第7章 常用数据处理方法
则有：
? y0?a0??a1x y1?a0??a1(2x) y2?a0… … …
??a1(ix) yi?a0… … …
??a1(nx) yn?a0对上述各方程逐项逐差一次，有：
（i=1，2，…，n） yi?yi?1?a1x，
在上述各式中，x是自变量每次的增量（x可正可负）。由于自变量是等间距变化的，故此式为恒量。
因此，如果函数值的一次逐差结果是恒量时（自变量间距变化），则函数是线性函数，即：
y?a0?a1x
成立。
例：一组用伏安法测量电阻的数据如下： V（V） I（mA） i Vi（V） I（mA） 0 0 1 0 0 3.85 12.05 2.00 3.58 2 2.00 3.58 4.30 11.95 4.00 8.15 3 4.00 8.15 3.90 11.75 6.00 12.05 4 6.00 12.05 3.75 8.00 15.80 5 8.00 15.80 4.10 10.00 19.90 6 10.00 19.90 用逐差法处理数据结果如下： δ1I=Ii+1-Ii δ3I=Ii+1-Ii 上述数据均及结果说明：
a、Ii的数值逐项相减的结果δ1Ii（即一次逐差，逐项相减）基本相同，说明I与V存在线性关系； b、δ3Ii（一次逐差，隔3项相减）的平均值为11.92mA，由I?V得： RR?V2.00?3??503.5? I11.92（2）当函数具有y?a0?a1x?a2x2的形式时，测得xi和相应的yi（i=1，2，…，n），则有：
2 y0?a0?a1x0?a2x0y1?a0?a1(x0?x)?a2(x0?x)2 y2?a0?a1(x0?2x)?a2(x0?2x)2
… … … … … …
36
第7章 常用数据处理方法
yi?a0?a1(x0?ix)?a2(x0?ix)2
… … … … … …
y2n?a0?a1(x0?nx)?a2(x0?nx)
取：
a?0?ax20?a10?a2x0 a1??a1?2a2x0 于是有：
y0?a?0 y1?a?0?a1?x?a2x2 y2?a?0?a1?(2x)?a2(2x)2 … … … … … …
yi?a?0?a1?(ix)?a2(ix)2 … … … … … …
yn?a?0?a1?(nx)?a2(nx)2 对此式中的方程逐项逐差一次，有
?y?y?x?a20?y10?a12x ?y1?y2?y1?a1?x?a2(3x)2 ?y2?y3?y2?a1?x?a2(5x)2 … … … … … …
?yi?yi?1?yi?a1?x?a2[(2i?1)x]2 ?yyi?2?yi?1?a1?x?a2[(2i?3)x]2i?1? … … … … … …
?yn?1?yn?yn?1?a1?x?a2[(2n?3)x]2 再对各方程逐差一次，即二次逐差有：
?2y21??y2?y1?2a2x
… … … … … …
?2y2i??yi?1??yi?2a2x
… … … … … …
37
第7章 常用数据处理方法
?2yn?2??yn?1??yn?2?2a2x2
同样，上述各式中的x是自变量每次的增量。由于自变量是等间距变化的，故上式为恒量。所以，如果函数值的二次逐差结果是恒量时（自变量等间距变化），则，
y?a0?a1x?a2x2
成立。
例：在自由落体运动中，求重力加速度g。测量数据是根据物体做自由落体运动，在下落过程中在记录纸上记下的火花放电的点子的坐标测量而得。
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 其中：
xi（cm） 10.16 11.41 12.85 14.87 17.33 20.16 23.40 27.02 31.06 35.49 40.31 45.51 51.10 57.21 63.70 70.60 δixi 1.25 1.64 2.02 2.46 2.83 3.24 3.62 4.04 4.43 4.82 5.20 5.59 6.11 6.49 6.90 δ2ixi 0.39 0.38 0.44 0.37 0.41 0.38 0.42 0.39 0.39 0.38 0.39 0.52 0.38 0.41 δ9xi 20.90 24.08 27.46 30.64 33.77 37.05 40.30 43.58 δ24xi 12.87 12.97 12.84 12.94 平均值 12.90cm ?ixi?xi?1?xi，?12xi??1xi?1??1xi，?9xi?xi?9?xi，?42xi??1xi?4??1xi
平均值为：?42xi?12.90cm
以上二次逐差的结果说明，二次逐差的结果基本相同。 2、发现系统误差或实验数据的某些变化规律
当我们假定函数为某种多项式形式，用逐差法处理其测量数据而未得到预期结果时，可以认为存在某种系统误差。或者从数据的规律性变化中对理论公式作进一步改正的设想。 3、求物理量的值
用逐差法求出多项式x的各次项的系数，并由此求得相应的物理量。 （1）y?a0?a1x
设有2l组数据，则
y1?a0?a1x0y2?a0?a1(2x)???y2l?a0?a1(2lx)
（1）
38
第7章 常用数据处理方法
隔l项逐差，有
?yi?yl?i?yi?a1lx(i?1,2,?l)
（2）
一共有l个δyi，对每个δyi都可以得到一个a1，即：
11l1la1?????yi?2??yi
lxlxli?1lxi?1将a1代入（1）式中的每一个式子中，都可以得到一个a0，即
?yi（3）
yi?a0?a1(ix) a0?yi?a1(ix)
一共有2l个yi，对每个yi都可以得到一个a0。取平均值，即
2l12la0??[yi?a1?ix]2li?1i?1?1(?yi?a1x?i)2li?1i?12l2l （4）
如果yi不是以（1）式表示，就不能用（4）式。
如果i取为i=0，1，…，2l-1，则（4）式应有相应的改变，即
2l?112l?1a0?(?yi?a1x?i)
2li?0i?0 （5）
对于（2）、（3）式，不影响结果。
如果数据为奇数项，设为2l-1项，则将数据分成两半，前半多一项，隔l项逐差，得l-1项。有
l?11a1???yi ?lxl(l?1)xi?1?yi （6）
其中
?yi?yl?i?yi(i?1,2,?l)
（7）
2l?112l?1a0?(?yi?a1x?i)
2l?1i?1i?1如果i取为i=0，1，2，…，2l-2，则式（7）也应相应变为
2l?212l?2a0?(?yi?a1x?i)
2l?1i?0i?0 （8）
由（3）、（6）两式可知，a1是由?yi而来的，其不确定度可以用实验标准差的计算方法得到。对于（3）式
s(?yi)??(?yi?1li??yi)2
39
l(l?1) （9）
第7章 常用数据处理方法
对于（6）式
s(?yi)??(?yi?1l?1i??yi)2
（10）
(l?1)(l?2)a1的误差为
s(a1)?1s(?yi) lx
i （11）
由式（4）和（6）可知，a0得不确定度由
?yi的不确定度以及a1的不确定度合成而来。
例：用弹簧振子的周期公式求弹簧的倔强系数k和等效质量m0。实验中测得弹簧振子的振动周期以及每次改变砝码的质量m如下表。 i mi（g） Ti2（s2） 1 0 0.558 2 5.00 1.000 1.756 3 10.00 1.462 1.698 4 15.00 1.855 5 20.00 2.307 6 25.00 2.756 7 30.00 3.140 8 35.00 3.553 222?T2i?Ti?1.749 4?Ti(s) 由（3）、（10）式可得 a1?0.0860?0.0010
弹簧振子公式为
4?2T?(m1?m0)
k2即
4?2a1?
k故
4?2k??4.59?102dyne/cm
a1由（5）式可得
a0?0.5737
于是
m0?k4?2a0?6.67g
（2）y?a0?a1x?a2x2
此式中x是每次改变的量。对于此式，每隔l项一次逐差，隔m项二次逐差求系数a0，a1，a2的普遍公式推导如下：
40