（2）求函数f(x)在?0,2?上的最大值。
21．（本题满分14分）
已知双曲线C：
xa22?yb22?1(a?0,b?0)的右准线与一条渐近线交于点M，
F是右焦点，若|MF|?1，且双曲线C的离心率e?62。
（1）求双曲线C的方程；
（2）过点A（0，1）的直线l与双曲线C的右支交于不同两点P、Q，且P在A、
Q之间，若AP??AQ且??13，求直线l斜率k的取值范围。
2011届高三数学试题参考答案
一．选择题（每题5分，共50分） AADBC CAACB
二．填空题（每题5分，共25分）
11．35
12．4 13．
112 14．20?
15．A [0,1)∪(1,??)； B．2 三．解答题（共75分） 16．（本题满分12分） 解：（1）∵ f(x)?2cos(x?(x? ?cos22 C．
62
?6)?2sin(x??4)sin(x??4)?1
?3)?2sinx(??4)cosx(??4)
?1212cos2x?3232sin2x?sin2(x??2)
?cos2x?sin2x?cos2x
?sin2(x?∴ 周期 T?2?2?6) ?6
?k??? ?2 （5分）
k?2???。由2x?，得 x??3 (k?Z)
∴ 函数图像的对称轴方程为x?（2）∵x?[??12,k?2?[??3, (k?Z)
]，
（7分）
?2]，∴2x??6?5?36,又∵f(x) ?sin(2x?递减，∴当x??3?6)在区间[??12?3]上单调递增，在区间[??3,2]上单调
时，f(x)取最大值1。
32又 ∵f(??12)???f(?2)?1，∴当x???12时，f(x)取最小值?32。
∴ 函数f(x)在区间[??12,?2]上的值域为[?32,1]。 （12分）
17．（本题满分12分）
解：（1）从袋中随机摸4个球的情况为：1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红四种情况，分别得分为5分，6分，7分，8分，故X的可能取值为5，6，7，8。 (2分)
P(X?5)?C4C3C73413?4351235， P(X?6)?C4C3C7422?1835，
P(X?7)?C4C3C471?， P(X?8)?C4C3C4740?135，
故所求分布列为：
X P 5 4356 18357 12358 135
（8分） （2）根据随机变量X的分布列，可以得到得分大于6的概率为：
P(X?6)?P(X?7)?P(X?8)?1235?135?1335。 （12分）
18．（本题满分12分）
证：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD， ∵PD?底面ABCD，∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB，
∴平面AEC?平面PDB. （6分） 解：（2）设AC∩BD=O，连接OE，由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，∴∠AEO为
AE与平面PDB所的角，
∴O，E分别为DB、PB的中点，∴OE//PD，OE?12PD，
又∵PD?底面ABCD， ∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，在Rt△AOE中，
1222OE?PD?AB?AO，
∴?AEO?450，即AE与平面PDB所成的角的大小为45?。 （12分） （本题满分12分） 19．
2证明：（1）由?、?是方程an?1x?anx?1?0的两根，得????anan?1，且
???1an?1（n≥2，且n?N?）。又由3?????3??1得3(???)????1，
∴
3anan?1?1an?1?1，整理得3an?1?an?1（n≥2）。∴ an?12?13(an?1?12)
（n≥2，且n?N?）。 ∴ {an?12}是等比数列，且公比q?5613。
12?
1 （5分）
解：（2）∵ a1?
，∴a1?12?13，则an?1n?111n?()，即an??()。 3323
n2
?(13
?3
12
???
13n （7分）
)
（3）∵ Sn?a1?a2???an?11n[1?()]nn1133????(1?n)，
122231?3n11n∴ Sn??(1?n)。又显然数列{Sn?}是递增数列，
2223∴ 要使对一切n?N?，不等式2Sn?n?2?≥0恒成立， 只需?≤(Sn?n2)min?S1?112?a1?12?56?12?13，
（12分）
∴ ?的取值范围是(??,]。
3
20．（本题满分13分） 解：f?(x)=
1x?3+a
13?x（1）只要在x∈[0，2]上f?(x)≥0恒成立，?a≥
而
13?x
∈[1，1]，∴a≥1 （5分） 31x?3(2)∵当x∈[0，2]时，
∈[－1，－1] 3∴①当a≤1时，f?(x)≤0，这时f(x)在[0，2]上单调递减，f(x)≤f(0)=1+ln3 3
②当10
a?1? （7分）
当x∈?3－1，2]时，有f?(x)<0， a∴x=3－1是f(x)在[0，2]上的唯一的极大值， a则f(x)≤f(3－1)=3a－lna a
（10分）
③当a≥1时，f?(x)≥0，这时f(x)在[0，2]上单调递增，
f(x)≤f(2)=2a+1 （12分）
综上所述：f?x?max21．（本题满分14分）
(a?1)?1?ln33? ??3a?lna (1?a?1) （13分）3?2a?1(a?1)?解：（1）由对称性，不妨设M是右准线x=为M（
2a2c与一渐近线y?ca?62bax的交点，其坐标
a2c2,abc2F,1?），?M322∴
2bc42?2abc222又e??1，∴?abe?1?22222，
c?a?b?a，解得a?2,b?1，所以双曲线C的方程是
x2?y?1；
（6分）
（2）设直线l的斜率为k，则l的方程为y=kx+1，设点P(x1,y1),Q(x2,y2)，
?y?kx?1由?2得：(1?2k2)x2?4kx?4?0， 2?x?2y?2???16k2?16(1?2k2)?0??4k?x1?x2??02P、Q，∴?2k?1?4?x1x2??02?2k?1?21?2k?0??l与双曲线C的右支交于不同的两点
2????????又?AP??AQ且P在A、Q之间，??2∴?k?1且k?0 ① （9分）
113???1， ，∴x1??x2且13?4k?(1??)x?22222?4k2(1??)?2k?1(1??)??2?∴?∴，?f(?)? 224?2k?12k?1???x2?22??2k?11116=???2在? ?3,1?上是减函数（?f?(?)?0）,∴4?f(?)?3,∴
?22216144?2??k??k?1 ②,由于，∴ （12分） 32522k?1由①②可得：?1?k??255， （13分）
?25??1,?即直线l斜率取值范围为? ? （14分）?5??