概率论与数理统计及其应用习题解答
P{Y?k} 10/28 15/28 3/28 1 22E(X)??kP{X?k}?1/2， E(Y)??kP{Y?k}?3/4，
k?0k?022E(XY)???ijP{X?i}P{Y?j}?1?1?3/14?3/14，
j?0i?022E(X?Y)???(i?j)P{X?i}P{Y?j}??7/28??1/4，
j?0i?022E(3X?2Y)???(3i?2j)P{X?i}P{Y?j}?84/28?3。
j?0i?0，解：22E[min(X,Y)]???min(i,j)P{X?i}P{Y?j}?1?3/14?3/14，
j?0i?022E[Y/(X?1)]???ji?1P{X?i}P{Y?j}?18/28?9/14。 j?0i?0，解：11?yE(X)???xf(x,y)dxdy??dy?24x2ydx?2/5，
R?R0011?yE(Y)???yf(x,y)dxdy??dy24y2xdx?2/5， R?R0?011?yE(XY)???xyf(x,y)dxdy??dy24x2y2dx?2/15。 R?R0?0，解：根据题意，可得利润的分布律为
0 -1000 Y 2000 1000 -2000 0.2 0.3 0.3 0.1 pk 0.1
E(Y)?2000?0.2?1000?0.3?1000?0.1?2000?0.1?400（元） E(Y2)?20002?0.2?10002?0.3?(?1000)2?0.1?(?2000)2?0.1?1600000
D(Y)?E(Y2)??E(Y)?2?1440000。
解????E(X)?x2?x2/(2?2)dx??xe?x2/(2?2)?????x2/(2?2)??xf(x)dx????2e00??edx???，
02????3E(X2)?x2f(x)dx??x?x2/(2?2))??????2xe?x2/(2?2)dx ??2?2e?x2/(2?2)??2edx??x2e?x2/(2?2???0?000?2?2，D(X)?E(X2)??E(X)?2?(2??/2)?2，D(X)?(2??/2)?。
??（本题积分利用了?e?x2/2dx??02，这个结果可以从标准正态分布密度函数中得到）
21
15
16
17因此，
18
概率论与数理统计及其应用习题解答
19，解：E(X)??kP{Xk?12??2???k}?p?k(1?p)k?1?p?k?1??2k?1??11?， pp2E(X)??kP{X?k}?p?k(1?p)k?1k?1??????k?1?p??k(k?1)(1?p)??k(1?p)k?1?
k?1?k?1?
?p(2121?)??， p3p2p2p所以，D(X)?E(X2)??E(X)?2?111?p??2。 p2pp??p本题利用了幂级数求和中先积分再求导的方法。设s(p)??k(1?p)，则?s(p)dp???(1?p)kk?1???1?1，所以
k?11k?1'??s(p)??p???s(p)dp???1。类似的，设S(p)?k?1)(1?p)k?1，则经过两次积分以后可得到
(1?p)2??2?k(1?pk?1p，在经过两
次求导得到S(p)?2p3。
20，解：（1）当????k?k??k?1时，E(X)??xf(x)dx??kdx?k?k???x?1kdx?k??xk?1。 （2）当k?1时，??E(X)???1?xdx???，即E(X)不存在。 （3），当????k?2时，E(X2)??x2f(x)dx??k?kk?2k?1dx????xk?2，
所以，D(X)?E(X2)??E(X)?2?2??1k?k?2?k?k?2?(k?1)2???(k?1)2(k?2)。 （4）当????k?2时，E(X2)??x2f(x)dx????2?2?xdx???，所以D(X)不存在。
21，解：（1）根据14题中结果，得到
Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?3/14?1/2?3/4??9/56；
因为2E(X2)??k2P{X?k}?4/7， E(Y22)??k2P{Y?k}?27/28，
k?0k?0所以D(X)?E(X2)??E(X)?2?9/28，D(Y)?E(Y2)??E(Y)?2?45/112，
?Y)5XY?Cov(X,D(X)D(Y)??5。 （2）根据16题结果可得：
Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?2/15??2/5?2??2/75；
因为
11?yE(X2)???x2f(x,y)dxdy??dy?24x3ydx?1/5， R?R0011?yE(Y2)?，
R??y2f(x,y)dxdy??R?dy0?24y3xdx?1/50所以，D(X)?E(X2)??E(X)?2?1/25，D(Y)?E(Y2)??E(Y)?2?1/25
D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2Cov(X,Y)?2/75，
p22
概率论与数理统计及其应用习题解答
?XY?Cov(X,Y)D(X)D(Y)??2。 3（3）在第2章14题中，由以下结果
X Y 0 1 2 P{X?k} 0 0.10 0.08 0.06 0.24 1 0.04 0.20 0.14 0.38 2 0.02 0.06 0.30 0.38 P{Y?k} 0.16 0.34 0.50 1 得到，E(X)?1.14，E(Y)?1.34，E(XY)?1.8，E(X2)?1.9，E(Y2)?2.34， 所以，Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?0.2724；
D(X)?E(X2)??E(X)?2?0.6004，D(Y)?E(Y2)??E(Y)?2?0.5444,
?X,Y).2724XY?Cov(D(X)D(Y)?00.5717?0.4765. 22，解：根据题意有 D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2Cov(X,Y)
?D(X)?D(Y)?2?XYD(X)D(Y)?9?4?2?(?1/6)?6?11。
D(X?3Y?4)?D(X?4)?D(3Y)?2Cov(X?4,3Y)
?D(X)?9D(Y)?6Cov(X,Y)?9?36?6?(?1/6)?6?51。
23，解：（1）因为X1,X2,X3相互独立，所以
E?X2?21(X2?4X3)2?E(X1)E[(X2?4X2223)]?E[X2?8X2X3?16X3]
?E[X2222?8X2X3?16X3]?E[X2]?8E[X2]E[X3]?16E[X23]
?1?0?16?17。
（2）根据题意，可得E(X22i)?1/2,E(Xi)?D(Xi)??E(Xi)??1/3，i?1,2,3。
E?(X??E[X2221?2X2?X3)21?4X2?X3?4X1X2?2X1X3?4X3X2]
?E[X2221]?4E[X2]?E[X3]?4E[X1]E[X2]?2E[X1]E[X3]?4E[X3]E[X2] ?14113?3?3?1?2?1?12。24，解：因为
1xE(X)?R??xf(x,y)dxdy?xdy?2/3，
?R?dx0??x1xE(Y)?y)dxdy?R??yf(x,?R?dx?ydy?0，
0?x1xE(XY)?,y)dxdy?R??xyf(x?R?dx0??xydy?0，
x所以，Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?0， 即，验证了X,Y不相关。 ???x又因为，
f)???1dy?2x，0?x?1X(x??f(x,y)dy?????x； ?0,其他 23
概率论与数理统计及其应用习题解答
?1??????1dx，?1?y?0y?1?y，0?y?0f??f(x,y)dx???1??1dx，0?y?1??.5Y(y)?1?y，0.5?y?1，
???y??0?0，其他?，其他??显然，f(x,y)?fX(x)fY(y)，所以验证了
X,Y不是相互独立的。
25，解：引入随机变量定义如下
X?1第i个球落入第i个盒子i???0第i个球未落入第i个盒子
则总的配对数nX??Xi，而且因为P{Xi?1}?1n，所以，X~N(n,1i?1n)。 故所以，E(X)?n?1n?1。
第4章 正态分布
1，（1）设Z~N(0,1)，求P{Z?1.24}，P{1.24?Z?2.37}，P{?2.37?Z??1.24}； （2）设Z~N(0,1)，且P{Z?a}?0.9147，P{Z?b}?0.0526，求a,b。 解：（1）P{Z?1.24}??(1.24)?0.8925，
P{1.24?Z?2.37}?P{Z?2.37}?P{Z?1.24}??(2.37)??(1.24)?0.9911?0.8925?0.0986P{?2.37?Z??1.24}??(?1.24)??(?2.37)?[1??(1.24)]?[1??(2.37)]?0.0986
（2）P{Z?a}?0.9147??(1.37)，所以a?1.37；
P{Z?b}?0.0526?1?P{Z?b}，所以P{Z?b}?0.9474??(1.62)，即b?1.62。
2，设X~N(3,16)，求P{4?X?8}，P{0?X?5}。
解：因为X~N(3,16)，所以
X?34~N(0,1)。 P{4?X?8}?P{4?34?X?34?8?34}??(1.25)??(0.25)?0.8944?0.5987?0.2957P{0?X?5}??(5?34)??(0?34)?0.6915?(1?0.7734)?0.4649。
3，（1）设X~N(25,36)，试确定C，使得P{X?25?C}?0.9544。
（2）设X~N(3,4)，试确定C，使得P{X?C}?0.95。
解：（1）因为P{X?25?C}?P{?C?X?25?C}??(CCC6)??(?6)?2?(6)?1
所以得到?(C6)?0.9772,即C6?2.0，C?12.0。
（2）因为X?3C?32~N(0,1)，所以P{X?C}?1??(2)?0.95，即
?(C?32)?0.05,或者?(3?C2)?0.95，从而3?C2?1.645，C??0.29。
24
概率论与数理统计及其应用习题解答
4，已知美国新生儿的体重（以g计）X（1） 求P{2587.75?X?4390.25}；
~N(3315,5752)。
（2） 在新生儿中独立地选25个，以Y表示25个新生儿的体重小于2719的个数，求P{Y?4}。 解：根据题意可得X?3315575~N(0,1)。
4390.25?33152587.75?3315)??()
575575（1）P{2587.75?X （2）P{X?4390.25}??(??(1.87)??(?1.2648)?0.9693?(1?0.8962)?0.8655（或0.8673）
?2719}??(2719?3315)?1??(1.04)?0.1492， 575根据题意Y~B(25,0.1492)，所以
kP{Y?4}??C25?0.1492k?0.850825?k?0.6664。
k?04
5，设洗衣机的寿命（以年计）X率。
解：所要求的概率为
P{X?8}P{X?8|X?5}??P{X?5}1??(1.06)1?0.85542.3???0.17616，一电路要求装两只设计值为5?6.41??(?0.92)0.82121??()2.31??(8?6.4)~N(6.4,2.3)，一洗衣机已使用了5年，求其寿命至少为8年的条件概
12欧
的电阻器，而实际上装的电阻器的电阻值（以欧计）服从均值为11.9欧，标准差为0.2欧的正态分布。求（1）两只电阻器的电阻值都在11.7欧和12.3欧之间的概率；（2）至少有一只电阻器大于12.4欧的概率（设两电阻器的电阻值相互独立）
解：设两个电阻器的电阻值分别记为随机变量X,Y,则X~N(11.9,0.04)，Y~N(11.9,0.04) （1）P{11.7?X?12.3,11.7?Y?12.3}?P{11.7?X?12.3}P{11.7?Y?12.3}
11.7?11.9??12.3?11.92???()??()????(2)??(?1)??0.81852?0.6699；
0.20.2??2（2）至少有一只电阻器大于12.4欧的概率为
?12.4?11.9?1?P{X?12.4,Y?12.4}?1?P{X?12.4}P{Y?12.4}?1???()?0.2??2
?1?0.99382?0.0124。
7，一工厂生产的某种元件的寿命X（以小时计）服从均值??160，均方差为?的正态分布，若要求
P{120?X?200}?0.80，允许?最大为多少？
解：根据题意，
X?160?~N(0,1)。所以有
P{120?X?200}??(200?160?120?16040)??()?2?()?1?0.80，
??即，?(40?)?0.9??(1.28)，从而
40??1.28,??31.25。
25