即a≥a＋a.从而a2＝a1＋a1＝a＋a≤a，即a2≤a.由此猜测：an≤a. 下面用数学归纳法证明． ①当n＝1时，a1≤a显然成立．
②假设当n＝k(k≥1)时，ak≤a成立，则当n＝k＋1时，由ak＋1＝ak＋ak≤a＋a≤a知，ak＋1≤a.因此，当n＝k＋1时，ak＋1≤a成立．故对任意的n∈N*，an≤a成立． 综上所述，存在常数M＝max{x0，a}，使得对于任意的n∈N，都有an≤M.
*3
3
333
高二数学培训资料—推理与证明
1．p＝ab＋cd，q＝ma＋nc·关系为________． 2．设M＝
3．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 401，?，则72 011的末两位数字为_______．
4．已知定义在R上的函数f(x)满足：f(x)·f(x＋2)＝13，若f(1)＝2，则f(2 011)＝ .
1111113111
5．观察下列不等式：1>，1＋＋>1,1＋＋＋?＋>，1＋＋＋?＋>2,
22323722315
1115
1＋＋＋?＋>，?，由此猜想第n个不等式为 ．
23312
6．设A(0,0)，B(4,0)，C(t＋4,3)，D(t,3) (t∈R)．记N(t)为平行四边形ABCD内部(不含边界)的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则N(0)＝________；N(t)的所有可能取值为________ ．
T20T30T40
7．在公比为4的等比数列{bn}中，若Tn是数列{bn}的前n项积，则有，，仍成等比T10T20T30数列，且公比为4100；类比上述结论，在公差为3的等差数列{an}中，若Sn是{an}的前n项和，则有____ S20－S10，S30－S20，S40－S30___ 也成等差数列，该等差数列的公差为________．
1111
＋10＋?＋11，则M与1的大小关系为_______． 10＋10
22＋12＋22－1
bd
＋(m、n、a、b、c、d均为正数)，则p、q的大小mn
1
8．若数列{an}的通项公式an＝2，记f(n)＝2(1－a1)(1－a2)?(1－an)，试通过计算
(n＋1)f(1)，f(2)，f(3)的值，推测出f(n)＝________.
9．设函数f(x)＝
xxx(x>0)，观察：f1(x)＝f(x)＝，f2(x)＝f(f1(x))＝， x＋2x＋23x＋4
xx
f3(x)＝f(f2(x))＝，f4(x)＝f(f3(x))＝，??根据以上事实，由归纳推理
7x＋815x＋16可得：当n∈N且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝ . 10．已知
2
2＋＝23
2，3
33＋＝3
8
3，8
4＋
4＝415
4
，?，若15
a6＋＝6t
a t
*
(a，t均为正实数)，类比以上等式，可推测a，t的值，则a＋t＝________.
11 ．一同学在电脑中打出如下若干个圈：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●?若将此若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前100个圈中的●的个数是________．
12．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：
他们研究过图中的1,3,6,10，?，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图中的1,4,9,16?这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是 . ①289 ②1024 ③1225 ④1378
a1＋a2＋?＋an
13．若数列{an}(n∈N*)是等差数列，则数列bn＝也为等差数列，类比上述性n质，若数列{cn}是等比数列，且cn>0(n∈N*)，则有dn＝________ 也是等比数列．
14．对于大于1的自然数m的n次幂可用奇数进行如图所示的“分裂”，仿此，记53的“分裂”中最小的数为a，而52的“分裂”中最大的数是b，则a＋b＝________.
15．对于等差数列{an}，有如下命题：“若{an}是等差数列，a1＝0，s、t是互不相等的正整数，则有(s－1)at＝(t－1)as”．类比此命题，给出等比数列{bn}相应的一个正确命题：“__________________________________________________________________________”．
16．观察下列等式：
nn
12113121141312n4151413123
?i＝2n＋2n，?i＝3n＋2n＋6n，?i＝4n＋2n＋4n，?i＝5n＋2n＋3n－30n， i＝1i＝1i＝1i＝1n
16155412n6171615131
?i＝6n＋2n＋12n－12n，?i＝7n＋2n＋2n－6n＋42n，? i＝1i＝1
n
5n
?i＝a
k
i＝1
k＋1
nk＋1＋aknk＋ak－1nk－1＋ak－2nk－2＋?＋a1n＋a0，
11可以推测，当k≥2(k∈N*)时，ak＋1＝，ak＝，ak－1＝________，ak－2＝________.
k＋12
an＋1＋an－1
17．已知数列{an}中，a4＝28，且满足＝n.
an＋1－an＋1
(1)求a1，a2，a3；
(2)猜想{an}的通项公式并证明．
111
18．在△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：2＝2＋2.那么在四面体ABCD中，类比
ADABAC上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．
19．设定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13，若f(1)＝2，求f(99)的值。