64 向量的直角坐标运算：
??设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)则：
??(1) a＋b＝(a1?b1,a2?b2,a3?b3)；
??(2) a－b＝(a1?b1,a2?b2,a3?b3)；
?(3)λa＝(?a1,?a2,?a3) (λ?R)；
??(4) a·b＝a1b1?a2b2?a3b3；
65 夹角公式：
????设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)，则cos?a,b??66 异面直线间的距离 ：
a1b1?a2b2?a3b3a?a?a212223.
23b?b?b2122????????|CD?n|?(l1,l2是两异面直线，其公垂向量为n，C、D是l1,l2上任一点，d为l1,l2间的距离). d?|n|????????|AB?n|?d?（n为平面?的法向量，A??，AB是?的一条斜线段）. |n|4367点B到平面?的距离：
68球的半径是R，则其体积V??R,其表面积S?4?R．
3269球的组合体：
(1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.
(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体
的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3)球与正四面体的组合体: 棱长为a的正四面体的内切球的半径为(正四面体高63a的
14612a 34470 分类计数原理（加法原理）：N?m1?m2???mn.
),外接球的半径为6a(正四面体高63a的).
分步计数原理（乘法原理）：N?m1?m2???mn. 71排列数公式 ：An=n(n?1)?(n?m?1)=72 组合数公式：C=
mnmn！(n?m)！.(n，m?N，且m?n)．规定0!?1.
n！*
AnmmAmn=
n(n?1)?(n?m?1)1?2???mm=
m！?(n?m)！m?1m(n?N，m?N，且m?n).
0*
组合数的两个性质:(1)Cn=Cn0nn?m ;(2) Cn+Cn1n?1rm=Cn?1.规定Cn?1.
2rn?r73 二项式定理 (a?b)?Cna?Cna二项展开式的通项公式Tr?1?Cnan2b?Cnan2n?2b???Cnab???Cnb ;
rnnrn?rb(r?0，1，2?，n).
f(x)?(ax?b)?a0?a1x?a2x???anx的展开式的系数关系：
a0?a1?a2???an?f(1)； a0?a1?a2???(?1)an?f(?1)；a0?f(0)。
n74 互斥事件A，B分别发生的概率的和：P(A＋B)=P(A)＋P(B)．
n个互斥事件分别发生的概率的和：P(A1＋A2＋?＋An)=P(A1)＋P(A2)＋?＋P(An)． 75 独立事件A，B同时发生的概率：P(A·B)= P(A)·P(B).
n个独立事件同时发生的概率：P(A1· A2·?· An)=P(A1)· P(A2)·?· P(An)． 76 n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率：Pn(k)?CnP(1?P)77 数学期望：E??x1P1?x2P2???xnPn??
11
kkn?k.
数学期望的性质
（1）E(a??b)?aE(?)?b. （2）若?～B(n,p),则E??np. (3) 若?服从几何分布,且P(??k)?g(k,p)?qk?1p，则E??78方差：D???x1?E???p1??x2?E?标准差：??=D?. 方差的性质：
(1)D?a??b??a2D?；
(2）若?～B(n,p)，则D??np(1?p).
(3) 若?服从几何分布,且P(??k)?g(k,p)?qk?121p.
?2?p2????xn?E??2?pn??
p，则D??qp2.
方差与期望的关系：D??E???E?79正态分布密度函数：f?x??12?6?2?.
,x????,???，
2?x???2622e式中的实数μ，?（?>0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差.
?x???2对于N(?,?)，取值小于x的概率：F?x?????.
???P?x1?x0?x2??P?x?x2??P?x?x1?
80 f(x)在x0处的导数（或变化率）：
f?(x0)?y?x?x0?lim?y?x?x?0?limf(x0??x)?f(x0)?xs(t??t)?s(t).
?x?0?lim. ?t?0?t?t?vv(t??t)?v(t)?lim瞬时加速度：a?v?(t)?lim.
?t?0?t?t?0?t81 函数y?f(x)在点x0处的导数的几何意义：
?t?0瞬时速度：??s?(t)?lim?s函数y?f(x)在点x0处的导数是曲线y?f(x)在P(x0,f(x0))处的切线的斜率f?(x0)，相应的切线方程是y?y0?f?(x0)(x?x0).
82 几种常见函数的导数：
n?1(1) C??0（C为常数）.(2) (x)??nx(n?Q).(3) (sinx)??cosx.
n(4) (cosx)???sinx. (5) (lnx)??xxxx(6) (e)??e; (a)??alna. 83 导数的运算法则：
1x；(logax)??1xlogae.
（1）(u?v)?u?v.（2）(uv)?uv?uv.（3）()?v''''''u'uv?uvv2''(v?0).
84 判别f(x0)是极大（小）值的方法：
当函数f(x)在点x0处连续时，
（1）如果在x0附近的左侧f?(x)?0，右侧f?(x)?0，则f(x0)是极大值； （2）如果在x0附近的左侧f?(x)?0，右侧f?(x)?0，则f(x0)是极小值. 85 复数的相等：a?bi?c?di?a?c,b?d.（a,b,c,d?R）
2286 复数z?a?bi的模（或绝对值）|z|=|a?bi|=a?b.
12
87 复平面上的两点间的距离公式：
d?|z1?z2|?(x2?x1)?(y2?y1)（z1?x1?y1i，z2?x2?y2i）.
22288实系数一元二次方程的解
实系数一元二次方程ax?bx?c?0， ①若??b?4ac?0,则x1,2?22?b?b?4ac2ab2;
②若??b?4ac?0,则x1?x2??22a;
③若??b?4ac?0，它在实数集R内没有实数根；在复数集C内有且仅有两个共轭复数根
x??b??(b?4ac)i2a2(b?4ac?0).
2
高中数学公式提升
一、集合、简易逻辑、函数
1． 研究集合必须注意集合元素的特征即三性(确定,互异,无序); 已知集合A={x,xy,lgxy},集合
B={0,｜x｜,y},且A=B,则x+y=
2． 研究集合,首先必须弄清代表元素,才能理解集合的意义。已知集合M={y｜y=x2 ,x?R},N={y｜
22
y=x+1,x?R},求M∩N；与集合M={（x,y）｜y=x2 ,x?R},N={(x,y)｜y=x+1,x?R}求M∩N的区别。 3． 集合 A、B，A?B??时，你是否注意到“极端”情况：A??或B??；求集合的子集A?B时是否忘记?. 例如：?a?2?x?2?a?2?x?1?0对一切x?R恒成立，求a的取植范围，你讨论了a＝2的情况了吗？
24． 对于含有n个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2，2?1，
2?1， 2?2.如满足条件{1}?M?{1,2,3,4}的集合M共有多少个
nnnn5． 解集合问题的基本工具是韦恩图; 某文艺小组共有10名成员,每人至少会唱歌和跳舞中的一项,其
中7人会唱歌跳舞5人会,现从中选出会唱歌和会跳舞的各一人，表演一个唱歌和一个跳舞节目,问有多少种不同的选法？ 6． 两集合之间的关系。M?{xx?2k?1,k?Z},N?{xx?4k?1,k?Z}
7． (CUA)∩( CU B) = CU(A∪B) (CUA)∪( CUB) = CU(A∩B)；A?B?B?B?A； 8、可以判断真假的语句叫做命题. 逻辑连接词有“或”、“且”和“非”.
p、q形式的复合命题的真值表: （真且真，同假或假）
p q P且q P或q 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 假 真 假 假 假 假
13
9、 命题的四种形式及其相互关系: 原命题 互 逆 逆命题
若p则q 若q则p 互 互 互 为 互 否 逆 逆 否 否 否 否 否 否命题 逆否命题 否 互 逆 若﹃ｐ则﹃q 若﹃ｑ则﹃ｐ
原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.
10、你对映射的概念了解了吗？映射f：A→B中，A中元素的任意性和B中与它对应元素的唯一性，哪
几种对应能够成映射？ 11、函数的几个重要性质：
①如果函数y?f?x?对于一切x?R，都有f?a?x??f?a?x?或f（2a-x）=f（x），那么函数
y?f?x?的图象关于直线x?a对称.
②函数y?f?x?与函数y?f??x?的图象关于直线x?0对称； 函数y?f?x?与函数y??f?x?的图象关于直线y?0对称； 函数y?f?x?与函数y??f??x?的图象关于坐标原点对称.
③若奇函数y?f?x?在区间?0,???上是递增函数，则y?f?x?在区间???,0?上也是递增函数． ④若偶函数y?f?x?在区间?0,???上是递增函数，则y?f?x?在区间???,0?上是递减函数． ⑤函数y?f?x?a?(a?0)的图象是把函数y?f?x?的图象沿x轴向左平移a个单位得到的；函数
y?f?x?a?((a?0)的图象是把函数y?f?x?的图象沿x轴向右平移
a个单位得到的；
函数y?f?x?+a(a?0)的图象是把函数y?f?x?助图象沿y轴向上平移a个单位得到的;函数y?f?x?+a(a?0)的图象是把函数y?f?x?助图象沿y轴向下平移a个单位得到的.
12、求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，你标注了该函数的定义域了吗？ 13、求函数的定义域的常见类型记住了吗？函数y=
x(4?x)lg(x?3)2的定义域是 ；
复合函数的定义域弄清了吗？函数f(x)的定义域是[0,1],求f(log0.5x)的定义域. 函数f(x)的定义域
是[a,b],b??a?0, 求函数F(x)?f(x)?f(?x)的定义域
14、一个函数的奇偶性时，你注意到函数的定义域是否关于原点对称这个必要非充分条件了吗？ 在公共
定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数;一个奇函数与一个偶函数的乘积是奇函数;
15、据定义证明函数的单调性时，规范格式是什么？(取值, 作差, 判正负.)可别忘了导数也是判定函数
单调性的一种重要方法。 16、函数y?x?ax?a?0?的单调区间吗？（该函数在??,?a和
???a,??上单调递增；在???a,0
? 和0,a上单调递减）这可是一个应用广泛的函数！
17、函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗？（真数大于零，底数大于零且不等于1）字母底数还需讨论呀. 18、换底公式及它的变形，你掌握了吗？（log19、你还记得对数恒等式吗？（a2logab??ab?loglogccba,loganbn?logab）
?b）
2220、“实系数一元二次方程ax?bx?c?0有实数解”转化为“??b?4ac?0”，你是否注意到必
须a?0；当a=0时，“方程有解”不能转化为??b?4ac?0．若原题中没有指出是“二次”方
程、函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？
14
二、三角、不等式
21、三角公式记住了吗？两角和与差的公式________________； 二倍角公式:________________；解题
时本着“三看”的基本原则来进行:“看角,看函数,看特征”,基本的技巧有:巧变角,公式变形使用,
化切割为弦,用倍角公式将高次降次, 22、在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗？正切函数在整个定义域内是否为单
调函数？你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗？ 23、在三角中，你知道1等于什么吗？（1?sin???tanx?cotx?tan4?sin22x?cos2x?sec2x?tan2x
?cos0???这些统称为1的代换) 常数 “1”的种种代换有着广
泛的应用．（还有同角关系公式：商的关系，倒数关系，平方关系；
诱导公试：奇变偶不变，符号看象限）
24、在三角的恒等变形中，要特别注意角的各种变换．（如??(???)??,??(???)??,
???2????????????????等）
2??2??25、你还记得三角化简题的要求是什么吗？项数最少、函数种类最少、分母不含三角函数、且能求出值
的式子，一定要算出值来）
26、你还记得三角化简的通性通法吗？（切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊角. 异角化同
22
角，异名化同名，高次化低次）；你还记得降幂公式吗？cosx=(1+cos2x)/2;sinx=(1-cos2x)/2 27、你还记得某些特殊角的三角函数值吗？
（sin15??cos75??6?42,sin75??cos15??6?42,sin18??12lr)
5?14）
28、你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗？(l??r,S扇形?29、 辅助角公式：asinx?bcosx?角的值由tan??ba22b 的符号确定，?a?bsin?x???(其中?角所在的象限由a,
确定)在求最值、化简时起着重要作用.
30、三角函数（正弦、余弦、正切）图象的草图能迅速画出吗？能写出他们的单调区、对称轴，取最值
时的x值的集合吗？（别忘了k?Z）
三角函数性质要记牢。函数y=Asin(??x??)?k的图象及性质：
振幅|A|，周期T=
2??, 若x=x0为此函数的对称轴，则x0是使y取到最值的点，反之亦然，使y取到
最值的x的集合为 ， 当??0,A?0时函数的增区间为 ，减区间为 ；当??0时要利用诱导公式将?变为大于零后再用上面的结论。
?3?,2? 求出x与y，依点?x,y?作图 五点作图法：令?x??依次为0,?,2231、三角函数图像变换还记得吗？
?平移公（1）如果点 P（x，y）按向量a??h,k? 平移至P′（x′，y′），则
'??x?x?h, ?'??y?y?k.（2） 曲线f（x，y）=0沿向量a??h,k?平移后的方程为f（x-h，y-k）=0
32、有关斜三角形的几个结论：(1) 正弦定理: (2) 余弦定理: (3)面积公式
33、在用三角函数表示直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时，你是否注意到它们各自的取值范围
及意义？
???? ①异面直线所成的角、直线与平面所成的角、向量的夹角的取值范围依次是?0,?,[0,],[0,?].
?2?2? 15