④ 一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，必垂直于另一个平面．（用来判定直线与平面垂直）
?//?,a???a??
⑤ 一般地，一条直线与两个平行平面所成的角相等，但反之不然．
⑥ 夹在两个平行平面间的平行线段相等．特别地，两个平行平面间的距离处处相等．
二．强化训练
一．选择题（共10个小题）
1．已知直线a、b和平面?，那么a//b的一个必要不充分的条件是 （ ） (A)a//?，b//? (B)a??，b??
(C)b??且a//? (D)a、b与?成等角
2．?、?表示平面，a、b表示直线，则a//?的一个充分条件是 （ ） (A)???，且a?? (B)????b，且a//b (C)a//b，且b//? (D)?//?，且a??
3．若不共线的三点到平面?的距离相等，则该三点确定的平面?与?之间的关系为（ ） A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．以上都不是
4.已知平面?//平面?，P是?,?外一点，过点P的直线m与?,?分别交于点A,C，过点P的直线n与?,?分别交于点B,D，且PA?6，AC?9，PD?8，则BD的长为（ ）
24 (C)14 (D)20 55．在下列条件下，能够判定平面M与平面N平行的条件是（ ）
(A)16 (B)24或
（A）M、N都垂直于另一平面Q （B）M内不共线的三点到N的距离相等
l∥N,m∥N （C）l,m是M内的两条直线，且l∥N,m∥N （D）l,m是两条异面直线，且l∥M,m∥M，
6．a,b,c为三条不重合的直线，α,β,γ为三个不重合的平面，现给出六个命题：
?//b?a//???//??①a//b? ② ③ ?a//b???//? ④???a//b???//??//b?b//c?b//???//???//??⑤ ?//c? ⑥?a//???a//? 其中正确的是（ ） ?a//??a//c?（A）①②③ （B）①④⑤ （C）①④ （D）①④⑤⑥ 7．a,b表示直线，?表示平面，则下列命题中正确的个数为（ ） ① 若a??,a?b，则b//? ② 若a//?,a?b，则b??
③ 若a//?,b??，则b?a ④ 若a??,b??，则a?b （A）1 （B）2 （C）3 （D）4
8．如果直线a//平面?，那么（ ） （A）平面?内不存在与a垂直的直线 （B）平面?内有且只有一条直线与a垂直 （C）平面?内有且只有一条直线与a平行 （D）平面?内有无数条直线与a不平行
9．已知直线l,m，平面?,?，且l??,m??，给出下列四个命题： ① 若?//?，则l?m； ② 若l?m，则?//?；
6
③ 若???，则l//m；
④若l//m，则???。其中正确命题的个数为（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
10．在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AE:EB?AF:FD?1:4，又H，
G分别为BC，CD的中点，则（ ） （A）BD//平面EFG，且EFGH是矩形 （B）EF//平面BCD，且EFGH是梯形
（C）HG//平面ABD，且EFGH是菱形 （D）EH//平面ADC，且EFGH是平行四边形 二．填空题
11．空间四边形ABCD的两条对角线AC?4，BD?6，则平行于两对角线的截面四边形的周长的取值范围是 ．
12．正方体ABCD?A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系是 . 13．设?，?表示平面，a,b表示不在?内也不在?内的两条直线. 给出下列四个论断： （1）a//b； （2）a//?； （3）???； （4）b??. 若以其中三个论断作为条件，余下的一个作为结论，可以构造出一些命题. 写出你认为正确的一个命题： .
（注：写法如“（）、（）、（）?（）”，只需在（ ）中填入论断的序号.）
14．在四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1,C1D1,DD1,DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足 时，有MN//平面B1BDD1. 三．解答题
15．如图，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，侧面PBC内有BE⊥PC于E，且BE=
F B 63a，试在AB上找一点F，使得EF∥平面PAD。
P G A E C
D
16．如图，已知平面α∥β∥γ,且β位于α与γ之间，点A,D∈α,C,F∈γ,AC∩β=B,DF∩β=E． （１） 求证：
ABDE； ?BCEF（２） 设AF交β于Ｍ，AC与DF为异面直线，α与β间的距离为h′，α与γ间的距离为h，当
值是多少的时候，?BEM的面积最大？
7
h?的hＡ ? Ｍ Ｄ ? ? Ｂ Ｅ Ｆ Ｃ
第三节 直线与平面垂直和平面与平面垂直 一．高考考点 （一）直线与平面垂直
(1)直线与平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么就称这条直线和这个平面垂直。
(2)直线与平面垂直的判定：常用方法有：
① 判定定理: a??,b??,a?b?P, l?a,l?b?l??.
② b⊥α, a∥b?a⊥α；（线面垂直性质定理） ③α∥β,a⊥β?a⊥α（面面平行性质定理） ④α⊥β，α∩β=l，a⊥l，a?β?a⊥α（面面垂直性质定理） (3)直线与平面垂直的性质定理：
① 如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。（ a⊥α，b⊥α?a∥b） ② 直线和平面垂直时，那么该直线就垂直于这个平面内的任何直线(a??,b???a?b) (4)点到平面的距离的定义: 从平面外一点引这个平面的垂线，这个点和垂足间的线段的长度叫做这个点到平面的距离。
（5）三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直；
三垂线逆定理：在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线
的射影垂直。
注意：①两个定理中“平面内”这个条件不能省略，否则不一定成立。三垂线定理及其逆定理共涉及“四线一面”。其中平面的垂线、平面的斜线及射影这三条直线都是平面内的一条直线的垂线。
②利用三垂线定理及其逆定理的关键是要善于从各种图形中找出“平面的垂线”、“平面的斜线”、“斜线的射影” 。
③从两个定理的作用上区分，三垂线定理解决已知共面直线垂直证明异面直线垂直，逆定理相反。 ④主要应用：可证两异面直线垂直；确定点到直线的垂线等；可确定二面角的平面角。 线线垂直?线面垂直?线线垂直
（6）特别注意:点到面的距离可直接向面作垂线，但要考虑垂足的位置，如果垂足的位置不可确定，往往采取由点向面上某一条线作垂线，再证明此垂足即为面的垂足。
（二）平面与平面垂直 1．二面角
（1）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
（2）二面角的平面角：以两面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
（3）二面角的大小，可以用它的平面角来度量。范围是：?0,?? （4）直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。 2．平面与平面垂直
（1） 定义：两个平面相交，如果它们所成的角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。
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B 0 A 记作：平面α⊥平面β
α α β
β
（2） 判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 （简称：线面垂直，面面垂直）
（3）两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。（简称：面面垂直，线面垂直。）
（4）思维方式:判定两相交平面垂直的常用方法是.：线面垂直，面面垂直；有时用定义也是一种办法。
（5）特别注意:用定义时二面角平面角的确定。 二．强化训练 一．选择题
1．下列命题中，正确的命题是（ ）
A．若a是平面?的斜线，直线b垂直于a在?内的射影，则a⊥b.
B．若a是平面?的斜线，平面?内的直线b垂直于a在?内的射影，则a⊥b.
C．若a是平面?的斜线，b是平面?内的一条直线且b垂直于a在这个平面内的射影，则a⊥b. D．若a是平面?的斜线，直线b平行于平面?，且b垂直于a在另一平面?内的射影，则a⊥b. 2．已知四边形ABCD所在平面外一点P，在四个三角形△PAB、△PBC、△PCD、△PDA中，直角三角形最多可有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．设a，b是两条异面直线，在下列命题中正确的是（ ）
（A） 有且仅有一条直线与a，b都垂直； （B） 有一个平面与a，b都垂直；
（C） 过直线a有且仅有一个平面与b平行；
（D） 过空间中任一点必可作一条直线与a，b都相交。 4．对于直线m、n和平面α、β，α⊥β的一个充分条件是（ ）
A、m⊥n，m∥α，n∥β B、m⊥n，α∩β=m，n?α C、m∥n，n⊥β，m?α D、m∥n，n⊥β，m⊥α 5．设a、b是异面直线，给出下列命题：
① 经过直线a有且仅有一个平面平行于直线b；
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② 经过直线a有且仅有一个平面垂直于直线b； ③ 存在分别经过直线a和b的两个平行平面； ④ 存在分别经过直线a和b的两个平面互相垂直。 其中错误的命题为（ ） ．．．
A、①与② B、②与③ C、③与④ D、仅② 6．若a,b,c表示直线，?表示平面，下列条件中，能使a??的是 （ ）
(A)a?b,a?c,b??,c?? (B)a?b,b//? (C)a?b?A,b??,a?b (D)a//b,b??
7．已知l与m是两条不同的直线，若直线l?平面?，①若直线m?l，则m//?；②若m??，则m//l；③若m??，则m?l；④m//l，则m??。上述判断正确的是 （ ）
(A)①②③ (B)②③④ (C)①③④ (D)②④ 8．直线l?平面?，直线m?平面?，有下面四个命题
① ?//??l?m ② ????l//m ③ l//m???? ④ l?m??//? 其中正确的两个命题是（ ）
（A）①与② （B）③与④ （C）②与④ （D）①与③
9．斜三棱柱ABC?A1B1C1中，?BAC?90?,BC1?AC，则C1在底面ABC上的射影H必在（ ） （A）直线AB上 （B）直线BC上 （C）直线CA上 （D）?ABC内部 10．如果直线l,m与平面?,?,?满足：????l,l//?,m??和m??，那么必有（ ） （A）???且l?m （B）???且m//? （C）m//?且l?m （D）???且???
二．填空题
11．已知m，l是直线，α，β是平面，给出下列命题：
（A） 若l垂直于α内的两条相交直线，则l⊥α； （B） 若l平行于α，则l平行于α内的所有直线； （C） 四面体中最多可以有四个面是直角三角形。 （D） 若m?α且l⊥β， 且α∥β则m?l 其中正确命题的是 。
12． α ，β是两个不同的平面，m ，n是平面α及β之外两条不同的直线，给出四个论断：（A）m∥n （B）m∥β （C）α⊥β （D）n⊥α以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题 。
ABCD满足条件 时， 13．在直四棱柱ABCD?A1BC11D1中，当底面四边形
有AC?B1D1（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况） 114.设三棱锥P?ABC的顶点P在平面ABC上的射影是H，给出以下命题： ①若PA?BC，PB?AC，则H是?ABC的垂心
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