§2 无穷积分的性质与收敛判别无穷积分的性质
非负函数无穷积分的收敛判别法一般函数无穷积分的
收敛判别法
推论2设f 是定义在[a,??)上的非负函数, 在任何有限区间[a,u]上可积.??1(i)若f(x)?p(p?1),则?f(x)dx收敛;ax??1(ii)若f(x)?p(p?1),则?f(x)dx发散.ax数学分析第十一章反常积分高等教育出版社§2 无穷积分的性质与收敛判别无穷积分的性质
非负函数无穷积分的收敛判别法一般函数无穷积分的
收敛判别法
推论3设f 是定义在[a,??)上的非负函数,在任何有限区
p间[a, u] 上可积.若limxf(x)??,则x???(i)当p?1,0?????时,?f(x)dx收敛;(ii)当p?1,0?????时,?f(x)dx发散.aa??说明: 推论3是推论2的极限形式，读者应不难写出它的证明.
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非负函数无穷积分的收敛判别法一般函数无穷积分的
收敛判别法
lnx例4 讨论?的收敛性( k >0 ).dxp1xkk1?plnxlnx?0.解(i)p?1时,limx2?p?xlimp?1???x???xx2k??lnx因此由推论3知道?dx收敛.p1xklnx1?pklimxlnx???.(ii)p?1时,limx?p?x???x???x??k因此同理知道???1lnxdx发散.pxk数学分析第十一章反常积分高等教育出版社§2 无穷积分的性质与收敛判别无穷积分的性质
一般函数无穷积分的判别法
若无穷积分绝对收敛.非负函数无穷积分的收敛判别法一般函数无穷积分的
收敛判别法?a??f(x)dx收敛,则称???af(x)dx可以用前面的性质3来判别一般无穷积分的收敛性. 性质3（绝对收敛的无穷积分必收敛）若f 在任何有限区间[a, u]上可积, 且?a??f(x)dx收敛,则???af(x)dx亦必收敛,并且??a?a高等教育出版社??f(x)dx??f(x)dx.数学分析第十一章反常积分§2 无穷积分的性质与收敛判别无穷积分的性质
非负函数无穷积分的收敛判别法一般函数无穷积分的一般函数无穷积分的收敛判别法收敛判别法
x(a?x)??1sinx1解由于?,而?dx收敛,321x(a?x)x?xx??sinx因此?dx绝对收敛.1x(a?x)例5判别?1??sinxdx(a?0)的收敛性.
收敛的无穷积分???af(x)dx不一定是绝对收敛的.
??a若???af(x)dx收敛而?|f(x)|dx发散,则称???af(x)dx条件收敛.数学分析第十一章反常积分高等教育出版社