普通物理实验 第6章 实验曲线的描绘
第6章 实验曲线的描绘及记录表格
6.1 实验曲线的描绘方法
实验结果的表示，一般有三种方法：数值（或表格）表示、图线（实验曲线）表示、经验公式。 数值（或表格）表示：就是用科学技术法（或利用表格）将结果表示出来。这种表示方法可以很清楚地知道实验结果的不确定度。并且能够准确地给出实验结果。是定量讨论必不可少的表示方法。
图线表示：具有形式简单、直观，便于比较和显示变化的规律。在定性的讨论中是非常有用的一种表示方式。就现在来说，实验曲线不仅仅是用于定性讨论，在很多情况下，也用于定量分析。这是因为计算机技术和相关的作图软件的发展而形成的。利用它们，可以很精确地得到相应的实验值。
经验公式：这是人们通过大量实验总结出的一种能够表示物理规律的公式。这种公式不是建立在严格的数学推导上的。这在物理学的建立和发展中起着很重要的作用。例如普朗克对黑体辐射现象的解释。
作图规则 （1）、用坐标纸作图
作图的比例要恰当。
测量数据中的可靠数字在图中应是可靠的； 数据中有误差的一位在图中可以是估计的。即图纸上实际能读出的位数与测量的有效数字位数相当。 （2）标明图名、轴名，并清楚的表示出轴的物理含义。 （3）数据点的标示。可用“●”、“○”、“△”、“□”等。
（4）连线。用直尺、曲线尺等根据不同的情况和要求，将数据点连成直线或光滑曲线。连线时，不一定通过每一个数据点，而是要求在线的两测数据点有较均匀的分布，个别偏离太大的点要重新测量核对，并在作图时酌情处理。
（5）求直线的斜率和截距。不能利用测量数据计算，而是在直线上任取两点或根据直线和纵轴的交点得到。
实验中，在绘制图线时，必须注意如下问题：
1、图纸的类型：实验中所用的图线纸一般有直角坐标纸、对数座标纸、极坐标纸三种。最常用的是直角坐标纸。
2、坐标的横轴为自变量。一般地，被测量为变量。有的时候，为了使图线是一条直线，将被测量作相应的变换，通过这种变换，将原为曲线的图线转换为直线。作这种变换，一是因为直线容易描绘，而是直线的斜率和截距所包含的物理内容是我们所需要的。
3、坐标原点不一定要和变量零点一致。 4、坐标轴的分度要和测量的有效数字位数对应，坐标纸的最小的格子表示为被测量的最后一位的一个单位、二个单位或五个单位。这可根据实际情况选择。
5、x和y轴二变量的变化范围表现在坐标纸上的长度应该相差不大，最多也不要超过一倍。
6、比例确定后，画上坐标轴，并标明x、y轴代表的测定量及单位，按测量数据标出坐标点。在作图时，对于各测量点，由于存在一定的误差，在作连线时，不能将各坐标点简单连接起来，而是按照偶然误差的规律，将各测量点大致均匀地分布在图线的两侧。
在作图中，可能会碰到一些明显偏离图线的点，按照数据处理理论的要求对其进行分析，然后再作取舍。 T2 7、标明图线的名称，注明作者及日期。 8、将图线纸粘贴在实验报告上。
作图法在物理实验中，可以用于研究物理量之间的变化规律，可以用于求的物理量的数值，发现系统误差，作修正曲线或校准曲线，提高计算效率等内容。它具有直观、简便的特点、有取平均的效果。
l 6.2 作图法在物理实验中的主要应用
1、研究物理量之间的变化规律，找出相互对应的函数关系
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图1
普通物理实验 第6章 实验曲线的描绘
例：在单摆实验中，考察摆长和周期的关系。 因为T?2?l，故单摆周期的平方和摆长的关系应为线性关系。通过实验测量所得的数据可作出g图。
对于多于两个变量的情况，可以固定其它条件，分别两两地求出对应关系，再统一考虑。现在，由于计算机辅助设计软件的功能非常强大，对于多于两个变量（实际上就是3个变量）的情况，可有相关的软件来作出三维立体图，再配合平面图对实验结果作出讨论。 2、求某些物理量的数值 （1）从图中直线的斜率求值
例：单摆实验中可以作出如图1所示的直线，它表示了单摆周期和摆线长度的线性关系。有单摆周期公式可知，该直线的斜率k应为：
4?2 k?g只要从图中计算出斜率k，即可由上式计算出重力加速度。 （2）从图中直线的截距求值
2T 例：在弹簧振子的研究实验中，弹簧振子的振
动周期为：
T?m1?m0m ?2?kk4?2m0 k由此可知：
m1?m04?2m14?2m0T?4???
kkk22l 改变m1可得到不同的振动周期，根据测量数据可作出图。
从该图的截距可以求出弹簧振子的等效质量m0。
4?2m0b?
km0?bk 4?2（3）内插
有线性内插法和非线性内插法两种。 例：（线性内插法）已知在温度t=0～100C的区间内，水的饱和蒸气压Pw的数值如表所示，求7。70C下水的饱和蒸气压。
9
Pw（mmHg) 8 7.89 7 6 5 4 0 32
2
4
6
7.7 8
10
t（0C) 普通物理实验 第6章 实验曲线的描绘 t（0C） Pw（mmHg） 0 4.58 1 4.93 2 5.29 3 5.69 4 6.10 5 6.54 6 7.01 7 7.51 8 8.05 9 8.61 10 9.21 根据这些数据可作出Pw—t图。 如此可以求出任意温度下的水的饱和蒸气压。 （4）外推（线性外推）
（5）渐进线（利用曲线的渐进线求物理量） （6）叠加 （7）相减 （8）相乘 （9）求微商
（10）求积分或面积 （11）求极限
2、作修正曲线及校准曲线：经过修正或校准后，以获得理想条件下的变化规律。 3、作误差分析，找出系统误差：利用期望值和真值的差，寻找系统误差。 4、作专用的列线图、量板、量规等：作为测量工具。
6.3 图线的线性化
图线的线性化就是将曲线改直。这是因为线性问题是研究和解决的最好的。常用的可以线性化的函数如下：
（1）y?axb，其中a和b是常数。
对此式两端取常用对数即可：
lgy?blgx?lga
则lgy和lgx呈线性关系，b和lga分别是它的斜率和截距。 （2）y?ae?bx，其中a和b是常数。
对此式两端取自然对数即可：
lny??bx?lna
则lny和x呈线性关系，b和lna分别是它的斜率和截距。 （3）xy＝c，c为常数。
整理后得：
y?c1 x则y和1/x呈线性关系。 （4）y?2px，其中p为常数。
次式的处理有两种形式： y2和x呈线性关系；
2lny?2111lnx?ln(2p)，即lny和lnx呈线性关系。斜率固定为0.5，截距为ln(2p) 2222（5）x?y?a，其中a是常数。
则x2、y2呈线性关系。
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普通物理实验 第6章 实验曲线的描绘
（6）y?x，其中a、b是常数。 a?bx将此式变形后得：
1a??b，及y的倒数和x的倒数成线性关系。 yx（7）y?a0?a1x?a2x2，其中a0、a1和a2是常数。
变形后可得：
2y?a0?a1?a2x，这也是一种线性关系。 x（8）y?e?x。
取对数后得：lny??x2，lny和x2呈线性关系。
6.4 实验原始数据记录表格的设计
在做实验之前，应设计好实验数据记录表格。实验数据记录表格的设计应遵从如下规定： 1、简单明了 2、单位统一
3、表头中要包含所用测量仪器名称（编号）、零点读数、单位 4、表格形式：
测量对象名称 测量仪器（编号） （环境条件） 单位：×× 项目 d e 1 2 3 4 34
第7章 常用数据处理方法
第7章 常用数据处理方法
物理实验中，经常遇到两个物理量x、y间存在线性关系：y?ax?by。例如：对弹簧系统有
F?k(s?s0)；对运动系统有F?F阻?ma。其中，k、s0、F阻和m为未知参数。如果能够通过实验
测出x、y的值，就可求出相应的未知量。但是，由于测量数据是有误差的，不能够用数学上的两个方程解的两个未知数的值的方法。因此引入组合测量方法。
7.1 逐差法处理数据
7.1.1 逐差法处理数据的条件：
1、函数可以写成x的多项式形式，即
y?a0?a1x
y?a0?a1x?a2x2 y?a0?a1x?a2x2?a3x3
注1：有些函数可经过变换写成上述形式，也可用逐差法处理。 例1：弹簧振子的周期公式
4?2m2m，即T2和m是线性关系。 可以写为：T?T?2?kk例2：阻尼振动的振幅衰减公式
A?A0e??t可以写为：lnA?lnA0??t，即lnA和β是线性公式。
注2：由于测量精度的限制，三次逐差很少使用。
2、自变量x是等间距变化的。
这个条件只是一个一般条件。在有的情况下，自变量的变化不是等间距变化的，但是可以用类似逐差的方法进行处理。 7.1.2 逐差法的应用 1、验证多项式
主要是验证多项式的线性关系 （1）当y?a0?a1x时，通过测量可得xi和相应的yi（i=1，2，…，n），则有：
y0?a0?a1x0
y1?a0?a1x1?a0?a1(x0?x) y2?a0?a1x2?a0?a1(x0?2x)
… … … … … …
yn?a0?a1xn?a0?a1(x0?nx)
取
??a0?a1x0 a035