概率论与数理统计及其应用习题解答
2，设总体X~N(75,100)，X1,X2,X3是来自X的容量为3的样本，求
（1）P{max(X1,X2,X3)?85}，（2）P{(60?X1?80)?(75?X3?90)}， （3）E(X21X22X23)，（4）D(X1X2X3)，D(2X1?3X2?X3)， （5）P{X1?X2?148}。
解：（1）P{max(X1,X2,X3)?85}?P{X1?85,X2?85,X3?85}?
3P{XP{X3?X?7585?75?1?85}2?85}P{X3?85}??P{X1?85}????P{110?10}??
?[?(1)]3?0.84133?0.5955；
（2）P{(60?X1?80)?(75?X3?90)}?P(60?X1?80)?P(75?X3?90)
?P{60?XX1?7580?7575?75X3?75901?80}P{75?X3?90}?P{60?7510?10?10}?P{?7510?10?10}?P{60?7510?X1?7510?80?7510}P{75?7510?X3?7590?7510?10} ?[?(0.5)??(?0.5)]?[?(1.5)??(0)]?[?(0.5)??(?0.5)][?(1.5)??(0)]
?[2?(0.5)?1]?[0.9332?0.5]?[2?(0.5)?1][0.9332?0.5]?0.383?0.4332?0.383?0.4332?0.6503 （本题与答案不符）（3）E(X221X22X23)?E(X21)E(X22)E(X23)?[D(X31)?E2(X1)]?[100?75]3
?1.8764?1011；
（4）D(X1X2X3)?E[(X1X22X3)]?E2(X1X2X3)?1.8764?1011?E6(X1)
?1.8764?1011?756?9.662?109；
D(2X1?3X2?X3)?4D(X1)?9D(X2)?D(X3)?1400；
（5）因为X1?X2~N(150,200)，所以
P{XX148?15021?2?148}??(200)?1??(10)?1?0.5557?0.4443。
3，设总体X~?(5)，X1,X2,X3是来自X的容量为3的样本，求 （1）P{X1?1,X2?2,X3?3}；（2）P{X1?X2?1}。
解：（1）因为X1,X2,X3相互独立，所以
P{X25e?5125e?5P{X1?1,X2?2,X3?3}?1?1}P{X2?2}P{X3?3}?5e?5?2?6
?15625e-1512?0.000398；
（2）P{X1?X2?1}?p{X1?0,X2?1}?p{X1?1,X2?0}
?e?5?5e?5?5e?5?e?5?10e?10。
4，（1）设总体X~N(52,6.32)，X1,X2,?,X36是来自X的容量为36的样本，求P{50.8?X?53.8}；
31
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（2）设总体X~N(12,4)，X1,X2,?,X5是来自X的容量为5的样本，求样本均值与总体均值之差的绝对
值大于1的概率。 解：（1）根据题意得XP{50.8?X?53.8}?P{~N(52,6.32/36)，所以
50.8?52X?5253.8?5253.8?5250.8?52??}??()??()6.3/66.3/66.3/66.3/66.3/6
??(1.7143)??(?1.143)?0.9564?(1?0.8729)?0.8293；
（2） 因为X~N(12,4/5)， P{X?12?1}?P{11?X?13}
11?12X?1413?12?P{??}??(1.118)??(?1.118)?0.8686?(1?0.8686)?0.73720.80.40.8P{X?12?1}?1?P{X?12?1}?1?0.7?0.2所
228以
。
367
5，求总体N(20,3)的容量分别为10和15的两独立样本均值差的绝对值大于0.3的概率。 解：设容量分别为10和15的两独立样本的样本均值分别记为X和Y， 则X~N(20,0.3)，Y~N(20,0.2)，所以X?Y~N(0,0.5)，
P{X?Y?0.3}?1?P{X?Y?0.3}?1?P{?0.3?X?Y?0.3}?1?[?(0.30.5)??(?0.30.5)]
?2?2??(0.42)?0.6744。
6，下面给出了50个学生概率论课程的一次考试成绩，试求样本均值和样本方差，样本标准差，并作出频率直方图（将区间（35.5，105.5）分为7等份）。
1502(xi?x)?201.5037，s?14.1952， 解：易得x??xi?74.92，s??n?1i?1i?1502处理数据得到以下表格
组 限 35.5~45.5 45.5~55.5 55.5~65.5 65.5~75.5 75.5~85.5 85.5~95.5 95.5~105.5 频数fi 2 3 6 14 11 12 2 频率fi/n 0.04 0.06 0.12 0.28 0.22 0.24 0.04 根据以上数据，画出直方图（略） 7，设总体XX1,X2,?,X4是来自X~N(76.4,383)，
的容量为4
(Xi?76.4)2的样本，（1）问U??s是样本方差。
383i?124，
32
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(Xi?X)2W??383i?14分别服从什么分布，并求D(s2)。（2）求P{0.711?U?7.779}，P{0.352?W?6.251}
解：（1）因为X?76.4~N(0,1)，
3834(Xi?76.4)2?Xi?76.4?2????~?(4) 所以，U????383383?i?1i?1?42而根据定理2
(X?X)，W??i?383i?142?(Xi?14i?X)23833s2?~?2(3) 3833s2因为D(W)?D()?6，所以D(s2)?6?3832/9?293378/3。
383（2）P{0.711?U?7.779}?P{U?7.779}?P{U?0.711}?(1?0.1)?(1?0.95) =0.85（第二步查表）
P{0.352?W?6.251}?P{W?6.251}?P{W?0.352}?(1?0.1)?(1?0.95)?0.85
8，已知X~t(n)，求证X2~F(1,n)。
~t(n)，所以存在随机变量Y~N(0,1),Z~?2(n) YZ/n2证明：因为X使得
X?， 也即
2Y2， X?Z/n2Y2/1而根据定义Y~?(1),所以X?~F(1,n)，证毕。
Z/n2
（第5章习题解答完毕）
第6章 参数估计
1，设总体X~U(0,b),B?0未知，X1,X2,?,X9是来自X 的样本。求b的矩估计量。今测得一个样本值0.5，
0.6，0.1，1.3，0.9，1.6，0.7，0.9，1.0，求b的矩估计值。 解：因为总体X~U(0,b)，所以总体矩E(X)?b/2。根据容量为
9
19的样本得到的样本矩X??Xi9i?1。令总体
??2X。 矩等于相应的样本矩：E(X)?X，得到b的矩估计量为b??1.69。 把样本值代入得到b的矩估计值为b
?2?2(??x)0?x??2，设总体X具有概率密度fX(x)???，参数?未知，X1,X2,?,Xn是来自X的样本，求?的
其他?0?矩估计量。
解：总体X的数学期望为E(X)??0?2x?(??x)dx?2?3，令E(X)?X可得?的矩估计量为???3X。
33
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3，设总体X~B(m,p),参数m,p(0?p?1)未知，X1,X2,?,Xn是来自X的样本，求m,p的矩估计量（对于具体
?不是整数，则取与m?最接近的整数作为m的估计值）样本值，若求得的m。
解：总体X的数学期望为 E(X)?mp，D(X)?mp(1?p)，
?mp(mp?p?1)。
二阶原点矩为E(X2)?D(X)??E(X)?2令总体矩等于相应的样本矩：
1n2E(X)?X，E(X)?A2??Xi
ni?12A??1?X?2得到pX?X???，mX??X?22?A2。
4，（1）设总体X~?(?),??0未知，X1,X2,?,Xn是来自X的样本，x1,x2,?,xn是相应的样本值。求?的矩估计量，求?的最大似然估计值。
（2）元素碳-14在半分钟内放射出到达计数器的粒子数X~?(?)，下面是X的一个样本：
6 4 9 6 10 11 6 3 7 10
求?的最大似然估计值。
??X。 解：（1）因为总体的数学期望为?，所以矩估计量为?n似然函数为 L(?)??i?1?exi???xi?!???xii?1ne?n???xi?!i?1n，相应的对数似然函数为
?n?lnL(?)??ln???xi?n??ln???xi?!?。
i?1?i?1?n令对数似然函数对?的一阶导数为零，得到?的最大似然估计值为
1n????xi?x。 ni?1??x?7.2。 （2）根据（1）中结论，?的最大似然估计值为?
5，（1）设X服从参数为p(0?p?1)的几何分布，其分布律为P{Xx1,x2,?,xn是一个样本值，求p的最大似然估计值。
?x}?(1?p)x?1p,x?1,2,?。参数p未知。设
（2）一个运动员，投篮的命中率为p(0?p?1,未知)，以X表示他投篮直至投中为止所需的次数。他共投篮5次得到X的观察值为
5 1 7 4 9
求p的最大似然估计值。 解：（1）似然函数为
L(p)??(1?p)i?1n?xi?1p?(1?p)i?1??xi?nnpn，相应的对数似然函数为
n?lnL(p)???xi?n??ln(1?p)?nlnp。 ?i?1? 34
概率论与数理统计及其应用习题解答
令对数似然函数对p的一阶导数为零，得到p的最大似然估计值为
??pnn?i?xi?11。 x1???（2）根据（1）中结论，p的最大似然估计值为px5。 26
6，（1）设总体X~N(?,?2)，参数?2已知， ?(??????)未知，x1,x2,?,xn是来自X一个样本值。求?的
最大似然估计值。 （2）设总体X然估计值。
解：（1）似然函数为
(x??)?1?i2L(?)???e2?i?1??2??n2~N(?,?2)，参数?已知，?2（?2>0）未知，x1,x2,?,xn为一相应的样本值。求?2的最大似
??????12??ni?1?ne?i?1?(xi??)22?2n，相应的对数似然函数为
lnL(?)??2?(xi??)2?2?ln2????。
n令对数似然函数对?的一阶导数为零，得到?的最大似然估计值为
????xi?1ninn?x。
（2）似然函数为
(x??)?1?i2L(?)???e2?i?1??2??2n2?1????2??2??n2e?i?1?(xi??)22?2，相应的对数似然函数为
n?ln2??22 lnL(?2)??i?12?(xi??)n2?2??。
令对数似然函数对?2的一阶导数为零，得到?2的最大似然估计值为
1n???(xi??)2。 ?ni?12
7，设X1,X2,?,Xn是总体X的一个样本，x1,x2,?,xn为一相应的样本值。 （1）
?x?x/??e总体X的概率密度函数为f(x)???2??0x?0其他，
0????，求参数?的最大似然估计量和估计值。
（2）
0????，求参数?的最大似然估计值。
?x2?x/??e总体X的概率密度函数为f(x)??2?3?0?x?0其他，
（3）
估计值。 解：（1）似然函数为
设X~B(m,p),m已知，0?p?1未知，求p的最大似然
?xi/??xi?xi/??i?1i?1，相应的对数似然函数为 L(?)???2e?e2n??i?1???n??xinn 35