令g1(x)?g(x)?A,则g1(x)在[a,??)上单调趋于0.数学分析第十一章反常积分高等教育出版社§2 无穷积分的性质与收敛判别无穷积分的性质
非负函数无穷积分的收敛判别法一般函数无穷积分的
收敛判别法又因???af(x)dx收敛，故F(u)??f(x)dx在a??u[a,??)上有界,由狄利克雷判别法?af(x)g1(x)dx收敛, 所以
??a?f(x)g(x)dx????af(x)g1(x)dx?A???af(x)dx，积分收敛.数学分析第十一章反常积分高等教育出版社