概率论与数理统计及其应用习题解答
28，设随机变量X,Y相互独立，且都服从正态分布N(0,?2)，验证Z?X2?Y2的概率密度为
?f)??z?z2/(2?2)??2ez?0Z(z??0其他。
解：因为随机变量X,Y相互独立，所以它们的联合概率密度为
f(x,y)?12?y22?22??2e?x。
先求分布函数，当z?0时，FZ(z)?P{Z?z}?P{X2?Y2?z2}
2?z??x2???f(x,y)dxdyy2?z2?d??1e?r22?2rdr?1?e?z22?2，
002??2?z?z2/(2?2)故，
fz)??F'?ez?0Z(Z(z)????2??0其他。
29，设随机变量X~U(?1,1)，随机变量Y具有概率密度fY(y)?1?(1?y2)，???y???，设X,Y相互独立，求Z?X?Y的概率密度。解：因为f2?1?x?1X(x)???1/，所以?0其他Z?X?Y的概率密度为
??z?1fZ(z)?Y(y)fX(z?y)dy?112dy??arctan(z?1)?arctan(z?1)?。 ??f?z??12?(1?y)2?
30随机变量X和Y的概率密度分别为
fx)????e??xx?0X(，fy)???0其他??2ye??yy?0Y(?0其他
??0，X,Y相互独立。求Z?X?Y的概率密度。
解： 根据卷积公式，得
??zf3Z(z)?fX(z?y)dy?ye??zdy??32?z。
??fY(y)???02ze?，z?0所以Z?X?Y的概率密度为
??3fy)??2??z?2zez?0Y(。
??0其他
31，设随机变量X,Y都在(0,1)上服从均匀分布，且X,Y相互独立，求Z?X?Y的概率密度。
解：因为X,Y都在(0,1)上服从均匀分布，所以
f?10?x?10?x?1X(x)??，?0其他fY(y)???1?0其他
根据卷积公式，得
?1??1dy,z?1???z?1?2?z,1?z?f?f?zz?1??2Z(z)?Y(y)fX(z?y)dy???1dy,0??z,0?z?1 。
???0?其他??0,其他?0,?
32，设随机变量X,Y相互独立，它们的联合概率密度为
?3?3xf(x,y)???x??2e，0,0?y?2?0，其他 （1） 求边缘概率密度fX(x),fY(y)。
16
概率论与数理统计及其应用习题解答
（2） 求Z?max{X,Y}的分布函数。 （3） 求概率P{1/2?Z?1}。
???2解：（1）f)??f(x,y)dy????3e?3x/2dy?3e?3x，x?0X(x；
???0?0,其他??????3e?3x/2dx，0?y?2?1/2，0?y?2f(y)??f(x,y)dx???0???Y?。
????0，其他?0，其他???（2）Z?max{X,Y}的分布函数为
FZ(z)?P{Z?z}?P{max{X,Y}?z}?P{X?z,Y?z}?P{X?z}P{Y?z}?FX(z)FY(z)因为
Fx)???0,x?0X(?1?e?3x,x?0?y?0Fy)??0Y(?y/20?y?2，
??1y?2?所以，F?0,z?0z?3zZ(z)?FX(z)FY(z)???1?e?,0?z?2。 ?2?1?e?3z,z?2（3）P{1/2?Z?1}?FZ(1)?FZ(1/2)?14?1?31?3/22e?4e。
33，（1）一条绳子长为2l，将它随机地分为两段，以X表示短的一段的长度，写出X的概率密度。
（2）两条绳子长度均为2l，将它们独立地各自分成两段，以Y表示四段绳子中最短的一段的长度，验证Y的概率密度为
?2(l?y)/l2，0?f)??y?lY(y?。 ??0，其他解：（1）根据题意，随机变量X~U(0,l)，所以概率密度为
?f?10?x?lX(x)??。
?l?0其他（2）设这两条绳子被分成两段以后较短的那一段分别记为X1,X2，则它们都在(0,l)上服从均匀分布。Y?min{X1,X2}，其分布函数为
F(y)?1??1?FyYX1(y)??1?FX2(y)??1?(1?l)2,0?y?l，
所以密度函数为
?2(l?y)/l2，0?y?lf'?Y(y)??FY(y)???。 ??0，其他
34，设随机变量X和Y的联合分布律为 （1） 求U?max(X,Y)的分布律。 （2） 求V?min(X,Y)的分布律。 （3） 求W?X?Y的分布律。 X Y 0 1 2 0 1/12 1/6 1/24 1 1/4 1/4 1/40 2 1/8 1/20 0 3 1/120 0 0 解：（1）U?max(X,Y)的分布律为
17
；
概率论与数理统计及其应用习题解答
P{U?k}?P{max(X,Y)?k}?P{X?k,Y?k}?P{Y?k,X?k},k?0,1,2,3
如，P{U?2}?P{X?2,Y?2}?P{Y?2,X?2}
?1/8?1/20?0?1/24?1/40?29/120，
其余类似。结果写成表格形式为
U pk 0 1 2 3 1/12 2/3 29/120 1/120 （2）V?min(X,Y)的分布律为
P{V?k}?P{min(X,Y)?k}?P{X?k,Y?k}?P{Y?k,X?k},k?0,1,2
如，P{V?2}?P{X?2,Y?2}?P{Y?2,X?2}?0?0?0， 其余类似。结果写成表格形式为
U pk （3）W0 1 27/40 13/40 ?X?Y的分布律为
kP{W?k}?P{X?Y?k}??P{X?i,Y?k?i},k?0,1,2,3,4,5
i?0如，P{W?2}??P{X?i,Y?2?i}?1/24?1/4?1/8?5/12，
i?02其余类似。结果写成表格形式为
W pk
0 1 2 3 1/12 5/12 5/12 1/12 （第2章习题解答完毕）
第3章 随机变量的数字特征
1，解：根据题意，有1/5的可能性取到5个单词中的任意一个。它们的字母数分别为4，5，6，7，7。
所以分布律为
X pk 4 5 6 7 1/5 1/5 1/5 2/5
1E(X)?(4?5?6?7?7)?29/5.
5
2，解：５个单词字母数还是４，５，６，７，７。这时，字母数更多的单词更有可能被取到。分布律为
Y 4 5 6 7 4/29 5/29 6/29 14/29 pk E(Y)?1(4?4?5?5?6?6?7?14)?175/29. 29
18
概率论与数理统计及其应用习题解答
3，解：根据古典概率公式，取到的电视机中包含的次品数分别为0，1，2台的概率分别为
3C106p0?3?，
C1211
12C2C109p1??， 322C12
21C2C101p2??。 322C12所以取到的电视机中包含的次品数的数学期望为
E?6911?0??1??2?(台)。 1122222
4，解：根据题意，有1/6的概率得分超过6，而且得分为7的概率为两个1/6的乘积（第一次6点，第2次1点），其余类似；有5/6的概率得分小于6。分布律为
Y 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 pk 161 36 16 16 16 16 136 136 136 136 1 36 得分的数学期望为
E?1149(1?2?3?4?5)?(7?8?9?10?11?12)?(点)。 63612
5，解：（1）根据X~?(?)，可得P{X?5}??5e??5!??6e??6!因此计算得到??6，即X~?(6)。所以E(X)=6。 ?P{X?6}，
（2）根据题意，按照数学期望的公式可得
E(X)??(?1)k?1??k?1kP{X?k}??(?1)k?1??k?166k22?2?k??(?1)k?1k?1??16ln2?， k?2xn,?1?x?1）因此期望存在。（利用了ln(1?x)??(?1)（不符书上答案） n?1n?0?n
6，解：（1）一天的平均耗水量为
x2e?x/3E(X)??xf(x)dx??dx?9??0??????x2?x/3?d(e)?0??30??2xe?x/3dx??30????2xd(e0?x/3)
?0??2e?x/3dx?6（百万升）。
0??（2）这种动物的平均寿命为
25E(X)??xdF(x)??xd(1?2)?x??5??????50dx?10（年）。 ?2x5
7，解：E(X)??xf(x)dx??42x??0??1125(1?x)dx???7x2d(1?x)60??
710??7x(1?x)2?61???14x?(1?x)?dx???2xd?(1?x)???2x(1?x)6700011??2(1?x)7dx=1/4。
01
8，解：E(X)??xf(x)dx??2x(1?1/x2)dx?(x2?2lnx)1??1??22?3?2ln2。
19
概率论与数理统计及其应用习题解答
9，解：??01E(X)???xf(x)dx????3x(1?x)2dx?1?3x2(1?x)2dx
0201??3x(1?x)2dx?3x12?(1?x)2dx?020。
（对第一个积分进行变量代换x??y）
10， 解：
4E(sin?X)????sink??Ckkp)4?k?24?p?(1?k?0?2?? ?C1134?p?(1?p)3?C4?p3?(1?p)1?4p(1?p)(1?2p?2p2)。
（不符书上答案）
11，解：R的概率密度函数为f(x)???1/a,0?x?a?0,其他，所以
a3E(V)???r1?a306?adr?24。
12，解：??4??E[g(X)]??g(x)f(x)dx??x2?0.3e?0.3xdx??16?0.3e?0.3xdx
??04?19(200?584e?1.2)（不符书上答案）
?0,x?013，解：因为Xi(i?1,2,?n)的分布函数为F(x)???x,0?x?1，所以可以求出Y1,Yn的分布函数为??1,x?1?0,y?0?0,y?0F?min(y)??1?(1?y)n,0?y?1，
F(y)???max?yn,0?y?1。
?1,y?1??1,y?1Y1,Yn的密度函数为
y)???n(1?y)n?1,0?y?1?nyn?1f,0?y?1min(?0,其他，fmax(y)???0,其他。
所以Y1,Yn的数学期望为
??111E(Y?yf(1?y)n?1dy??n(1?y)n?11)?min(y)dy?dy?n(1?y)ndy?1???ny00?0n?1， ??1E(Y?yfnnn)?max(y)dy????nydy?0n?1。
14，解：求出边缘分布律如下
X Y 0 1 2 P{X?k} 0 3/28 9/28 3/28 15/28 1 3/14 3/14 0 12/28 2 1/28 0 0 1/28 20