[拓展]（★★★）1002003004……7008009008007……4003002001被7除的余数为多少？
共49位
分析：原式=1001001001001001001001001×1001001001001001001001001，由【例10】的方法
1001001001001001001001001被7除余1，所以1002003004……7008009008007……4003002001共49位被7除的余数为1.
【例11】20082008200808能被99整除，那么，n的最小值为多少？
200808能被11和9整除，20082008200808中奇位数减
n个2008分析：由于99=9×11，所以20082008n个2008n个2008偶位数的差为（8-2）n+8=6n+8，当n=6、17、28……时，（3n+1）是11的倍数，所以n的最小值是6.
20082008200808各位数字之和为（2+8）×n+8=10n+8，所以当n=1、10、19、28……等数时，能被
n个20089整除，所以n的最小值为28.
[前铺]（★★全国小学数学奥林匹克）如果20052005n个2005200501能被11整除，那么n的最小值
是 .
分析：20052005n个2005200501中奇数位减偶数位的差为（5－2）n＋1=3n＋1,当n=7时，(3n＋1)是11的
倍数，所以n的最小值是7.
【例12】（★★★★）应当在如下的问号“?”的位置上填上哪一个数码，才能使得所得的整数可被7整除?(其中数码6和5各重复了50次)
666…66?555…55
分析：可在“?”的位置上填上2或9．事实上，111111(6个1)可被7整除，因此如果将我们的数的头和尾各去掉48个数码，并不改变其对7的整除性，于是还剩下66?55．从中减去63035，并除以10，即得3?2．此时不难验证，具有此种形式的三位数中，只有322和392可被7整除．所以？上填2或9.
[拓展]应当在如下的问号“？”的位置上填上哪个数码，才能使得所得的整数可被41整除？（其中数码2和6都重复了36次）
222…22?66…666
分析：11111=41×271，所以我们可以将数的头和尾各去掉35个数码，并不改变对41的整除性，于是还剩下2?6，在200到300之间只有246能被41整除，并且个位数字为6.所以“？”上应填入4.
6
[拓展] 应当在如下的“□□”的位置上填上哪两个数码，才能使得所得的整数可被63整除？（其中数码2和7都重复了25次.
222…22□□77…777
分析：63=7×9，所以中间□□两个数的和能被9整除，又111111(6个1)可被7整除，所以去掉首尾24个数字后，剩下的2□□7，也能被7整除，2007=7×286+5，所以□□5也能被7整除，□□5-35能被7整除，所以两位数□□被7除余3，在两位数中被7除余3，且能被9整除的只有45. □□中所填的数是45.
专题展望
数的整除性是数论中最基本的内容，在数论问题中经常被用到，而奇偶性质是数的整除性中的特殊情形，有关奇偶数性质的运用将在下一讲中详细教授.
练习三
1、（★例1）六位数20□□08能被49整除，□□中的数是 .
分析：方法一：20□□08被49除商4081余39，所以□□00+39能被49整除，□□39除以49应当商至少为11，49×11=539，所以□□中的数应该为05，当然5+49=54也成立，□□中的数可以为05也可以输54
2、（★★★例1）某个7位数1993□□□能够同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么它的最后三位数依次是什么？
分析：2、3、4、5、6、7、8、9的最小公倍数是2520. 1993000÷2520=790……2200
2520-2200=320，所以最后两位数是3、2、0.
3、（★★★例2）一个数的40倍减1能被97整除，这样的自然数中最小的是 .
分析：设这样的数为x，则40x-1=97a，a是整数，即40x=97a＋1，因为40x的末位数一定是0，40x-1的末尾数一定是9，所以a最小取7，从而x最小是17.
4、（★★★例12）已知3939……3939中39一共重复了20次.那么这个数被37除得的余数是多少？ 分析：10101=3×7×13×37，所以393939是37的倍数.所以这个40位数裁掉前36位数后剩下的四位数与原来的数同余，所以只要求出3939被37除后的余数.3939=37×106+17,所以余数为17.
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5、（★★★★例4）在1、2、3、4……2007这2007个数中有多少个自然数a能使2008+a能被2007-a整除？
分析：如果2008+a能被2007-a整除，那么
2008+a2008+a2008?2007?1?为自然数，也是自然数，
2007-a2007-a2007?a4015能被（2007-a）整除，所以4015=5×11×73，4015的约数中小于2007的数有1、5、11、73、55、
365、803， 所以当a取2006、2002、1996、1934、1952、1642、1204能使2008+a能被2007-a整除.
数学知识
时间的单位是小时，角度的单位是度，从表面上看，它们完全没有关系.可是，为什么它们都分成分、秒等名称相同的小单位呢？为什么又都用六十进位制呢？
我们仔细研究一下，就知道这两种量是紧密联系着的.原来，古代人由于生产劳动的需要，要研究天文和历法，就牵涉到时间和角度了.譬如研究昼夜的变化，就要观察地球的自转，这里自转的角度和时间是紧密地联系在一起的.因为历法需要的精确度较高，时间的单位\小时\、角度的单位\度\都嫌太大，必须进一步研究它们的小数.时间和角度都要求它们的小数单位具有这样的性质：使1/2、1/3、1/4、1/5、1/6等都能成为它的整数倍.以1/60作为单位，就正好具有这个性质.譬如：1/2等于30个1/60，1/3等于20个1/60，1/4等于15个1/60……
数学上习惯把这个1/60的单位叫做\分\，用符号\′\来表示；把1分的1/60的单位叫做\秒\，用符号\″\来表示.时间和角度都用分、秒作小数单位.
这个小数的进位制在表示有些数字时很方便.例如常遇到的1/3，在十进位制里要变成无限小数，但在这种进位制中就是一个整数.
这种六十进位制（严格地说是六十退位制）的小数记数法，在天文历法方面已长久地为全世界的科学家们所习惯，所以也就一直沿用到今天.
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