普通物理实验 第4章 测量的不确定度
?PV2?P? c1??????t[1??(t?t0)]R0[1??(t?t0)]2由于各分量互不相关，因此，合成标准不确定度为：
u2(P)?[?P22?P22?P?P]u(V)?[]u(R0)?[]2u2(?)?[]2u2(t)?V?R0???t
?[c1u(V)]2?[c2u(R0)]2?[c3u(?)]2?[c4u(t)]2222?u12(V)?u2(R0)?u3(?)?u4(t)合成标准不确定度为：uc(P)?222u12(V)?u2(R0)?u3(?)?u4(t)。
注：上述各式中的各个直接测量值的标准不确定度用相应的算术平均值的标准偏差充当。
4.5 测量结果的报道
在给出完整的测量结果时，一般应报告其测量不确定度。报告应尽可能详细，以便使用者可以正确
地利用测量结果。当然，按技术规范要求无需给出测量不确定度的除外。
在工业、商业等日常的大量测量中，有时虽然没有任何明确的不确定度报告，但所用测量仪器是经过检定处于合格状态，并且测量程序有技术文件明确规定，则其不确定度可以由技术指标或规定的文件评定。
证书上的校准结果或修正值应给出测量不确定度。
1．对于比较重要的测量，不确定度的报告一般应包括如下内容：
（1）有关输入量和输出量的函数关系以及灵敏系数ci； （2）修正值和常数的来源及其不确定度；
（3）输入量Xi的实验观测数据及其估计值xi，标准不确定度u（xi）的评定方法及其量值、自由度νi，并将它们列成表格；
（4）对所有相关输入量给出其协方差或相关系数r及其获得方法；
（5）测量结果的数据处理程序，该程序应易于重复，必要时报告结果的计算应能独立重复。 2．当用合成标准不确定度报告测量结果的不确定度时，还需注意：
（1）明确说明被测量Y的定义；
（2）给出被测量Y的估计值y、合成标准不确定度uc（y）及其单位，必要时还应给出自由度。 （3）必要时也可给出相对标准不确定度ucrel（y）。 3．合成标准不确定度的报告形式有4种：
（1）ms?100.02147g；合成标准不确定度uc(ms)?0.35mg （2）ms?100.02147(35)g（一般用于常数给出） （3）ms?100.02147(0.00035)g
（4）ms?(100.02147?0.00035)g（一般用于表示高臵信概率的区间，根据《JJF1059—1999 测量不确定度评定与表示》的建议，应避免使用。 4．在普通物理实验中测量结果的报道格式为：
Y?y?uc(y)(单位)
或
Y?y(1?ur)(单位)
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普通物理实验 第4章 测量的不确定度
其中：ur?u(y) y实验结束后，一定要进行不确定度计算，在以偶然误差为主的情况下，可以只计算A类标准不确定度；在以系统误差为主的情况下，可以只计算B类标准不确定度。但在报告中必须作全面计算。
在不知道仪器的容许误差的情况下计算B类不确定度时，可以用最小刻度值代替Δ。
另一个要说明的是：在前面我们所讲到的都是在同一条件下的多次测量时的误差计算及不确定度的估算。但在有的时候，对某一物理量只作单次测量，此时误差的计算方法如下：
其测量结果的不确定度由：???3估计。其中?是估读误差，它由仪器的精度和测量者的生理条
件（如眼睛的分辩能力）共同决定。
实例：《普通物理实验》（杨述武著）P16 例2。
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普通物理实验 第5章 有效数字
第5章 有效数字
实验中所测量的所有数据都是含有误差的，对这些数值的尾数不能任意取舍，应能够反映出测量值的准确度。因此，在记录数据、计算以及书写测量结果时，究竟应写出几位数字，有严格的要求，要根据测量误差或实验结果的不确定度来确定。则在实验的数据处理中，应能反映出被测量的实际大小的数值，记录与运算后保留的应是能传递出被测量实际大小信息的全部数字。
5.1 有效数字的基本概念
1、定义：测量时得到的准确读数，再加上第一位可疑读数，统称为有效数字。如：米尺测量的长度值：1.3265米；电子秒表测量的时间：36.24秒。它们的最后一位就是可疑读数。 ．．2、直接测量的有效数字的多少，取决于仪器的精度，与单位换算无关。如：测一大约10mm长的物体长度,
10.0mm（米尺）；10.00mm（游标卡尺）；10.000mm（螺旋测微计）
换算成米： 0.0100m；0.01000m；0.010000m有效数字不变
（1）单位换算是个数学问题，而有效数字是个物理问题。10mm?10.0mm。 （2）有效数字与后面的零有关而与前面的零无关。
3、常数的有效数字：如?、e(2.718??) 、2等等它们的有效数字有无穷多位，因为它们是理论计算的结果而不是测量的结果，可以根据需要取舍。
5.2 有效数字与绝对误差的关系。
对于有效数字，按照误差理论的规定，测量结果的有效数字的最后一位要与绝对误差所在位对齐。而绝对误差（通常用算术平均值的实验标准差代替）一般只取一位有效数字。
1、绝对误差只保留一位有效数字。如
?x?0.02； ?x?0.013?0.01； ?x?0.0028?0.003。 2、多次测量结果的表示：
在重复性条件下，对同一物理量进行多次测量（等精度）时，由于真值用算术平均值作为其最佳估计值，因此，用算术平均值的实验标准差作为不确定度的评定。
例1：结果是l?(1.236?0.008)mm 计算如下： 1 1.24 0.00 2 1.22 0.02 3 1.24 0.00 4 1.26 0.02 5 1.22 0.02 平 均 1.236 0.008 l(mm) ?l(mm) l?1.236mm s=0.008mm
例2：时间测量其结果为：
t?1.68234?0.0005?(1.6823?0.0005)s
1 1.6840 0.0017 2 1.6825 0.0002 3 1,6834 0.0011 28
4 1.6813 0.0010 5 1.6805 0.0008 平 均 1.68234 0.0005 t(s) ?t(s) 普通物理实验 第5章 有效数字
在多次测量中，有的时候由于心理因素的影响或仪器设备本身的原因而造成读数的相同。此时，可用仪器的精度来作为不确定度的评定。
如：用天平测某一物体的质量，5次测来都一样，都是2.00g，这并不意味着没有误差，该误差就是仪器自身精度造成的误差0.05g。
3、科学计数法。
（1）任何数都可表示成：a?10的形式（其中1?a?10） 如：346000＝3.46000×105
0.00346＝3.46×10-3
（2）数量级：在科学计数法中不考虑a的大小，只看10n的次数。 如：1.25×108和8.99×108是同数量级的。
实验中，最后结果必须采用科学技术法表示。
n5.3 有效数字相对误差的关系：
测量的有效数字越多，相对误差越小。但这和测量仪器本身的精度有关。 如：用米尺、游标卡尺和螺旋测微计测同一物体的长度结果分别是：
l1?(12.4?0.3)mm l2??12.44?0.02?mm
?1?l3??12.446?0.004?mm
5.4 有效数字的运算法则。
1、加减法。
如：14.61?2,2160?3.024?0.00672?19.86
0.3?2% 12.40.02?2??0.2%
12.440.004?3??0.03%
12.446和与差的最后一位，与各分量中可疑数字最大的一位取齐。
? 14.61? 14.61? 2.21 2.2160? 2.02 2.024? +0.00 2+0.0067?7? 19.86? ?6?219.85实际运算过程中，为了避免因计算引入新的误差，通常在计算时按标准多取一位参与计算。在得到
最后结果时，有效数字的位数和各分量中可疑数字最大的一位取齐。
2、乘除法。
??， I?0.213?A， U?2150??0.213??458?V R?2150.71.71积与商的有效数字与各因子中有效数字位数最少的一样多。所以
??458?V U?215?101?0.213实际应用中，对每一个数据，有效数字位数都多取一位参与运算，最后取齐。
3、三角函数、对数值的有效数字
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普通物理实验 第5章 有效数字
测量值x的三角函数或对数的位数，由x函数之和x的末尾加1个单位后的函数值相比较确定。 4、注意事项 1）、物理公式中的常数，有效数字位数应与测量值的有效数字位数取齐； 2）、对数的首数不算有效数字； 3）、首数是8或9的m位数值在乘除运算中，可多算一位有效数字； 4）、有多个数值参与运算时，运算过程中应多保留一位有效数字，最和按照数据的修约规则进行舍入。
5、数值的修约规则 1）、开始要舍去的第一位是1、2、3、4时，舍去；是6、7、8、9时，在舍去的同时要向前进一位。
2）、要舍去的一位是5，而保留的最后一位是奇数时，舍5进1；要保留的最后一位是偶数时，舍5，但是，如果5的下一位不是零，仍然要有一个进位。
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