?ME∥平面AD1. 6分
（2）设AE?m，如图建立空间直角坐标系 7分
zD1A1NMB1C1DCyAxEB
A(1,0,0),E(1,m,0),C(0,2,0),D1(0,0,2)，
AD1?(?1,0,2),AE?(0,m,0),DC?(0,2,?2),EC?(?1,2?m,0),平面AD1E的法向量1为n1?(x1,y1,z1)，由n1? AD1?0及n1?AE?0得n1?(2,0,1) 9分
平面D1EC的法向量为n2?(x,y,z)，由n2? DC?0及n2?EC?0得n2?(2?m,1,1) 111分
cos??n1n2n1n2?5?2m5(2?m)?1?12?4502?，即2m151m1?6?1，29解得0343m?或m?(舍）
2103所以AE? 12分
2考点：直线与平面平行的判定，二面角，距离的计算，空间向量的应用. 21．已知函数f(x)?12x?ax?(a?1)lnx，a?1． 2(1)求f(x)的单调区间；
(2)若g(x)?(2?a)x?lnx,f(x)?g(x)在区间[e,??)恒成立,求a的取值范围． 【答案】(1)（i）a?2, f(x)在(0,??)单调增加.
(ii)1?a?2,f(x)在(a?1,1)单调减少，在(0,a?1),(1,??)单调增加. (iii)a?2,f(x)在(1,a?1)单调减少，在(0,1),(a?1,??)单调递增. （2）a?2e?12e . 2
【解析】 试
题
分
析
：
(1)
f(x)的定义域为(??0,.
a?1x2?ax?a?1(x?1)(x?1?a)f(x)?x?a??? 注意分以下情况讨论导函数值
xxx'的正负，确定函数的单调区间.a?2， 1?a?2,a?2等.
12x?alnx?2x?0恒成立. 212a'引入函数F(x)?f(x)?g(x)?x?alnx?2x， 则F(x)?x??2?2a?2?0
2x12得到F(上是增函数，从而只需F(e)?e?a?2e?0，求得x)在区间[e,??）21a?2e?e2 .
2（2）由题意得f(x)?g(x)?试题解析：(1)f(x)的定义域为(0,??). 1分
a?1x2?ax?a?1(x?1)(x?1?a)f(x)?x?a??? 3分
xxx'(x?1)2（i）若a?1?1即a?2,则f(x)?故f(x)在(0,??)单调增加. 4分
x'(ii)若a?1?1,而a?1,故1?a?2,则当x?(a?1,1)时，f'(x)?0; 当x?(0,a?1)或x?(1,??)时，f'(x)?0；
故f(x)在(a?1,1)单调减少，在(0,a?1),(1,??)单调增加. 5分 (iii)若a?1?1,即a?2,
同理可得f(x)在(1,a?1)单调减少，在(0,1),(a?1,??)单调递增. 6分 （2）由题意得f(x)?g(x)?设F(x)?f(x)?g(x)?则F(x)?x?'12x?alnx?2x?0恒成立. 212x?alnx?2x， 8分 2a?2?2a?2?0 x所以F(x)在区间[e,??）上是增函数， 10分 只需F(e)?121e?a?2e?0即a?2e?e2 12分 22考点：应用导数研究函数的单调性、最值.
2x2y222．已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)经过点M(2，1),离心率为2．
ab(1)求椭圆C的方程：
(2)过点Q(1,0)的直线l与椭圆C相交于A、B两点,点P(4,3),记直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,当k1·k2最大时,求直线l的方程．
x2y2??1.(2) x?y?【答案】(1) 1?0. 42【解析】
21?2?1 ②， 即得解. 2ab (2)两种思路，一是讨论①当直线l的斜率为0，②当直线l的斜率不为0的情况；二是讨论①当直线l垂直于x轴，②当直线l与x轴不垂直的情况.两种情况的不同之处在于，直线方
试题分析：(1) 由已知建立方程组a?2b ①
22程的灵活设出.
y?1, 第二种思路可设直线l的方程为y?k(x?1).第一种思路可设直线l的方程为x?m两种思路下，都需要联立方程组，应用韦达定理，简化解题过程.
本题是一道相当典型的题目.
c2a2?b2122?a?2b试题解析：(1) 由已知可得2?，所以 ① 12aa2分
又点M(2,1)在椭圆C上，所以由①②解之，得a2?4,b2?2.
21?2?1 ② 2分 2abx2y2??1. 4分 故椭圆C的方程为42(2)解法一：①当直线l的斜率为0时,则k1?k2?333??; 5分 4?24?24y?1, ②当直线l的斜率不为0时,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为x?mx2y222?1,整理得(将x?m. 7分 m?2)y?2my?3?0y?1代入?42则y1?y2??3?2m, 9分 yy?1222m?2m?2y1,xy1, 又x1?m1?2?m2?所以,k1?k2?9?3(y?y)?yy(3?y)(3?y)3?y13?y2121212 ? ??29?3m(y?y)?myy3?my)(3?my)4?x14?x2(121212
?2m?3?22m?2m?2
=?2m?39?3m2?m22m?2m?29?3?3m2?2m?534m?1 11分 ???224m?648m?1232t
4t?2t?2513当t?0时即m??时，k1?k2?；
4432t32当t?0时，k ?k????122254t?2t?254(t?)?2t733?k1?k2? 或?k1?k2?1 1244m?1,则k令t?4?k12??2当且仅当t?5,即m?1时, k1?k2取得最大值. 13分 由①②得,直线l的方程为x?y?1?0. 14分
663+22=5; 解法二：①当直线l垂直于x轴时,则k1?k2?4?14?163?②当直线l与x轴不垂直时,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为y?k(x?1),
x2y2将y?k(x?1)代入??1,整理得(1?2k2)x2?4k2x?2k2?4?0.
424k22k2?4,x1x2?则x1?x2? 1?2k21?2k2又y1?k(x1?1),y2?k(x2?1), 9?k2?(3k?k2)x1x2?k2x1x23?2k?5k23?y13?y2?, 所以,k1?k2? ??24?6k4?x14?x216?4(x1?x2)?x1x223?2k?5k2?k??k?1,h(k)?0令h(k)?由得或 234?6k所以当且仅当k?1时k1?k2最大，所以直线l的方程为x?y?1?0.
考点：椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，直线方程，基本不等式，应用导数研究函
数的最值.