第八单元 直线、平面、简单几何体
第一节 平面与空间两条直线（包括异面直线所成角和距离） 一．高考考点
1．平面概念（原始概念）：在空间无限延伸的水平状态的几何图形，一般用平行四边形菱形表示，并在角上写上字母?、?、?、等或用对角线字母。记作平面?或平面AC 平面特征：（1）平 （2）广 （3）无厚薄
2．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。（判定直线是否在平面内的依据）
公理2：如果两个平面有一个公共点那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。（①判定两平面交于一条直线的依据；②证明点共线：③证明点在直线上）
公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一平面。 推论1：经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面a?b =p?a ,b确定一个平面 推论3：经过两条平行直线,有且只有一个平面a‖b?a,b确定一个平面 （公理3及其三个推论是确定平面的具体位置及判定两个平面重合的依据）
注意：?1?集合符号与几何术语表示：A?l （A在直线l上）； A?α（A在平面?内）； l ?? （直线l在平面?内）； l ?? （l不在?内）
?2?有且仅有一个?确定一个存在性，唯一性
?3?公理及推论应用：①证点共线：证点是两平面的公共点?公理2?；②证线共点：证两直线
交点在第三条直线上；③证线共面：先由公理3确定平面，然后证第三条直线上的两点在平面?内?公理1?
3．水平放制的平面图形的直观的画法：斜二测画法
角度45（或135） ；平行X轴长不变；平行Y轴长变为一半。
4．空间两条直线的位置关系
位置关系 两直线共面 异面
5．异面直线（不同在任何一个平面内的两条直线）
1
??图 示 A a B a b 表示方法 公共点个数 一个 没有 相 交 平行 α a?b?A a∥b A b α a、b是异面直线 没有 异面直线判定：①用定义（多用反证法）；②判定定理：平面内一点和平面外一点的连线与平面内不经过该点的直线是异面直线。
异面直线所成的角：过空间的任一点与这两条异面直线平行的两直线所成锐角（或直角）。θ∈(0,π／2]；若两条异面直线所成角是直角，则称两异面直线垂直。 空间两直线垂直又相交垂直与异面垂直两种情况。 异面直线的公垂线及距离：
（1）和两条异面直线都垂直相交的直线叫异面直线的公垂线（公垂线存在且唯一） （2）公垂线段：公垂线夹在异面直线之间的部分 （3）异面直线间的距离 （即公垂线段的长）
注：①若一个平面过一条直线并与另一条直线平行，则这直线与平面的距离就等于异面直线间的距离。
②若两个平行平面分别过两条异面直线则两平行平面的距离等于两异面直线间的距离。 6．等角定理
一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。 推论：两条相交直线分别与另外两条直线平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等 7．平行公理
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
二．强化训练 一．选择题
1．A、B、C表示不同的点，a、l表示不同的直线，?、?表示不同的平面，下列推理不正确的是 （ ）
(A) A?l,A??,B?l,B???l??
(B) A??,A??，B??,B???????AB直线 (C) l??,A?l?A??
(D) A,B,C??，A,B,C??且A,B,C不共线??与?重合
2．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45，腰和上底边均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是 （ ）
?(A)122? (B)1? (C)1?2 (D)2?2 2223．对于空间三条直线，有下列四个条件：
① 三条直线两两相交且不共点； ② 三条直线两两平行； ③ 三条直线共点；
④ 有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交．
其中，使三条直线共面的充分条件有 （ ）
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
4．已知E,F,G.H是空间的四个点。命题甲：点E,F,G,H 不共面； 命题乙：点E,F,G,H 中任何三点不共线那么甲是乙成立的? ?条件。
2
?A?充分非必要 ?B?必要非充分 ?C?充要 ?D?非充分非必要 5．下列命题中正确的一个是（ ）
（A）若a与b是异面直线,b与c也是异面直线，则a与c也是异面直线； （B）已知异面直线a，b两条直线c，d分别与a，b都相交, 则c，d也是异面直线； （C）四个角都是直角的四边形一定是矩形； （D）两条异面直线可能没有公垂线
6．关于异面直线a，b下述命题中不正确的一个是（ ） （A）过直线a有且只有一个平面平行于b； （B）过直线a有且只有一个平面垂直于b
（C）存在分别经过直线a与b的两个互相平行的平面 （D）存在分别经过直线a与b的两个互相垂直的平面
7．直线a,b是异面直线，a??，b??，且平面????c，则（ ）
（A）c与a,b都不相交 （B）c与a,b都相交 （C））c至少与a,b的一条相交 （D）c至多与a,b的一条相交
8．室内有一根直尺，无论怎样放置，在地面上总有这样的直线，它与直尺所在的直线（ ） （A）异面 （B）相交 （C）平行 （D）垂直
9．?ABC的BC边上的高线为AD，BD?a，CD?b，且a?b，将?ABC沿AD折成大小为?的二面角B-AD-C，若cos??a，则三棱锥A?BDC的侧面?ABC是（ ） b （A）锐角三角形 （B）钝角三角形
（C）直角三角形 （D）形状与a,b的值有关的三角形 10．下列四个命题正确的是（ ）
① 已知a,b,c三条直线，其中a与b异面，a//c，则b与c异面； ② 若a与b异面，b与c异面，则a与c异面；
③ 过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线； ④ 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线； ⑤ 不平行不相交的两条直线叫做异面直线.
（A）③④⑤ （B）③④ （C）①②③④⑤ （D）①② 二．填空题
11．空间内五个点中的任意三点都不共线，由这五个点为顶点只构造出四个三棱锥，则这五个点最多可以确定 个平面 ．
12．如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，AB?1，
AE?B1F?
1，则异面直线BC,EF的距离是 。 313．已知a,b为不垂直的异面直线，?是一个平面，则a,b在?上
3
的射影有可能是
①两条平行直线 ②两条互相垂直的直线 ③同一条直线 ④一条直线及其外一点 在上面结论中，正确结论的编号是 （写出所有正确结论的编号）.
14．如图所示，在棱长为1的正方体A1B1C1D1?ABCD中，M为AB的中点，N为BB1的中点，O为面BCC1B1的中心，过O作一直线与AN交于P，与CM交于Q，则PQ的长为 。
三．解答题
15．如图，四面体AB－CD中，E、Ｇ分别为BC、AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF：FC=2：3，DH：HA=2：3，求证：EF、GH、BD交于一点．
B E C G A H D F
O
16．在二面角??l??中，A、B∈α，C、D∈l，ABCD是矩形，P∈β，PA⊥α，且PA=AD，M、N依次是AB、PC的中点．
（１）证明：ＭＮ是异面直线ＡＢ和ＰＣ的公垂线； （２）求异面直线ＰＡ与ＭＮ所成的角．
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第二节 直线与平面平行和平面与平面平行
一．高考考点 （一）直线与平面平行 (1) 直线与平面的位置关系 (2) 直线与平面平行的判定
① a∩α=ф?a∥α(定义法)；
② 判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。（a∥b，a??，b???a∥α）；
③ b⊥a, b⊥α, a???a∥α； ④ α∥β,a?α?a∥β。
(3) 直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。（a∥α，a?β，α∩β=b?a∥b；即“线面平行，则线线平行”） (4) 直线与平面的距离: 一条直线和一个平面平行,这条直线上任一点到这个平面的距离叫做这条直线与平面的距离。（注：线到面的距离是用点到平面的距离来度量的） （5）思维方式: 线线平行或找一直线在平面内作经过直线作或找?线线平行 ?线面平行平面与平面相交得交线（6）特别注意:在直线与平面的位置关系中,直线与平面平行,直线与平面相交,统称直线在平面外,记作a??.
（二）平面与平面平行
（1）位置关系：平行：没有公共点；?//?
相交：至少有一个公共点，必有一条公共直线，公共点都在公共直线上．
（相交包括垂直相交和斜交）????l或???
（2）平行的判定：
① 定义：没有公共点的两个平面平行．（常用于反证）???????//? ② 判定定理：若一个平面内的两条相交直线平行于另一平面，则这两个平面平行．
（线线平行推得线面平行）a,b??,a?b?o,a//?,b//???//?
③ 垂直于同一条直线的两个平面平行．a??,a????//? ④ 平行于同一个平面的两个平面平行．?//?,?//???//? ⑤ 过已知平面外一点作这个平面的平行平面有且只有一个． （3）平行的性质：
① 两个平行平面没有公共点(定义法)．?//???????
② 若一个平面与两个平行平面都相交，则两交线平行．（面面平行得线线平行） ?//?,????a,????b?a//b
③ 两个平行平面中的一个平面内的所有直线平行于另一个平面．（面面平行得线面平行）
?//?,a???a//?
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