高二数学培训资料—推理与证明
1．p＝ab＋cd，q＝ma＋nc·关系为________． 解析：q＝ 2．设M＝
ab＋
madnbc
＋＋cd≥ ab＋2abcd＋cd＝ab＋cd＝p ∴q≥p nm
bd
＋(m、n、a、b、c、d均为正数)，则p、q的大小mn
1111＋＋＋?＋，则M与1的大小关系为_______ _． 210210＋1210＋2211－1
111111010
10＋10＋10＋?＋10(共2项)，∴M<10×2＝1. 22222
解析：∵M<
3．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 401，?，则72 011的末两位数字为___43_____． 13
4．已知定义在R上的函数f(x)满足：f(x)·f(x＋2)＝13，若f(1)＝2，则f(2 011)＝.
21111113111
5．观察下列不等式：1>，1＋＋>1,1＋＋＋?＋>，1＋＋＋?＋>2,
223237223151115111n
1＋＋＋?＋>，?，由此猜想第n个不等式为__1＋＋＋?＋n>____．
23312232－126．设A(0,0)，B(4,0)，C(t＋4,3)，D(t,3) (t∈R)．记N(t)为平行四边形ABCD内部(不含边界)的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则N(0)＝___6_____；N(t)的所有可能取值为___6,7,8_____．
T20T30T40
7．在公比为4的等比数列{bn}中，若Tn是数列{bn}的前n项积，则有，，仍成等比T10T20T30数列，且公比为4100；类比上述结论，在公差为3的等差数列{an}中，若Sn是{an}的前n项和，则有____ S20－S10，S30－S20，S40－S30___也成等差数列，该等差数列的公差为____300____． 18．若数列{an}的通项公式an＝，记f(n)＝2(1－a1)(1－a2)?(1－an)，试通过计算
(n＋1)2
f(1)，f(2)，f(3)的值，推测出f(n)＝____9．设函数f(x)＝
n＋2
____. n＋1
xx(x>0)，观察：f1(x)＝f(x)＝， x＋2x＋2
xxx
f2(x)＝f(f1(x))＝，f3(x)＝f(f2(x))＝，f4(x)＝f(f3(x))＝，??
3x＋47x＋815x＋16x*
根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝_n. (2－1)x＋2n10．已知
2
2＋＝2
3
2，3
33＋＝3
8
3，8
4＋
4＝415
4，?，若15
a6＋＝6t
a (a，t
t均为正实数)，类比以上等式，可推测a，t的值，则a＋t＝____41____.
11．一同学在电脑中打出如下若干个圈：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●?若将此若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前100个圈中的●的个数是________．
解析：由1＋2＋3＋?＋12＝78(个)白圈，78＋12＝90.依规律再出现13个白圈，∴前100个圈中“●”的个数为12.
12．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：
他们研究过图中的1,3,6,10，?，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图中的1,4,9,16?这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是 . ①289 ②1024 ③1225 ④1378 n(n＋1)2解析：根据图形的规律可知第n个三角形数为an＝，第n个正方形数为bn＝n.
2答案：③
a1＋a2＋?＋an*
13．若数列{an}(n∈N)是等差数列，则数列bn＝也为等差数列，类比上述性n质，若数列{cn}是等比数列，且cn>0(n∈N)，则有dn＝________ 也是等比数列． 解析：c1c2c3?cn＝cn1qnn
n
n
1＋2＋3＋?＋(n－1)
*
＝ cn1q
n(n－1)(n－1)
＝c1q，是等比数列． 22
答案：c1c2c3?cn
14．对于大于1的自然数m的n次幂可用奇数进行如图所示的“分裂”，仿此，记53的“分裂”中最小的数为a，而52的“分裂”中最大的数是b，则a＋b＝________.
解析：由题意可得：a＝21，b＝9，则a＋b＝30.
15．对于等差数列{an}，有如下命题：“若{an}是等差数列，a1＝0，s、t是互不相等的正整数，则有(s－1)at＝(t－1)as”．类比此命题，给出等比数列{bn}相应的一个正确命题：
“__________________________________________________________________________”． 答案：若{bn}是等比数列，b1＝1，s，t是互不相等的正整数，则有bs－1t＝bt－1s. 116．若数列{an}的通项公式an＝，记cn＝2(1－a1)(1－a2)?(1－an)，试通过计算c1，
(n＋1)2c2，c3的值，推测cn＝________.
13114
解析：c1＝2(1－a1)＝2×(1－)＝，c2＝2(1－a1)(1－a2)＝2×(1－)×(1－)＝，
42493
1115
c3＝2(1－a1)(1－a2)(1－a3)＝2×(1－)×(1－)×(1－)＝，
49164n＋2
故由归纳推理得cn＝.
n＋117．观察下列等式：
nn
12113121141312n4151413123
?i＝2n＋2n，?i＝3n＋2n＋6n，?i＝4n＋2n＋4n，?i＝5n＋2n＋3n－30n， i＝1i＝1i＝1i＝1n
16155412n6171615131
?i＝6n＋2n＋12n－12n，?i＝7n＋2n＋2n－6n＋42n，? i＝1i＝1
n
5n
?i＝a
k
i＝1
k＋1
nk＋1＋aknk＋ak－1nk－1＋ak－2nk－2＋?＋a1n＋a0，
11可以推测，当k≥2(k∈N*)时，ak＋1＝，ak＝，ak－1＝________，ak－2＝________.
k＋125k
解析：法一：特殊值找规律，再对其验证．当k＝5时，ak－1＝a4＝＝，ak－2＝a3＝0.
1212
k61
又当k＝6时，ak－1＝＝＝，ak－2＝0均符合．
12122
121314
法二：∵k＝2时，a1＝＝，a0＝0，k＝3时，a2＝＝，a1＝0，k＝4时，a3＝＝，
612412312516k
a2＝0，k＝5时，a4＝，a3＝0，k＝6时，a5＝＝，a4＝0.∴可猜想ak－1＝，ak－2＝0.
1221212an＋1＋an－1
18．已知数列{an}中，a4＝28，且满足＝n.
an＋1－an＋1
(1)求a1，a2，a3；
(2)猜想{an}的通项公式并证明． 解 (1)
an＋1＋an－1a4＋a3－1
＝n. 当n＝3时，＝3.∵a4＝28，∴a3＝15；
an＋1－an＋1a4－a3＋1
a3＋a2－1
当n＝2时，＝2.∵a3＝15，∴a2＝6；
a3－a2＋1
a2＋a1－1
当n＝1时，＝1.∵a2＝6，∴a1＝1.
a2－a1＋1(2)猜想an＝n(2n－1)． ①当n＝1时，a1＝1，
而a1＝1×(2×1－1)＝1，等式成立．
②假设当n＝k时，等式成立，即ak＝k(2k－1)．
ak＋1＋ak－1ak＋1＋k(2k－1)－1
则当n＝k＋1时，＝k，＝k，
ak＋1－ak＋1ak＋1－k(2k－1)＋1整理，得(1－k)ak＋1＝－2k3－k2＋2k＋1＝(2k＋1)(1－k2)，
ak＋1＝(1＋k)(2k＋1)＝(k＋1)[2(k＋1)－1]，等式也成立．
综合①②可知，n∈N*时，等式成立．
111
19．在△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：2＝2＋2.那么在四面体ABCD中，类比
ADABAC上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由． 证明：如图(1)所示，由射影定理AD＝BD·DC，
1122
AB＝BD·BC，AC＝BC·DC，∴2＝ ADBD·DCBCBC
＝＝2. BD·BC·DC·BCAB·AC2
1AB2＋AC211
又BC＝AB＋AC，∴2＝2＝＋.
ADAB·AC2AB2AC2
2
2
2
2
2
2
所以
111＝＋.猜想：类比AB⊥AC，AD⊥BC，猜想四面体ABCD中，AB、AC、AD两AD2AB2AC2
1111＝＋＋. AE2AB2AC2AD2
两垂直，AE⊥平面BCD，则
如图(2)，连结BE交CD于F，连结AF.
∵AB⊥AC，AB⊥AD，∴AB⊥平面ACD，而AF?面ACD， 111∴AB⊥AF.在Rt△ABF中，AE⊥BF，∴2＝2＋2.
AEABAF111
在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴2＝2＋2.
AFACAD∴
1111＝＋＋，故猜想正确． AE2AB2AC2AD2
20．设定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13，若f(1)＝2，求f(99)的值。
解：由f(x)·f(x＋2)＝13知f(x＋2)f(x＋4)＝13，所以f(x＋4)＝f(x)， 即函数f(x)是以T＝4为周期的函数，
故f(99)＝f(3＋4×24)＝f(3)＝
1313
＝. f(1)2
21．已知函数f(x)＝x3，g(x)＝x＋x. (1)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点个数，并说明理由； (2)设数列{an}(n∈N)满足a1＝a(a>0)，f(an＋1)＝g(an)
证明：存在常数M，使得对于任意的n∈N，都有an≤M.
解：(1)由h(x)＝x3－x－x知，x∈[0，＋∞)，而h(0)＝0，且h(1)＝－1<0，h(2)＝6－2>0，则x＝0为h(x)的一个零点，且h(x)在(1,2)内有零点．因此，h(x)至少有两个零点． 111113解法一：h′(x)＝3x2－1－x－，记φ(x)＝3x2－1－x－，则φ′(x)＝6x＋x－. 222242当x∈(0，＋∞)时，φ′(x)>0，因此φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，则φ(x)在(0，＋∞)内至多只有一个零点．又因为φ(1)>0，φ?
*
*
?3??3?
?<0，则φ(x)在?，1?内有零点，所以φ(x)?3??3?
在(0，＋∞)内有且只有一个零点．记此零点为x1，则当x∈(0，x1)时，φ(x)<φ(x1)＝0；当x∈(x1，＋∞)时，φ(x)>φ(x1)＝0.
所以，当x∈(0，x1)时，h(x)单调递减．而h(0)＝0，则h(x)在(0，x1]内无零点； 当x∈(x1，＋∞)时，h(x)单调递增，则h(x)在(x1，＋∞)内至多只有一个零点，从而h(x)在(0，＋∞)内至多只有一个零点．综上所述，h(x)有且只有两个零点．
1113
解法二：由h(x)＝x?x2－1－x－?，记φ(x)＝x2－1－x－，则φ′(x)＝2x＋x－. ?2?222当x∈(0，＋∞)时，φ′(x)>0，从而φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，则φ(x)在(0，＋∞)内至多只有一个零点．φ(1)<0，φ(2)>0，所以φ(x)在(0，＋∞)上有一个零点．因此h(x)在(0，＋∞)内也有一个零点．综上所述，h(x)有且只有两个零点． (2)记h(x)的正零点为x0，即x3x0. 0＝x0＋
(i)当a 则当n＝k＋1时，由ak＋1＝ak＋ak (ii)当a≥x0时，由(1)知，h(x)在(x0，＋∞)上单调递增，则h(a)≥h(x0)＝0， 3 3