Δ?2FN1l2FN43lFN3l ??EAEA3EA(e)
联立求解补充方程(e)、平衡方程(a)与(b)，最后得 即
FN3?(9?23)EA(33?2)EAΔ, FN4?Δ
23l23lFN,BC?FN,GD?FN,GE?(9?23)EAΔ （拉）
23l(33?2)EAFN,CD?FN,CE?Δ （压）
23l3-27
图a所示钢螺栓，其外套一长度为l的套管。已知螺栓与套管的横截面面积分
别为Ab与At，弹性模量分别为Eb与Et，螺栓的螺距为p。现将螺母旋紧1/5圈，试求螺栓与套管所受之力。螺帽与螺母的变形忽略不计。
题3-27图
解：首先设想套管未套上，而将螺母由距螺帽l处旋转1/5圈，即旋进?=p/5的距离。然后，再将套管套上。由于螺帽与螺母间的距离小于套管的长度，故套合后的螺栓将受拉，而套管则受压。
设螺栓所受拉力为FNb，伸长为?lb，套管所受压力为FNt，缩短为?lt，则由图b与c可知，平衡方程为
而变形协调方程则为
利用胡克定律，得补充方程为
FNb?FNt?0
(a)
?lb??lt??
FNblFNtl??? AbEbAtEt(b)
最后，联立求解平衡方程（a）与补充方程（b），得螺栓与套管所受之力即预紧力为
?AbEbFN0?FNb?FNt?
l?1?k?式中，
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k?AbEb AtEt3-28 图示组合杆，由直径为30mm的钢杆套以外径为50mm、内径为30mm的铜管
组成，二者由两个直径为10mm的铆钉连接在一起。铆接后，温度升高40℃，试计算铆钉剪切面上的切应力。钢与铜的弹性模量分别为Es = 200GPa与Ec=100GPa，线膨胀系数分别为
?ls=12.5×10-6℃-1与?lc=16×10-6℃-1。
题3-28图
解：设温度升高?T时钢杆和铜管自由伸长量分别为δTs和δTc，由于二者被铆钉连在一起，变形要一致，即变形协调条件为
或写成
δTs?Δls?δTc?Δlc
Δls?Δlc?δTc?δTs
这里，伸长量Δls和缩短量Δlc均设为正值。
引入物理关系，得
FNslFNcl??(αlc?αls)lΔT EsAsEcAc将静力平衡条件FNs?FNc?F代入上式，得
F?EsAsEcAc(αlc?αls)ΔT
EsAs?EcAc注意到每个铆钉有两个剪切面，故其切应力为 由此得
η?FSFEsAsEcAc(αlc?αls)ΔT ??A2A2A(EsAs?EcAc)
200?109?0.0302?100?109(0.0502?0.0302)(16?12.5)?10?6?40N?? 2?0.0102[200?109?0.0302?100?109(0.0502?0.0302)]m2 ?5.93?107Pa?59.3MPa3-29图示结构，杆1与杆2各截面的拉压刚度均为EA，梁BD为刚体，试在下列两
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种情况下，画变形图，建立补充方程。
(1) 若杆2的实际尺寸比设计尺寸稍短，误差为?；
(2) 若杆1的温度升高?T，材料的热膨胀系数为?l。
题3-29图
(1)解：如图3-29(1)a所示，当杆2未与刚性杆BD连接时，下端点位于D??，即DD????。 当杆2与刚性杆BD连接后，下端点铅垂位移至D?，同时，杆1的下端点则铅垂位移至C?。过C?作直线C’e垂直于杆1的轴线，显然Ce?Δl1，即代表杆1的弹性变形，同时，D?D???Δl2，即代表杆2的弹性变形。与上述变形相应，杆1受压，杆2受拉，刚性杆BD的受力如图3-29(1)b所示。
图3-29(1)
可以看出，
DD??2CC?
即变形协调条件为
??Δl2?2?2Δl1
而补充方程则为
??或
F2l4F1l??0 EAEAEA??0 l (2)解：如图3-29(2)a所示，当杆1未与刚性杆BD连接时，由于其温度升高，下端点位
F2?4F1?于C??，即CC????l2lΔT。当杆1与刚性杆BD连接后，下端点C铅垂位移至C?，而杆2的下端点D则铅垂位移至D?。过C?作直线C’e垂直于直线CC??，显然，eC???Δl1即代表杆1
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的弹性变形，同时，DD??Δl2，代表杆2的弹性变形。与上述变形相应，杆1受压，杆2受拉，刚性杆BD的受力如图3-29(2)b所示。
图3-29(2)
可以看出，
DD??2CC?
故变形协调条件为
Δl2?2?2?l2lΔT?Δl1
而补充方程则为
???F2lF1?2l???22??2lΔT??l? EAEA??或
F2?4F1?4EA?lΔT?0
3-30 图示桁架，三杆的横截面面积、弹性模量与许用应力均相同，并分别为A，E
与[?]，试确定该桁架的许用载荷[F]。为了提高许用载荷之值，现将杆3的设计长度l变为
l?Δ。试问当?为何值时许用载荷最大，其值[F]max为何。
题3-30图
解:此为一度静不定问题。
节点C处的受力及变形示如图3-30a和b。
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图3-30
由图a得平衡方程为
FN1?FN2， 2FN1cos30??FN3?F
由图b得变形协调条件为
(a)
依据胡克定律,有
Δl1?Δl3cos30?
(b)
FNili (i?1,2,3) EA将式(c)代入式(b)，化简后得补充方程为
4 FN3?FN1
3将方程(b’)与方程(a)联解，得
34 FN1?FN2?F， FN3?F?FN1
4?334?33
Δli?(c)
(b’)
由此得
ζmax?FN34F??[ζ] A(4?33)A(4?33)[?]A(4?33)[?]A , [F]?44为了提高[F]值，可将杆3做长?，由图b得变形协调条件为
F?
Δl3?Δ?Δl1
cos30?式中，?l3与?l1均为受载后的伸长，依题意，有了?后，应使三根杆同时达到[ζ]，即 由此得
[ζ]4[ζ]l?Δ?l E3E[ζ]l[ζ]l4 Δ?(?1)?3E3E此时，各杆的强度均充分发挥出来，故有
[F]max?2([?]Acos30?)?[?]A?(1?3)[?]A
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