设有限长热源长度为H，单位长度热源发热量为ql，电源强度为ql?dz0(w)，设地面温度维持恒定温度t0,??t?t0。
（1）求解点热源dz0产生的温度场
有限长线热源在某点产生的温度可以看做是许多点源在该点产生的温度场的叠加，因此我们先来看下无限大介质中点源产生的温度场，这是一个球坐标系中的无内热源的稳态导热问题，其导热微分方程为：
解微分方程可得
??c2?1d2d?(r)?0 （3-1） 2rdrdrc1 （3-2） r把边界条件r??,??0代入上式得到c2?0，所以有
???c1 （3-3） r在球坐标系点热源dz0单位时间内的发热量等于它在任意球面上产生的热流量Q，即 Q???所以得到c1?d?4?r2??4??c1?qldz0 （3-4） dr?qldz0 4??由此可得到球坐标系中点热源dz0产生的温度场为 ??*ql1dz0 （3-5） 4??r（2）分别求出两个线热源产生的温度场
线热源产生的温度场可以看作是点热源产生的温度场的叠加，因此有 地下有限长线热源产生的温度场 ?1?对称的虚拟热源产生的温度场为 ?2??H0ql1dz0 （3-6） 4??r?ql1dz0 （3-7） 4??r?0?H（3）虚拟热源法求解的地热换热器产生的温度场
0?q1ql1ldz0??dz004??r?H4??r?qlH?11??dz0 （3-8） ???222204?????(z?z0)??(z?z0)??????H?H?z?(H?z)2??2ql?ln?4???H?z?(H?z)2??2?z2??2?z??22z???z??第三章
3-1、用热电偶测量呈简谐波周期变化的气流温度，热电偶的感温节点可看作直径为1mm的圆球，其材料的密度为8900kg/m3，比热容为390J/(Kg?K)，测温记录最高和最低温度分别为130℃和124℃，周期为20s。若已知气流与热电偶间的对流换热的表面传热系数为20W/(m2?K)，试确定气流的真实温度变化范围。
解：气流温度按简谐波变化时，热电偶的温度响应为 式中B??*?Bcos(w???) （4-1）
Af1?w?22r???arctan(w?r)
2?2???cv8900?390?1?10?3????28.925s，按题目要求w?，?r?T2010hA6?20h?20w/(m2?k)，根据题目提供的热电偶测量的最高温度、最低温度，求出热电偶测量的
温度变化的振幅如下式
Af1?w2?r2?130?124?3 （4-2） 2把w,?r的数据代入上式中得到气流温度变化的振幅Af?27.4，所以真实气体温度变化的最大值、最小值为
tmax? tmin
130?124?27.4?154.40C （4-3） 2130?124??27.4?99.60C （4-4）
23-6、已知初始温度均匀的无限大介质中由连续恒定发热的线热源所引起的温度
?ql?r2t(r,?)?Ei()4??4a?场由式子确定。若线热源的加热不是连续的而是间歇的，即
从??0的时刻起，线热源进行周期性的间歇加热，周期为T，其中加热的时段为T1，其余的T-T1时间不加热。试利用线性叠加原理确定介质中的温度响应。
解：无限大介质连续恒定发热的线热源引起的温度场：
qi?r2Ei() （5-1） t(r,?)?t???4??4a?eudu 其中：Ei(z)????uz对于随时间变化的热流可以用一系列连续的矩形脉冲热流来近似如图所示：
由叠加原理得到?时刻的温度变化为：
r2 t?t????(qli?qli?1)Ei[?],(ql0?0) （5-2）
4??4a(???)i?1i?1n1对于间歇性的脉冲，令C?Tl/T为运行份额，如果在整个运行期间的平均热负荷为ql，则脉冲加热的强度为ql/C，具体见下图：
由叠加原理得到：
?qlql?r2?r2t?t????Ei[]???Ei[]4??4a(??nT)4??4a(??nT?T)n?0n?0l???????r???rE?E??i?i????4??Cn?0??4a(??nT?Tl?4a(??nT)???ql?22 （5-3）
即温度响应为
???r2??4??(t?t?)1????r2?????Ei???Ei??? （5-4）
Cn?0??4a(??nT?Tl?4a(??nT)ql???
第四章 4-1、处在x>0的半无限大空间内的一固体，初始温度为溶解温度tm。当时间??0时，在x=0的边界上受到一个恒定的热流q0的作用。使用积分近似解得方法确定固液界面位置随时间变化的关系式。温度分布按二次多项式近似。
解：设过余温度??t?tm，边界条件为 x?0??0,q0???d? （6-1） dx x?x(?)??0,??0 （6-2） 热平衡方程为 ?d?dx??LdX(?)d?,x?X(?),??0 其中L是潜热，a??/?L
用二次多项式近似固相区中的温度分布，设
?(x,?)?A(x?X)?B(x?X)2 由边界条件（6-1）可知，x?0,d?dx?A?2B(x?X)，则 q0???[A?2B(x?X)2]???(A?2BX) 由边界条件（6-2）变形，
dd??[X(?),?]??????X????X??，代入（6-3）式可得 a?2????2?x2??L(?x)?0 将（6-4）代入上式得到
??LA2?2aB?0 联立（6-5）和（6-7）两个式子，可解得
A??L?a22????4aq0?a?? ?X2?LXX??将（6-4）代入（6-3）得到
?[A?2B(x?X)]??LdXd? 其中x?X(?)，所以有?A??LdXd?，代入A的值即得 1?a22???4aq0?a???dX ?X2?LXX? ?d?变形可得到
6-3） 6-4）
6-5） 6-6）
6-7） 6-8） 6-9） 6-10） （ （ （ （ （ （ （ （
d??2XdX?4aq0a2??a?L2X(a2?4aq0X?a)?L （6-11）
dX4aq0?X?L积分可得到
?2aq0?L24aq03/2??aX?(a?) （6-12） ?L6aq0?LX化简整理可得界面随时间的变化方程为
2aq024aq03?2L22 (aX??)?(a?) （6-13） 22?L36aq0?LX
第六章
6-4、常物性流体在两无限大平板之间作稳态层流运动，下板静止不动，上板在外力作用下以恒定速度U运动，试推导连续性方程和动量方程。
解：按照题意可以写出
v?0,故连续性方程为
可以简化为
?v?v??0 （7-1） ?y?x?u?v??0 （7-2） ?x?y?u?0 （7-3） ?x因流体是常物性，不可压缩，N—S方程为 X方向上：
?u?uFx1?P?2u?2u u?v????(2?2) （7-4）
?x?y???y?x?y简化为
?P?2u Fx???2?0 （7-5）
?x?yY方向上：
?v?vFy1?P?2v?2v u?v????(2?2) （7-6）
?x?y???y?x?y可简化为
Fy??P?0 （7-7） ?y