2011年暑假补课高二数学复习讲义 第一讲 函数概念与性质（张永国）
一、函数的定义
对于y?f(x)而言，任意一个x的取值，在y?f(x)的作用下，都有唯一的y值与之对应。 其中：x取值称自变量，y对应的取值称函数值。
二、函数的表示法：
1.解析式法。如：s??? y?ax?hx?c(a?0) 2.列表法 3.图像法
三、分段函数的理解
22?f(x1)?f(x)?2 f(x)???......??f(xn)x?A1x?A2......x?An
?x2?3(x?0)?(x?0) 例1：已知函数f(x)??1?x?4(x?0)?（1） 求f[f(f(?4))]的值 （2）若f(x)?7，求x 2
四、函数定义域、函数解析式的认识
1.函数定义域的求解方法：①分式函数→分母不为零 ②偶次根式函数→根式内非负 ③多个函数组合→定义域交集 ④y?f(x)与y?f[g(x)]定义域关系 例2：已知f(x)定义域为[-1,2]，求f(3x)的定义域。 已知f(3x)定义域为[-1,2]，求f(x)的定义域。
2.函数解析式的理解和扩展①y?f(x)与y?f[g(x)]函数解析式间关系。 ②变量赋值法求解函数解析式。③利用函数重要性质，求解函数值。
1
例3：已知f(
11?1)?2?1，求f(x)。 xx例4：设函数f(x)满足f(?x)?2f(x)?x?3，求f(x)的解析式。
五、函数的值域 0
1函数值域的求解方法
①二次函数的值域 y?ax?bx?c(a?0)
②根式函数的值域 y?x?2x?1 ③分式函数的值域 y?例5：求下列函数的值域（1）y?x?2x?1 （2）y?
六、函数的单调性 1.函数单调性的定义：
在函数y?f(x)定义域I内的某一区间A内，，任意取x1?x2，都有f(x1)?f(x2)，则称f(x)为此区间A上的增函数。
同理，若x1?x2，有f(x1)?f(x2)，称f(x)为此区间A上的减函数。 例6：判断函数y=2x+3在R上的单调性
000
2.函数单调性的判断手段1图像法 2直接法 3定义法 3.函数单调性的性质
1多个函数f(x)、g(x)、…单调性与f(x)?g(x)单调性关系。 2单调性求函数值域。 3复合函数单调性的判断依据。
例7：函数y=f(x)的图象与y=2的图象关于直线y=x对称，求函数y=f(4x-x)的递增区间
x20
0
0
23x?4 x2?12x。 2x?x?1 2
七、反函数
1．反函数定义。
2．反函数存在的条件：原函数在区间七一一对应。 3．反函数与原函数定义域、值域间的关系。
反函数值域=原函数定义域 反函数定义域=原函数值域 4.反函数的求解步骤：①由y?f(x)解得x?f ②对调x,y位置，得y?f?1?1(y)
(x) ③求反函数定义域
5.原函数与反函数图像关于y=x对称。
6.若（a,b）在函数y=f(x)图象上，则(b,a)在y?f例8：求函数y?3x?1（x<0）的反函数。
八、奇偶性
1.奇偶函数满足的条件：（1）定义域关于原点对称（2）f(-x)=f(x)或-f(x) 2.奇偶函数的性质：（1）偶函数图象关于y轴对称，奇函数图象关于原点对称
（2）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间单调性相反，奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间单调性相同
（3）奇函数在x=0处有意义时，有f(x)=0 例9：已知函数f(x)=x+
22?1(x)图象上
a(x?0,a?R)讨论f(x)的奇偶性 x
九、周期性
定义：函数的最小正周期必须满足下列两个条件： （1）对于定义域内任意x，均有f(x+T)=f(x)
（2）T是所有周期中最小正数，即nT为周期(n?Z且n?0)即有f(x+nT)=f(x) 例10：设函数f(x)是定义域R上的奇函数，对任意实数x有f(x+（1）证明y=f(x)是周期函数，并求出其周期 （2）若f(1)=2求f(2)+f(3)的值
（3）若g(x)=x+ax+3,且y=|f(x)|g(x)是偶函数，求函数h(x)=log
3
233)= -f(-x)成立 221(a?)2( x+x+a)的单调区间
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作业布置
1.已知g(x)??
?x?1(x?0)，f(x)?x2?1,求f[g(x)]、g[f(x)]。
?2?x(x?0)1?x212.g(x)?1?2x，f[g(x)]?，求(x?0)f()的值。 22x
3.已知f(x)?
4.已知函数f(x)?
5.f(x)??x?2x?1在区间[-3,a]上是增函数，求a的取值范围。
6.若定义在[-1,1]上的函数f(x)满足f(?x)??f(x)，且f(x)为减函数，若
212?2x，求f(?5)?f(?4)?...?f(5)?f(6)的值。
ax?b的值域为[-1,4]，求实数a，b的值。 x2?1f(1?a)?f(1?a2)?0，求a的范围。
7.作出函数y?1?x(x?1)的图像。
8.求函数y=- x+2x(x?0)的反函数
9.设f(x)是定义在（0，+∞）上的单调增函数，且对定义域内任意x,y都有求使不等式f(x)?f(x?3)?2成立的x的取值范围。 f(x?y)?f(x)?f(y)?f(2)?1，
10.若函数满足f(?x)??f(x)，且f(x)在（0，+∞）上是增函数，且f(?2)?0，则
2xf(x)?0的解集？
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2011年暑假补课高二数学复习讲义
第二讲 二次函数、指数函数、对数函数（张永国）
基本知识点
一、二次函数的图像与性质 解 析 式 y?ax2?bx?c(a?0) a>0 a<0 图像 开口方向 对 称 轴 顶点 单 调 性 在(??,?在[?向上 b 2a向下 直线x??b4ac?b2(?,) 2a4ab]上递减； 2a在(??,?在[?b]上递增； 2ab,??)上递增。 2ab,??)上递减。 2a最 值 当x??b时， 2a当x??b时， 2a4ac?b2 y取最小值4a4ac?b2 y取最大值4a二、指数函数与对数函数 1、 指数式与对数式的关系
（1）ab?N?b?logaN(a?0,且a?1)； （2）alogaN?N；
1（3）logaa?1； （4）loga?0。
2、（1）指数运算性质与对数运算性质对照 指数式 ax?ay?ax?y ax?ay?ax?y (ax)y?ax?y 对数式 loga(x?y)?logax?logay logax?logax?logay ylogaxby?ylogab x（2）对数换底公式
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