第五节 直线和平面所成的角和平面与平面所成的角 一．高考考点
空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。这些角是对点、直线、平面所组成空间图形的位置进行定性分析和定量计算的重要组成部分，学习时要深刻理解它们的含义，并能综合应用空间各种角的概念和平面几何知识（特别是余弦定理）熟练解题。 (1) 异面直线所成的角：范围是（0，π/2〕。求两条异面直线所成的角的大小一般方法
一是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决。具体步骤如下：①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上（常用中位线、平行四边形）；②证明作出的角即为所求的角；③利用三角形来求角。
二是利用设基向量或建立坐标系，利用向量的夹角，设为θ，则异面直线所成的角为θ或180-θ。 (2) 直线与平面所成的角：范围是[0，π/2]。求直线和平面所成的角的方法是：
一是用的是射影转化法。具体步骤如下：①找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角；③把该角置于三角形中计算。
注：①斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角， 即若θ为线面角，α为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有???。
②如图DC⊥α, CB⊥AB由三垂线定理知AB⊥BD.记∠DAB=θ∠CAB=β
∠DAC=?,则cos??cos??cos?.
二是求直线所在向量与平面的法向量的夹角，设为θ，则直线与平面所成的角为θ-90或90-θ。
(3)确定点的射影位置有以下几种方法：
①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；
②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上； ③两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上； ④利用某些特殊三棱锥的有关性质，确定顶点在底面上的射影的位置：
a.如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心； b. 如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的内心(或旁心)；
c. 如果侧棱两两垂直或二组对棱互相垂直（必可推出第三组也垂直），那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心；
思维方式: 把空间问题转化为平面问题，从解决平面问题而使空间问题得以解决。求角的三个基本步骤：“作”、“证”、“算”。
特别注意:空间各种角的计算都要转化为同一平面上来，这里要特别注意平面角的探求。 二．二面角
（1）二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
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0
0
0
D A C B ? （2）二面角的平面角：以两面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
（3）二面角的大小，可以用它的平面角来度量。范围是：?0,?? 解题时要注意图形的位置和题目的要求。 作二面角的平面角常有三种方法:
① 棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，
过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角。
② 面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角。
③ 空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。
直接求二面角的方法有以下二种： ① 利用斜面面积和射影面积的关系公式：
S??S?cos?(S为原斜面面积,S?为射影面积,?为斜面与射影所成二面角的平面角)这个公式对
于斜面为三角形,任意多边形都成立.是求二面角的好方法.当作二面角的平面角有困难时,如果能找得斜面面积的射影面积,可直接应用公式,求出二面角的大小.
② 利用建立空间直角坐标系或基向量，求两平面的法向量，面面角即为两面的法向量的夹角或其补角 （4）思维方式: 把空间问题转化为平面问题，从解决平面问题而使空间问题得以解决。求角的三个基本步骤：“作”、“证”、“算”。
（5）特别注意:空间各种角的计算都要转化为同一平面上来，这里要特别注意平面角的探求。
二．强化训练 一．选择题
1．直三棱住A1B1C1—ABC，∠BCA=90，点D1、F1 分别是A1B1、A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BD1与AF1
所成角的余弦值是（ ）
01 （A ）30 （B） （C）30 （D）15
21015102．PA、PB、PC是从P点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60，那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是（ ）
0D
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A. 1 B. 2 C. 3 D. 6
22333．若直线l与平面α所成角为取值范围是（ ） （A） [0,?，直线a在平面α内，且与直线l异面，则直线l与直线a所成的角的32??2???]] ] （C） [, （D） [,
33332?3 ] （B） [0,4． 矩形ABCD中，AB=1，BC=2，PA⊥平面ABCD，PA=1，则PC与平面ABCD所成的角是（ ）
（A） 30° （B） 45° （C） 60° （D） 90°
5．PA，PB，PC是从P点引出的三条射线，每两条的夹角为60°，则直线PC与平面APB所成角的余弦值为（ ） （A）
0
1633 （B） （C） （D） 23320
6．在一个45的二面角的一个平面内有一条直线与二面角棱成45角，则此直线与二面角的另一个面所成的角为 （ ）
（A)30 （B)45 （C)60 （D)90
7．平面P和平面Q所成的二面角为α，直线AB?P且与二面角的棱成β角，它和平面Q成γ角，那么（ ）
0
0
0
0
??si?n?（A） sin （C） sin??sin??22s?i n （B） cos??cos??cos?
222 （D） cos??cos??cos? s2i?n8．二面角??l??的平面角为120°，A，B?l,AC??,BD??，若
AC?l,BD?l,AB?AC?BD?1,则CD=（ ）
（A）
2 （B） 3 （C） 2 （D） 5 a，则29．在边长为a的正三角形ABC中，AD⊥BC，沿AD将△ABD折起，若折起后B，C间距离为二面角B—AD—C的大小为（ ）
（A）30° （B）45° （C）60° （D）90°
10．三棱锥A-BCD中，AB=AC=CD=AD=a，要使三棱锥A-BCD的体积最大，则二面角B-AC-D的大
小为（ ） （A）
??2?? （B） （C） （D）
3236二．填空题
11．如图所示的正方体ABCD—A1B1C1D1中，过顶点B、D、C1作截面，则二面角B-DC1-C的大小是 。 12．若直线l1与直线l2垂直相交，且它们与平面α所成的角分别是30°和45°，那么l1和l2在平面α内的射影所成的锐角是_________；l1和l2确定的平面与平面α所成的锐二面角是_ __.
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13．已知面?内有?BAC?60，点P在?外，PA=2，P到AB，AC的距离均为3，则PA与平面??所成角的余弦值为 。
?14．二面角??l??的平面角为120，在?内，AB?l于B，AB=2，在?内，CD?l于D，CD=3，
BD=1，M是棱l上的一个动点，则AM?MC的最小值是 。 三．解答题
15．在四面体ABCD中，AB、BC、BD两两垂直，且AB=BC=2，E是AC中点，异面直线AD与BE所成的角大小为arccos
10,求四面体ABCD的体积. 1016．设D是ΔABC的BC边上一点,把ΔACD沿AD折起,使C点所处的新位置 C?在平面ABD上的射影H恰好在AB上.
(1)求证:直线C?D与平面ABD和平面AHC?所成的两个角之和不可能超过900
0(2)若?BAC?90,二面角C??AD?H为600,求?BAD的正切值.
第六节 空间距离 一．高考考点
1．点到直线的距离：点P到直线a的距离为点Ｐ到直线a的垂线段的长，常先找或作直线a所在平面的垂线，得垂足为A，过A作a的垂线，垂足为B连PB，则由三垂线定理可得线段ＰＢ即为点Ｐ到直线a的距离．在直角三角形PAB中求出PB的长即可．
2．异面直线间的距离：异面直线a,b间的距离为a,b间的公垂线段的长．常有求法①先证线段AB为异面直线a,b的公垂线段，然后求出AB的长即可．②找或作出过b且与a平行的平面，则直线a到平面的距离就是异面直线a,b间的距离．③找或作出分别过a,b且与b,a分别平行的平面，则这两平面间的距离就是异面直线a,b间的距离．④(垂面法)a垂直于过 b的平面，再过垂足作b的垂线。⑤利用异面直线两点间的距离公式。⑥利用向量中的射影求距离 思维方式：发散的思维和空间思维．大胆的设想，严密的推理． 特别注意：严密的逻辑推理，而不是单凭感觉和估计．
3．点到平面的距离：点Ｐ到平面?的距离为点Ｐ到平面?的垂线段的长．常用求法①作出点Ｐ到平面的垂线后求出垂线段的长．②转移法，如果平面?的斜线上两点Ａ，Ｂ到斜足Ｃ的距离ＡＢ，ＡＣ的比为m:n，则点Ａ，Ｂ到平面?的距离之比也为m:n．特别地，ＡＢ＝ＡＣ时，点Ａ，Ｂ到平面?的距离相等．③体积法．④向量法
4．直线到平面的距离：只存在于直线和平面平行之间．为直线上任意一点到平面间的距离．
5．平面与平面间的距离：只存在于两个平行平面之间．为一个平面上任意一点到另一个平面的距离．
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Ａ ? Ｄ Ｃ Ｅ Ｂ 注：以上所说的所有距离：点线距，点面距，线线距，线面距，面面距都是对应图形上两点间的最短距离。所以均可以用求函数的最小值法求各距离。 6．球面上两点的球面距离
7．思维方式：发散的思维和空间思维．大胆的设想，严密的推理． 8．特别注意：了解求距离的各种方法并能掌握运用。
二．强化训练 一．选择题
1．把边长为a的正△ABC沿高线AD折成600的二面角，则点A到BC的距离是（ ）
（Ａ）a （Ｂ）
6315a （Ｃ）a （Ｄ）a 2349，那么点P到斜边AB的距离是 52．Rt△ABC的两直角边BC=3，AC=4，PC⊥面ABC，PC=（ ）
（A） 3 （B）4 （C） 15 （D）
2 3、两两平行的三条直线a，b，c中任意两条直线的距离都等于2，b与c确定平面α，则直线a与平面α间的距离 （ ）
（A） 等于0 （B） 等于3 （C） 等于2 （D） 不确定
4、已知二面角??l??为60°，如果平面α内有一点A到平面β的距离为3，那么A在平面β上的射影A1到平面α的距离为（ ） （A）3 （B）1 （C） 23 （D）2 5、已知EF是异面直线a、b的公垂线，直线l//EF，则l与a、b交点的个数是（ ） （A）0 （B）1 （C） 0或1 （D）0或1或2
6、已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a，则棱A1B1所在直线与对角线BC1所在直线间的距离是 （ ） （A）
2a （B） a （C） 2a2a （D）
27．平面α//平面β,它们之间的距离为d（d≠0），直线a在平面α内，则在平面β内（ ） (A) 有且只有一条直线与直线a的距离等于d (B) 所有的直线与直线a的距离等于d
(C) 有无数条直线与直线a的距离等于d，还有无数条直线与直线a的距离不等于d （D） 所有的直线与直线a的距离都不等于d
8. 平面α//平面β，到α的距离与β的距离之比为2：1的点的轨迹是（ ） （A）1个平面 （B）2个平面 （C）3个平面 （D）4个平面
9．空间四点A，B，C，D中，每两点所连线段的长都等于a，动点P在线段AB上，动点Q在线段CD
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