义务教育基础课程小学教学资料
祝福您及家人身体健康、万事如意、阖家欢乐！祝福您及家人身体健康、万事如意、阖家欢乐！祝福您及家人身体健康、万事如意、阖家欢乐！祝福您及家人身体健康、万事如意、阖家欢乐！祝福您及家人身体健康、万事如意、阖家欢乐！祝福您及家人身体健康、万事如意、阖家欢乐！祝福您及家人身体健康、万事如意、阖家欢乐！祝福您及家人身体健康、万事如意、阖家欢乐！祝福您及家人身体健康、万事如意、阖家欢乐！第三讲 数论之数的整除性
教学目标
数的整除性是数论的基础内容，学生能否熟练掌握该内容对以后进一步深入学习数论至关重要. 本讲需要教授的内容有：
1、掌握并熟练运用能被2、3、4、5、6、9、11等整除的自然数性质，这类知识在（Ⅰ、Ⅱ类）题中运用很多.
2、训练对自然数的快速分解，记住并会运用几个特殊数（111、1001等）的分解情况对于解决（Ⅲ类）有很大的帮助.
3、精英班、竞赛班的学生还应该掌握分式的化简方法.
祝福您及家人身体健康、万事如意、阖家欢乐！祝福同学们快乐成长，能够取得好成绩，为祖国奉献力量祝福您及家人身体健康、万事如意、阖家欢乐！祝福同学们快乐成长，能够取得好成绩，为祖国奉献力量想 挑 在下面的方框中各填一个数字，使六位数 11□□11 能被17和19整除，那么方框中的两位数是 . 答案：17×19=323，而110011÷323余数为191，若□□00+191被323整除，商的个位为7，从而十位是1，□□00+191=5491，方框中的数为53. 战 吗？
你还记得吗？
数论研究的是奇数、偶数、素数、合数，这些最简单的数——整数及其内部关系，但是从这些简单的数中诞生了“费马大定理”、“哥德巴赫猜想”和“朗兰兹纲领”这样的难题，它们吸引数学家们花费数十年、甚至整世纪努力研究，本讲我们将学习一些最基本的数论知识.
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① 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；
一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除； 一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除； ……
② 一个数各位数数字和能被3整除，这个数就能比9整除；
一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；
③ 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能
被11整除.
④ 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数
能被7、11或13整除.
以上规律仅在十进制数中成立.
⑤ 部分特殊数的分解：111=3×37；1001=7×11×13；11111=41×271；10001=73×137；
1995=3×5×7×19；1998=2×3×3×3×37；2007=3×3×223；2008=2×2×2×251； 2007+2008=4015=5×11×73. 10101=3×7×13×37.
Ⅰ 整除与数字谜题
【例1】（★★★）要使26ABCD6能被36整除，而且所得的商最小，那么A、B、C、D分别是多少？ 分析：因为36=4×9，所以D6能被4整除，从而D只可能是1，3，5，7，9.要使商最小，A、B、C应尽可能小，先取A=0，B=1，又2+6+6+A+B+C+D=14+A+B+C+D=15+C+D，所以15+C+D是9的倍数，C=3，D=9时，取得最小值.
[拓展]要使26ABCD6能被36整除，而且所得的商最大，那么A、B、C、D分别是多少？
分析：先取A=9，则B=8，31+C+D是9的倍数，所以B+C=5或14，由于，B+C≤7+6=13，所以B+C=5，B=5，C=0时，取得最大值.
【例2】（★★★祖冲之杯小学数学邀请赛）一个数的20倍减1能被153整除，这样的自然数中最小的是 .
分析：设这样的数为x，则20x-1=153a，a是整数，即20x=153a＋1，因为20x的末位数一定是0，所以a最小取3，从而x最小是23.
[巩固](这一类型的题虽然也被分入Ⅰ类，但非常特殊，应当注意).一个数的20倍加7能被59整除，这样的自然数最小的是多少？
分析：20x=59a-7，59a个位是7，所以a的个位是3，a=3时，x不能取整数，a=13时，x=38.
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【例3】（★★★★）求最小的自然数，它的各位数字之和等于56，它的末两位数是56，它本身还能被56所整除．
分析：所求的数写成100a＋56的形式．由于100a＋56能被56整除，所以a能被14整除，所以a应是14的倍数．而且a的数字和等于56－5－6=45．具有数字和45的最小偶数是199998，但这个数不能被7整除．接下来数字和为45的偶数是289998和298998，但前者不能被7除尽，后者能被7整除，所以本题的答数就是29899856．
[前铺]：求最小的偶数，它的各位数数字之和为40.
分析：各位数数字之和为40的数，至少有5位，万位上的数至少为4，否则，各位数数字之和最多为3+9+9+9+9=39，当万位数上的数为4是，这个数只能是49999，不是偶数，所以最小的偶数只能是59998.
[拓展]在五位数中，能被11整除且各位数字和等于43，这样的数有多少？
分析：因为5×8=40，5个数字的和等于43时，其中至少有3个9，并且只有以下两种情况.
(1) 数字中4个9、1个7，则奇数位数字和减去偶数位数字和只能是3×9-（9+7）=11，这样的
书有99979和97999，
(2) 数字中3个9，一个7，则奇数位数字和减去偶数位数字的和只可能是3×9-2×8=11，这样
的数有98989.
【例4】（★★★★）在1，2，3，……，1995，这1995个数中找出所有满足下面条件的数a来：（1995+a）能整除1995×a. 分析：
1995?a1995?a1995?1995=是自然数，所以1995-也是自然数，即1995+a是1995×1995的
1995+a1995+a1995+a约数.
2222
因为：1995×1995=3×5×7×19，，它在1995与2×1995之间的约数有 2222
3×19=3249，7×19=2527，3×7×19=2793， 22222
5×7×19=3325，3×5×7=2205，3×5×7=3675， 于是a的值有6个，即
3249-1995=1254，2527-1995=532，2793-1995=798， 3325-1995=1330，2205-1995=210，3675-1995=1680.
Ⅱ 整除与数字组合
【例5】目前日期的流行记法是采用6位数字，即将表示年份的后两位数字记在最左边，中间两个数字表示记载最左边，中间两个数字表示月份，最末两位数字表示日份（遇有月或日是个位数，前面加一个0.例如2008年8月8日记作080808），那么在今年（07年）365个日期中能被45整除的日期有多少个？
分析：45=9×5，所以这个六位数只能是07***5或07***0，其中千位只能是0或1，十位上只能是0、1、2，对于07***5，千位、百位、十位上数字和为6或15、24，由于千位只能是0或1，十位上只能是0、1、2，所以三位数字之和不可能为15、24，如果为6，那么有070605、070515、070425三种情况；对于07***0，千位、百位、十位上数字和为2或11或20，由于千位只能是0或1，十位上只能是0、1、2，所以三位数字之和不可能为20，如果为11，那么只有070920、070830两种情况.如果三位数字之和为2，
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那么只有070110、071010两种情况，所以在今年（07年）365个日期中能被45整除的日期有7个. 【例6】（★★★2002年南京市少年数学智力冬令营）一个十位数，如果各位上的数字都不相同，那么就称为“十全数”，例如，3 785 942 160就是一个十全数．现已知一个十全数能被1，2，3，…，18整除，并且它的前四位数是4876，那么这个十全数是 ．
分析：这个十全数能被10整除，个位数必为0；能被4整除，十位数必为偶数，末两位只能是20．设这个十全数为4876abcd20．由于它能被11整除，必有b＋d-(a＋c)=10，所以b、d是9和5；a、c是3和1，这个十全数只能是4 876 391 520，4 876 351 920，4 876 193 520，4 876 153 920中的一个．经检验，它是4 876 391 520．
【例7】（★★俄罗斯数学奥林匹克）为了打开银箱，需要先输入密码，密码由7个数字组成，它们不是2就是3．在密码中2的数目比3多，而且密码能被3或4所整除．试求出这个密码．
分析：密码中的2比3要多，所以2可能有4、5、6或7个．当2有4个时，密码的数字和为17；当2有5个时，数字和为16；当2有6个时，数字和为15；当2有7个时，数字和为14．我们知道如果一个数能被3整除，那么它的数字和也能被3整除，所以2应当有6个，这样3就只能有1个．另外，一个数能被4整除，那么它的末两位数也应当能被4整除，所以末两位数必定是为32．所以，密码是2222232．
[拓展] 为了打开银箱，需要先输入密码，密码由7个数字组成，它们不是1、2就是3．在密码中1的数目比2多，2的数目比3多，而且密码能被3或16所整除．试问密码是多少？
分析：密码由7为数字组成，如果有一个3的话，那么至少有二个2，如果有三个2，那么1至少有四个，总共至少有1+3+4=8个数字，所以2只有二个，1有4个，如此，各数位数字和为4+4+3=11，不是3的倍数，所以密码中只有1、2，由1、2组成的四位数中只有2112能被16整除（从个位向高数位推得），所以密码的后四位是2112，所以前三位数字和是3的倍数，只有111和222（2多于1，排除）满足条件，所以这个密码是1112112.
【例8】（★★★）用1，9，8，8这四个数字能排成几个被11除余8的四位数?
分析：现在要求被11除余8，我们可以这样考虑：这样的数加上3后，就能被11整除了．所以我们得到“一个数被11除余8”的判定法则：将偶位数字相加得一个和数，再将奇位数字相加再加3，得另一个和数，如果这两个和数之差能被¨除尽，那么这个数是被11除余8的数；否则就不是．
要把1，9，8，8排成一个被11除余8的四位数，可以把这4个数分成两组，每组2个数字．其中一组作为千位和十位数，它们的和记作A；另外一组作为百位和个位数，它们之和加上3记作B．我们要适当分组，使得能被11整除．现在只有下面4种分组法：
偶位 奇位 (1) 1，8 9，8 (2) 1，9 8，8 (3) 9，8 1，8 (4) 8，8 1，9
经过验证，第(1)种分组法满足前面的要求：
A=1＋8=9，B=9＋8＋3=20，B－A=11能被11除尽．但其余三种分组都不满足要求．
根据判定法则还可以知道，如果一个数被11除余8，那么在奇位的任意两个数字互换，或者在偶位的任意两个数字互换得到的新数被11除也余8．于是，上面第(1)分组中，1和8任一个可以作为千位数，9和8中任一个可以作为百位数．这样共有4种可能的排法：1988，1889，8918，8819．
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[拓展] 用1、2、3、4、5、6这6个数字能组成多少个被11除余5的六位数？
分析：1+2+3+4+5+6=21，六位数被11除余5的话，奇数位数字和减去偶数位的数字和再减去5能被11整除，21只能分拆成13和8两个差为5的数字，所以组成的六位数的奇数位的和为13，偶数位的数字和为8，1到6这6个数字能组成13的只有6+4+3和6+5+2两种.对于其中任意一种，例如奇数位数字分别为6、4、3，偶数位数字分别为1、2、5，这种情况下的六位数一共有3×3=9种，同理另一种情况也有9种，所以用1、2、3、4、5、6这6个数字能组成18个被11除余5的六位数.
【例9】（★★★★）已知一个6位数abcdef，将它的前三位整体移到末尾变成defabc，然后将两个六位数相加，已知这两个4位数的和是以下5个数的一个：①1460470；②460459；③1460459；④1460472；⑤1460466，这个和到底是多少？
分析：这个和可以表示为：（a+d）×100100+（b+e）×10010+（c+f）×1001，所以这个和是1001的倍数，所以这个和是7、11、13的倍数
[前铺]一个4位数，把它的千位数字移到右端构成一个新的4位数.已知这两个4位数的和是以下5个数的一个：①9865；②9866；③9867；④9868；⑤9869.这两个4位数的和到底是多少?
分析：设这个4位数是abcd，则新的4位数是bcda.两个数的和为abcd+bcda=1001×a+1100×b+110×c+11×d,是11的倍数.在所给的5个数中只有9867是11的倍数，故正确的答案为9867.
Ⅲ 多位数整除
【例10】（★★★香港圣公会小学数学奥林匹克）下面这个199位整数：
10010010011001
199位被13除，余数是多少？
分析：100100能被13整除，每六位能被13整除，所以余数是1
[拓展]1000199位00被13除余多少？
分析：1001001001199位1001-1000199位00=10010011001
196位显而易见1001001196位所以也是13的倍数，所以10001001也是1001的倍数，
199位00与10010010011001199位被13除所得的余数相同,余数是1.
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