第一章
1-4、试写出各向异性介质在球坐标系(r、?、?)中的非稳态导热方程，已知坐标为导热系数主轴。
解：球坐标微元控制体如图所示：
热流密度矢量和傅里叶定律通用表达式为：
?T?1?T?1?T?q??k?T??kri?k?j?k?k （1-1）
?rr??rsin???''根据能量守恒：Ein?Eg?Eout?Est
??q??q??qr?T2?dr?d??d??qr2sin?drd?d???cprsin?drd?d? （1-2） ?r?????t????导热速率可根据傅里叶定律计算：
qr??kr?Trd??rsin?d? ?tk?Tq????dr?rsin?d? （1-3）
r??q????Tdr?rd?
rsin???k?将上述式子代入（1-4-3）可得到
k??T?k??T??T(kr?r2)dr?d??sin?d??(sin?)dr?d??rd??(?)dr?rd??d??r?r??r????rsin?????T2?qr2sin?drd?d???cprsin?drd?d?(1?5)?t对于各向异性材料，化简整理后可得到：
k?k?kr?2?T??T?2T??T （1-6） (r)?(sin?)??q??cp22222r?r?rrsin?????rsin????t第二章
2-3、一长方柱体的上下表面(x=0，x=δ)的温度分别保持为t1和t2，两侧面(y??L)向温度为t1的周围介质散热，表面传热系数为h。试用分离变量法求解长方柱体中的稳态温度场。
解：根据题意画出示意图：
（1）设??t?tf,?1?t1?tf,?2?t2?tf，根据题意写出下列方程组
??2??2??2?0?2?x?y?x?0???1??x?????2????y?0?0??y????h??0?y?L??y?（2-1）
解上述方程可以把θ分解成两部分?I和??两部分分别求解，然后运用叠加原理???I???得出最终温度场，一下为分解的?I和??两部分：
??2?I?2?I?2?0?2?x?y?x?0?I??1?? x???I??2???I?y?0?0??y????y?L?I?h?I?0?y?（2）首先求解温度场?I
??2???2????0?22?x?y?x?0??????? ?x?????0?????y?0?0??y????y?L???h???0??y?用分离变量法假设所求的温度分布?I(x,y)可以表示成一个x的函数和一个y的函数的乘积，即
?I(x,y)?X1(x)Y1(y) （2-2）
d2X1d2Y1X1''Y1''2将上式代入?I的导热微分方程中，得到，即，上式Y?X?0????1122dxdyX1Y1等号左边是x的函数，右边是y的函数，只有他们都等于一个常数时才可能成立，记这个常数为?。由此得到一个待定常数的两个常微分方程
2d2X12 ??X1?02dx解得
d2Y12??Y1?0 （2-3） 2dy X1(x)?Ach(?x)?Bsh(?x) （2-4） Y1(y)?Ccos(?y)?Dsin(?y) （2-5） 把边界条件y?0,??I?0代入（2-3-4）得到A=0，所以有 ?y X1(x)?Bsh(?x) （2-6） 把边界条件y?L,??I?0代入（2-3-5）得到D=0，所以有 ?y Y1(y)?Ccos(?y) （2-7） 把边界条件y?L,???I?h?I?0联立（2-3-7）得到 ?y cot(?L)??LhL/? （2-8）
设?L??,hL/??Bi，则有cot(?)??/Bi，这个方程有无穷多个解，即常数β有无穷多个值，即?n(n?1,2,3?)，所以对应无穷多个?，即?n(n?1,2,3?)，所以有 Y1(y)?Cncos(?ny) （2-9） 联立（2-3-6）可得
?I(x,y)??Kncos(?ny)sh(?nx) （2-10）
n?1?把边界条件x??,?I??2代入上式可得 解得
Kn?其中?n??nL
?L0?2cos(?ny)dy??Knsh(?n?)cos2(?ny)dy （2-11）
0L2?2sin(?n) （2-12）
sh(?n?/L)[sin(?n)cos(?n)??n]?I(x,y)??2?2sin?(n)??cos(ny)sh(nx) （2-13）
nn()cos?(n)??n]LLn?1sh(?n?/L)[si??（3）求解温度场??
与解?I一样用分离变量法，假设所求温度分布??(x,y)可以表示成一个x的函数和一个y的函数的乘积
??(x,y)?X2(x)Y2(x) （2-14）
''d2X2d2Y2X2Y2''将该式子代入??的导热微分方程中得到Y2?2X2?0，即????2，由2dxdyX2Y2此可得到两个常微分方程
d2X2??X2?0 （2-15）
dx2d2Y22 ??Y2?0 （2-16） 2dy解式（2-3-15）时根据x的边界条件可以把解的形式写为
X2(x)?Ach[?(??x)]?Bsh[?(??x)] （2-17） 把边界条件x??,???0代入上式，得到A=0，所以有
X2(x)?Bsh[?(??x)] （2-18） 其中?nL??n,cot(?n)??n/Bi
?I(x,y)??kncos(?ny)sh[?n(??x)] （2-19）
n?1?把边界条件x?0,????1代入上式可得
?L0'?1cos(?ny)dy??Knsh[?n(??x)]cos2(?ny)dy （2-20）
0'L Kn??2?1sin(?n) （2-21）
sh(?n?/L)[sin(?n)cos(?n)??n]
??(x,y)??2?1sin(?n)??cos(ny)sh[n(??x)] （2-22）
?n)cos(?n)??n]LLn?1sh(?n?/L)[sin(（4）最终求得稳态温度场
?(x,y)??I(x,y)???(x,y)
?????2?2sin(?n)??cos(ny)sh(nx)?LLn?1sh(?n?/L)[sin(?n)cos(?n)??n]?
2?1sin(?n)??cos(ny)sh[n(??x)]LLn?1sh(?n?/L)[sin(?n)cos(?n)??n]
2-5、地热换热器是管中流动的流体与周围土地之间的换热，可应用于热能的储存、地源热泵等工程实际。一种布置方式是把管子埋设在垂直于地面的钻孔中。由于管子的长度远大于钻孔的直径，可把管子的散热简化为一个有限长度的线热源。当运行的时间足够长以后，系统可以达到基本稳定的状态。设土地是均匀的半无限大介质，线热源单位长度的发热量为ql，地表面的温度均匀，维持为t0。使用虚拟热源法求解土地中的稳态温度场。
解：根据题意画出示意图如下：