sin??21?cos2?2,cos??21?cos2?2
24 三角函数的周期公式
函数y?sin(?x??)，x?R及函数y?cos(?x??)，x?R(A,ω,?为常数，且A≠0)的周期
T?2?；函数y?tan(?x??)，x?k???,k?Z(A,ω,?为常数，且A≠0)的周期T??.
|?|2三角函数的图像：
y=sinxy1y=cosxy1-π/2/2-2π-3π/2-πoπ/2π3π2πx-2π-3π/2-π-π/2oπ/2π3π/22π-1-125 正弦定理 ：
asinA?bsinB?csinC?2R（R为?ABC外接圆的半径）.
?a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC?a:b:c?sinA:sinB:sinC
26余弦定理：
a2?b2?c2?2bccosA;b2?c2?a2?2cacosB;c2?a2?b2?2abcosC.
27面积定理：
（1）S?12aha?12bhb?12chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c边上的高）.
（2）S?1absinC?122bcsinA?12casinB.
????????????????(3)S1?OAB?2(|OA|?|OB|)2?(OA?OB)2. r2S??内切圆??b?c,r?b－c斜边a直角?内切圆?a2
28三角形内角和定理 ：
在△ABC中，有A?B?C???C???(A?B)
?C?A?B2?2?2?2C?2??2(A?B).
29实数与向量的积的运算律:设(1) 结合律：λ(μa?λ、μ)=(λμ) a?为实数，那么：
(2)第一分配律：(λ+μ) a?=λa?;
+μa?(3)第二分配律：λ(30a?与?a?+?b)=λ??;
?a+λb. ?b的数量积(或内积)：a?·b=|a?||b|cos?。 31平面向量的坐标运算：(1)设a?=?
(xy??1,y1),b=(x2,2)，则a+b=(x1?x2,y1?y2).
(2)设a?=?(x，则??1,y1),b=(x2,y2) (3)设AB????a-???b=?(x???1??x2,y1?y2).
(x1,y1)，(x2,y2),则AB?OB?OA?(x2?x1,y2?y1).
(4)设a?=(x,y),??R，则?a?=(?x,?y).
(5)设a?=?·?(x,b=(x?1,y1)2,y2)，则ab=(x1x2?y1y2). 32 两向量的夹角公式：
cos??a??b??x1x2?y1y2(=?|a?|?|b|?(xx221,y1),b=(x2,y2)).
1?y1?x22a?2?y233 平面两点间的距离公式：
???????????? d=|AB|?2A,BAB?AB?(x2?x1)?(y2?y21)(A(x1,y1)，B(x2,y2)).
6
|?|x
????34 向量的平行与垂直 ：设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b?0，则：
????||ab?b=λa ?x1y2?x2y1?0.（交叉相乘差为零） ??????a?b (a?0)? a·b=0?x1x2?y1y2?0.（对应相乘和为零）
????????P(x,y)35 线段的定比分公式 ：设P1(x1,y1)，是线段P1P2的分点,?是实数，且P1P??PP2，P2(x2,y2)，
x1??x2?????????x??????OP??OP2?1??1则? ?OP?1???y?y1??y2?1????????????????OP?tOP1?(1?t)OP2（t?11??）.
36三角形的重心坐标公式： △ABC三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),则△ABC
的重心的坐标是G(x1?x2?x33,y1?y2?y33).
37三角形五“心”向量形式的充要条件：
设O为?ABC所在平面上一点，角A,B,C所对边长分别为a,b,c，则
（1）O为?ABC（2）O为?ABC（3）O为?ABC（4）O为?ABC（5）O为?ABC38常用不等式：
????2????2????2的外心?OA?OB?OC.
?????????????的重心?OA?OB?OC?0.
????????????????????????的垂心?OA?OB?OB?OC?OC?OA.
?????????????的内心?aOA?bOB?cOC?0.
????????????的?A的旁心?aOA?bOB?cOC.
22（1）a,b?R?a?b?2ab(当且仅当a＝b时取“=”号)． （2）a,b?R?333?a?b2?ab(当且仅当a＝b时取“=”号)．
（3）a?b?c?3abc(a?0,b?0,c?0). （4）a?b?a?b?a?b. （5）
2aba?b?ab?a?b2?a?b222(当且仅当a＝b时取“=”号)。
39极值定理:已知x,y都是正数，则有
（1）若积xy是定值p，则当x?y时和x?y有最小值2p； （2）若和x?y是定值s，则当x?y时积xy有最大值
?（3）已知a,b,x,y?R，若ax?by?1则有
14s.
21x?1y?(ax?by)(1x??1y)?a?b?ax?bybyx?axy?a?b?2ab?(a?b)。
2（4）已知a,b,x,y?R，若
x?y?(x?y)(ax?by?1则有 ayx?bxy?a?b?2ab?(a?b)
2)?a?b?22240 一元二次不等式ax?bx?c?0(或?0)(a?0,??b?4ac?0)，如果a与ax?bx?c同号，则
其解集在两根之外；如果a与ax?bx?c异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.即：
7
2
x1?x?x2?(x?x1)(x?x2)?0(x1?x2)； x?x1,或x?x2?(x?x1)(x?x2)?0(x1?x2).
41 含有绝对值的不等式 ：当a> 0时，有
x?a?x?a??a?x?a.
22x?a?x?a?x?a或x??a.
2242 斜率公式 ：
k?y2?y1x2?x1（P1(x1,y1)、P2(x2,y2)）.
43 直线的五种方程：
（1）点斜式 y?y1?k(x?x1) (直线l过点P1(x1,y1)，且斜率为k)．
（2）斜截式 y?kx?b(b为直线l在y轴上的截距). （3）两点式
y?y1y2?y1xy?x?x1x2?x1(y1?y2)(P1(x1,y1)、P2(x2,y2) (x1?x2,y1?y2)).
两点式的推广：(x2?x1)(y?y1)?(y2?y1)(x?x1)?0（无任何限制条件！）
?1(a、b分别为直线的横、纵截距，a?0、b?0)
ab（5）一般式 Ax?By?C?0(其中A、B不同时为0).
??直线Ax?By?C?0的法向量：l??(A,B)，方向向量：l?(B,?A)
?(4)截距式
44 夹角公式：
(1)tan??|(2)tan??|k2?k11?k2k1|. (l1:y?k1x?b1，l2:y?k2x?b2,k1k2??1)
|.(l1:A1x?B1y?C1?0,l2:A2x?B2y?C2?0,A1A2?B1B2?0).
A1B2?A2B1A1A2?B1B2直线l1?l2时，直线l1与l2的夹角是
45 l1到l2的角公式：
(1)tan??(2)tan??k2?k11?k2k1?2.
.(l1:y?k1x?b1，l2:y?k2x?b2,k1k2??1)
.(l1:A1x?B1y?C1?0,l2:A2x?B2y?C2?0,A1A2?B1B2?0).
?2A1B2?A2B1A1A2?B1B2直线l1?l2时，直线l1到l2的角是
46 点到直线的距离 ：d?47 圆的四种方程：
|Ax0?By0?C|A?B222.
(点P(x0,y0),直线l：Ax?By?C?0).
（1）圆的标准方程 (x?a)?(y?b)?r.
（2）圆的一般方程 x?y?Dx?Ey?F?0(D?E?4F＞0).
?x?a?rcos?（3）圆的参数方程 ?.
y?b?rsin??222222（4）圆的直径式方程 (x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)?0(圆的直径的端点是A(x1,y1)、B(x2,y2)). 48点与圆的位置关系：点P(x0,y0)与圆(x?a)?(y?b)?r的位置关系有三种：
若d?
222(a?x0)?(b?y0)，则d?r?点P在圆外;
8
22
d?r?点P在圆上; d?r?点P在圆内.
49直线与圆的位置关系：直线Ax?By?C?0与圆(x?a)2?(y?b)2?r2的位置关系有三种
(d?Aa?Bb?CA?B22):
d?r?相离???0;d?r?相切???0;d?r?相交???0.
50 两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，O1O2?d，则：
d?r1?r2?外离?4条公切线;
d?r1?r2?外切?3条公切线;
r1?r2?d?r1?r2?相交?2条公切线; d?r1?r2?内切?1条公切线;
内含内切r2-r1相交外切相离r1+r21?ba220?d?r1?r2?内含?无公切线.
oddd，
d51 椭圆
xa22?yb22?x?acos?c. 离心率e???1(a?b?0)的参数方程是?a?y?bsin?准线到中心的距离为
a2c，焦点到对应准线的距离(焦准距)p?2b2c。
b过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为：2?.
a52 椭圆
xa22?yb22?1(a?b?0)焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积: a2PF1?e(x?c)?a?ex，PF2?e(22222222a2c?x)?a?ex；S?F1PF2?c|yP|?btanx0aax022222?F1PF2。
53椭圆的的内外部: （1）点P(x0,y0)在椭圆（2）点P(x0,y0)在椭圆54 椭圆的切线方程:
(1) 椭圆
xa22xaxa??ybyb?1(a?b?0)的内部??1(a?b?0)的外部???y0bby0222?1. ?1.
2?xa22yb?yb22?1(a?b?0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是
22x0xa2?y0yb?22?1. ?1.
222 （2）过椭圆 （3）椭圆55 双曲线
xa22yb22?1外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是
x0xa2y0yb22xa?22?y22?1(a?b?0)与直线Ax?By?C?0相切的条件是Aa?Bb?c.
ca?1?ba22b?1(a?0,b?0)的离心率e?b2，准线到中心的距离为2a2c，焦点到对应
b准线的距离(焦准距)p?。过焦点且垂直于实轴的弦叫通经，其长度为：2?.
ca焦半径公式PF1?|e(x?a2c)|?|a?ex|，PF2?|e(2两焦半径与焦距构成三角形的面积S?FPF?bcot12?x)|?|a?ex|，
c?F1PF2a2。
9
56 双曲线的方程与渐近线方程的关系:
(1）若双曲线方程为
xa22?bayb22?1?渐近线方程：xa?ybxa22?yb22?0?y??xa22bax.
(2)若渐近线方程为y??(3)若双曲线与
xa22x??0?双曲线可设为?yb22??.
?yb22?1有公共渐近线，可设为
xa22?yb22??
（??0，焦点在x轴上，??0，焦点在y轴上）. (4) 焦点到渐近线的距离总是b。 57双曲线的切线方程:
(1)双曲线
xa22?xa2222yb22?1(a?0,b?0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是yb2222x0xa2?y0yb22?1. y0yb2 (2)过双曲线 （3）双曲线
2?yb?1外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是
222x0xa2?2?1.
xa??1与直线Ax?By?C?0相切的条件是Aa?Bb?c.
58抛物线y?2px的焦半径公式:
抛物线y2?2px(p?0)焦半径CF?x0?过焦点弦长CD?x1?2p2.
p2?x2?p22?x1?x2?p.
59二次函数y?ax?bx?c?a(x?（1）顶点坐标为(?b2a,b2a2)?4ac?b4a2(a?0)的图象是抛物线：
4ac?b4a2（2）焦点的坐标为(?)；.
b2a,4ac?b?14a2)；
（3）准线方程是y?4ac?b?14a60 直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB?或AB?22(x1?x2)?(y1?y2) 2222(1?k)[(x2?x1)?4x2?x1]?|x1?x2|1?tan??|y1?y2|1?cot?
?y?kx?b?F(x,y)?0（弦端点A(x1,y1),B(x2,y2)，由方程? 消去y得到ax?bx?c?0
(x1?x2)?4x1x2. 22??0,?为直线AB的倾斜角，k为直线的斜率，|x1?x2|?61证明直线与平面的平行的思考途径:
（1）转化为直线与平面无公共点； （2）转化为线线平行； （3）转化为面面平行.
62证明直线与平面垂直的思考途径:
（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直； （2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行； （4）转化为该直线垂直于另一个平行平面。 63证明平面与平面的垂直的思考途径：
（1）转化为判断二面角是直二面角； （2）转化为线面垂直；
(3) 转化为两平面的法向量平行。
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