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（2）无支承的小球，在竖直平面内作圆周运动过最高点情况： 受力：由mg+T=mv2/L知,小球速度越小,绳拉力或环压力T越小,但T的最小值只能为零,此时小球以重力提供作向心力. 结论：通过最高点时绳子(或轨道)对小球没有力的作用(可理解为恰好通过或恰好通不过的条件)，此时只有重力提供作向心力. 注意讨论：绳系小球从最高点抛出做圆周还是平抛运动。 能过最高点条件：V≥V临（当V≥V临时，绳、轨道对球分别产生拉力、压力） 不能过最高点条件：V 6 状元堂精品辅导资料 竖直面内圆周运动的应用： ——汽车通过拱桥和凹型地面 NANBABmgmg 五、补充定理：在竖直平面内的圆周，物体从顶点开始无初速地沿不同弦滑到圆周上所用时间都相等。（等时圆） 一质点自倾角为?的斜面上方定点O沿光滑斜槽OP从静止开始下滑，如图所示。为了使质点在最短时间内从O点到达斜面，则斜槽与竖直方面的夹角?等于多少？ 六、注意：临界不脱轨有两种：1.达不到半圆 2.能到最高. 【例1】质点做匀速圆周运动，则 （ BD ） 在任何相等的时间里，质点通过的位移都相等 在任何相等的时间里，质点通过的路程都相等 在任何相等的时间里，质点运动的平均速度的都相等 在任何相等的时间里，连接质点和圆心的半径转过的角度都相等 【解析】此题考查的是曲线运动的特点，即位移、速度的方向变化。故此题选BD 【例2】质点做匀速圆周运动时，下列说法正确的是 ( CD ) A．速度的大小和方向都改变 B．匀速圆周运动是匀变速曲线运动 C．当物体所受合力全部用来提供向心力时，物体做匀速圆周运动 7 状元堂精品辅导资料 D．向心加速度大小不变，方向时刻改变 解析:匀速圆周运动的速度的大小不变，方向时刻变化，A错；它的加速度大小不变，但方向时刻改变，不是匀变速曲线运动，B错，D对；由匀速圆周运动的条件可知，C对． 【例3】关于匀速圆周运动的说法，正确的是 ( BD ) A．匀速圆周运动的速度大小保持不变，所以做匀速圆周运动的物体没有加速度 B．做匀速圆周运动的物体，虽然速度大小不变，但方向时刻都在改变，所以必有加速度 C．做匀速圆周运动的物体，加速度的大小保持不变，所以是匀变速曲线运动 D．匀速圆周运动加速度的方向时刻都在改变，所以匀速圆周运动一定是变加速曲线运动 解析 速度和加速度都是矢量，做匀速圆周运动的物体，虽然速度大小不变，但方向时刻在改变，速度时刻发生变化，必然具有加速度．加速度大小虽然不变，但方向时刻改变，所以匀速圆周运动是变加速曲线运动．故本题选B、D. 【例4】在一个水平圆盘上有一个木块P，随圆盘一起 绕过O点的竖直轴匀速转动，下面说法正确的是（ AC ） 圆盘匀速转动的过程中，P受到的静摩擦力的方向 指向圆心O点。 圆盘匀速转动的过程中，P受到的静摩擦力为0。 在转速一定得条件下，P受到的静摩擦力跟P到圆心O的距离成正比 在P到圆心O的距离一定的条件下，P受到的静摩擦力的大小跟圆盘匀速转动的角速度成正比。 【例5】如右图所示，一小球用细绳悬挂于O点，将其拉离竖直位置一个角度后释放，则小球以O点为圆心做圆周运动，运动中小球所需的向心力是( CD ) A．绳的拉力 B．重力和绳的拉力的合力 C．重力和绳的拉力的合力沿绳方向的分力 D．绳的拉力和重力沿绳方向分力的合力 【例6】一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替．如图14甲所示，曲线上的A点的曲率圆定义为：通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫做A点的曲率圆，其半径ρ叫做A点的曲率半径．现将一物体沿与水平面成α角的方向以速度v0抛出，如图乙所示．则在其轨迹最高点P处的曲率半径是( C ) 图14 v 02A. g v 02sin2αB. gv 02cos2αD. gsinα v 02cos2αC. g 8 状元堂精品辅导资料 答案 C 解析 物体在最高点时速度沿水平方向，曲率圆的P点可看做该点对应的竖直平面内圆周运动的最高点，由牛顿第二定律及圆周运动规律知：mg＝v 02cos2α . g 【例7】如图所示为一皮带传动装置,右轮的半径为r,a是它边缘上的一点.左侧是一轮轴,大轮的半径为4r,小轮的半径为2r.b点在小轮上,b到小轮中心的距离为r.c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上.若在传动过程中,皮带不打滑.则( AB ) A．a点与b点的线速度大小相等 B．a点与b点的角速度大小相等 C．a点与c点的线速度大小相等 D．a点与d点的向心加速度大小相等 【解析】a和c是与皮带接触的两点，二者具有相同的 线速度，b、c、d属于同轴传动，它们具有相同的角速度， 由v=rω、向心加速度的表达式和它们半径之间的关系， 不难选出正确答案为AB。 【例8】如图—1所示,传动轮A、B、C的半径之比为2：1：2，A、B两轮用皮带传动，皮带不打滑，B、C两轮同轴，a、b、c三点分别处于A、B、C三轮的边缘，d点在A轮半径的中点。试求：a、b、c、d四点的角速度之比，即ωa:ωb:ωc:ωd 1:2:2:1 ，线速度之比,即va:vb:vc:vc= 2:2:4:1 ;向心加速度之比,即:aa:ab:ac:ad= 2:4:8:1 . 【例9】下列关于离心现象的说法正确的是( C ) A．当物体所受的离心力大于向心力时产生离心现象 B．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失后，物体将做背离圆心的圆周运动 C．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失后，物体将沿切线做直线运动 D．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失后，物体将做曲线运动 解析 物体只要受到力，必有施力物体，但“离心力”是没有施力物体的，故所谓的离心力是不存在的，只要向心力不足，物体就做离心运动，故A选项错；做匀速圆周运动的物体，当所受的一切力突然消失后，物体做匀速直线运动，故B、D选项错，C选项对． 【例10】如图1所示，洗衣机脱水筒在转动时，衣服贴靠在 匀速转动的圆筒内壁上而不掉下来，则衣服( C ) A．受到重力、弹力、静摩擦力和离心力四个力的作用 B．所需的向心力由重力提供 C．所需的向心力由弹力提供 图1 D．转速越快，弹力越大，摩擦力也越大 解析 衣服只受重力、弹力和静摩擦力三个力作用，A错；衣服做圆周运动的向心力为它所受到的合力，由于重力与静摩擦力平衡，故弹力提供向心力，即FN＝mrω2，转速越大，FN越大．C对，B、D错． mv2v2 ，解得ρ＝＝ρg g ＝ 9 状元堂精品辅导资料 【例11】如图，A、B两质点绕同一圆心沿顺时针方向做匀速圆周运动，A、B的周期分别为T1、T2，且T1 【例12】如图所示，线段OA＝2AB，A、B两球质量相等．当它们绕()点在光滑的水平桌面上以相同的角速度转动时，两线段的拉力TAB与TOA之比为多少? 答案：5:3 【例13】如图所示，长为r的细杆一端固定一个质量为m的 小球，使之绕另一端O在竖直面内做圆周运动，小球运动到最高点时 的速度v＝gr/2，在这点时 mg A．小球对杆的拉力是 2mg B．小球对杆的压力是 23 C．小球对杆的拉力是mg 2 D．小球对杆的压力是mg 解析 设在最高点，小球受杆的支持力FN，方向向上，则由牛顿第二定律得：mg－FN＝v211 m，得出FN＝mg，故杆对小球的支持力为mg，由牛顿第三定律知，小球对杆的压 r22【例14】“飞车走壁”杂技表演比较受青少年的喜爱，这项运动由杂技 演员驾驶摩托车沿表演台的侧壁做匀速圆周运动，简化后的模 型如图7所示．若表演时杂技演员和摩托车的总质量不变，摩 托车与侧壁间沿侧壁倾斜方向的摩擦力恰好为零，轨道平面离 地面的高度为H，侧壁倾斜角度α不变，则下列说法中正确的 图7 是( B ) A．摩托车做圆周运动的H越高，向心力越大 B．摩托车做圆周运动的H越高，线速度越大 C．摩托车做圆周运动的H越高，向心力做功越多 D．摩托车对侧壁的压力随高度H增大而减小 解析 经分析可知，摩托车做匀速圆周运动的向心力由重力及侧壁对摩托车弹力的合力提供，由力的合成知其大小不随H的变化而变化，A错误；因摩托车和杂技演员整体做匀速v2 圆周运动，所受合外力等于向心力，即F合＝m，随H的增大，r增大，线速度增大，B r正确；向心力与速度一直垂直，不做功，C错误；由力的合成与分解知识知摩托车对侧壁的 ( B ) 10