开环系统频率特性曲线的绘制方法
(一) 已知系统开环传递函数Gk(s)，绘制Nyquist曲线（开环幅相曲线） 一、ω：0＋→＋∞
1、由已知的Gk(s)求Gk(j?)?Gk(s)s?j?，A(ω)，φ(ω) ，P(ω)，Q (ω)；
22???(1?j?Tj)?[(1?2)?j2?k]?(1?j?Tj)?[(1?2)?j2?k?]??kj?k?k?kjkk112211112222m11m21m12m22Gk(j?)?k(j?)v?(1?j?T)?[(1???i1i1l1n11n2122l1)?j2?l1?]?(1?j?Ti2)?[(1??2)?j2?l2?]n12i2n22l22 （1）
?l1?l2?l2式中：分子多项式中最小相位环节的阶次和为m1?m11?2m21，
分子多项式中非最小相位环节的阶次和为m2?m12?2m22， 分母多项式中最小相位环节的阶次和为n1?n11?2n21?v， 分母多项式中非最小相位环节的阶次和为n2?n12?2n22，
分子多项式阶次之和为m?m1?m2，分母多项式阶次之和为n?n1?n2。 注：式中仅包含教材p192所列5种非最小相位环节，不包含形如Ts?1、
1、1、2Ts?1s?2?s?12?n?n?ns2?2?s?1等非最小相位环节。 2?n2、求N氏曲线的起点
当ω→0＋时，（1）式可近似为：
??0?limGk(j?)?k(j?)v （2）
于是，N氏曲线的起点取决于开环放大系数k和系统的型v。
① 当v?0时，N氏曲线起始于实轴上的一点（k，0）或（－k，0）； ② 当v?0时，N氏曲线起始于无穷远点：
k?0时，沿着角度?(?)??v??起始于无穷远点；
2 k?0时，沿着角度?(?)????v??起始于无穷远点。
2③ 当v?0时，N氏曲线起始于原点：
k?0时，沿着角度?(?)?v??起始于原点；
2 k?0时，沿着角度?(?)????v??起始于原点。
23、求N氏曲线的终点
当ω→＋∞时，（1）式中各环节的相角分别为：
(1?j?T)环节的相频特性：tg?1?T??，
12
1
Q(?))???， (1?j?T)环节的相频特性：tg?1??T(1P(?)22[(1??2)?j2??]环节的相频特性：tg?1?n?n?n?nQ(?)?1?tg()??， 2?P(?)1?21??2??n?n?2???2?12??2?12?n?nQ(?)?1??tg()???， [(1?2)?j2??]环节的相频特性：tg?12?n?P(?)1?n??21?2??n?n?k?0, ?(?)?0?环节的相频特性：?v?，K环节的相频特性：?。
2(j?)vk?0,?(?)????1于是，当ω→＋∞时，
① n?m，limGk(j?)?k，N氏曲线终止于实轴上的一点（k，0）或（－k，0）
????② n?m，N氏曲线终止于原点；
③ n?m，N氏曲线终止于无穷远点。 其终点的相频特性为：
?(?)?k的相角＋m11???m21???m12?(??)?m22?(??)22 ?v???n11???n21???n12?(??)?n22?(??)2222 =k的相角＋m1???m2???n1???n2??2222?[(m?m)?(n?n)]??, k?0212?12 =??[(m1?m2)?(n1?n2)]????, k?0?2 （3)
特殊地，当开环系统为最小相位系统时，有：k?0，m12?m22?n12?n22?0，则分子的阶次为
m?m1?m11?2m21，分母的阶次为n?n1?n11?2n21?v。
① n?m，N氏曲线终止于实轴上的一点（k，0）；
② n?m，N氏曲线沿着角度?(?)??(n?m)??终止于原点；
2③ n?m，N氏曲线沿着角度?(?)?(m?n)??终止于无穷远点。
24、求ω：0＋→＋∞中的一些特色点：如N氏曲线与实轴或虚轴的交点；极值点等等。 5、若开环系统存在等幅振荡环节，即开环频率特性（1）式中具有形如
1(1??2)2的因子时（无论最小相
?n位系统还是非最小相位系统），N氏曲线在ωn处有无穷远间断点（A(ω)→∞），即N氏曲线为由ω：0＋
→ωn-和ω：ωn＋→＋∞两段曲线所组成。
G2(j?)?1(1??2)2环节在???n处的相频特性为：
?n 2
??10(Q(0))?0?tg2?P(?)?n1?2???n? lim?2(?)??tg?102?????n1??2??tg?10(Q(0))???2?n?P(?)?n?1?2??n? 设当???n时，（1）式中除
2?(1?2)?n1环节外，G1(jω)不含???j?n的开环极点，也即：
A1(?)??1(?)???n????1(?n), ???n? （4） Gk(j?)?G1(j?)G2(j?)????22??[?(?)??], ?????1nn??(1?2)(1?2)G1(j?)?n?n
二、ω：－∞→0－
因为幅频特性是关于ω的偶函数，而相频特性是关于ω的奇函数，所以ω：－∞→0－的幅相曲线与ω：0＋→＋∞的幅相曲线关于实轴成镜像对称。
三、ω： 0－→0＋
对于（1）式，当ω→0－时，有：limGk(j?)???0?k (?j?)v① 当v?0时，N氏曲线为实轴上的一点（k，0）或（－k，0）； ② 当v?0时，N氏曲线起始于无穷远点：
k?0时，沿着角度?(?)?v??起始于无穷远点；
2 k?0时，沿着角度?(?)????v??起始于无穷远点。
2③ 当v?0时，N氏曲线起始于原点：
k?0时，沿着角度?(?)??v??起始于原点；
2 k?0时，沿着角度?(?)????v??起始于原点。
2于是，对于（1）式系统：
1、 当v?0，ω从0－→0＋的N氏曲线为实轴上同一点（k，0）或（－k，0）； 2、 当v?0，
k?0时，ω从0－→0＋的N氏曲线为半径为∞、角度从v??→?v??的2v?1?v个圆。
2242k?0时，ω从0－→0＋的N氏曲线为半径为∞、角度从???v??→???v??的2v?1?v2242个圆。
3、当v?0，
k?0时，ω从0－→0＋的N氏曲线分别沿角度?v??、v??趋于原点。
22k?0时，ω从0－→0＋的N氏曲线分别沿角度???v??、???v??趋于原点。
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3
(二) 已知系统开环传递函数Gk(s)，绘制Bode图（开环对数频率特性曲线） 一、迭加法
1、由已知的Gk(s)求Gk(j?)?Gk(s)s?j?，A(ω)，φ(ω)；
Gk(j?)如（1）式所示，
A(?)?kv??i?1j?1n1m11??Tj22?k?1n2l?1m1m22?(1?2)2?(2?k?)2?k?k2?1??2Ti2?(1??2)2?(2?l?)2 （4）
?l?ln1L(?)?20lgA(?)?20lgk?v?20lg???20lg1??Tj??20lg1??2Ti222j?1i?1 ??20lg(1??2)2?(2?k?)2??20lg(1??2)2?(2?l?)2k?1m22n22 （5）
?k?kl?1?l?l?(?)?k的相角+?tgj1?1m11?1?Tj11??tgk1?1m21?12?k1??k??Tj?k?1?1??tg??tg221??j?1k?11?21?2?k?km12m22122212112222122?2?k2?22?l?n?2?l?nnn?Ti?l??Ti?l?1?1 ?v????tg?1??tg?1?tg?tg??222i?11l?11??i?1l?11?21?2?l?l11211112212 （6）
2、在对数坐标上，先作出各基本因子对应的典型环节的对数幅频特性和相频特性；再逐点相加，即可得到系统的开环对数频率特性曲线。
二、实用法（以分段直线近似代替实际曲线）
实际绘制Bode曲线时，可不必分别画出各环节的特性曲线再相加，而是按以下步骤一次完成（用分段直线近似代替实际曲线） 1、 确定k值，v值和各个交接频率
?j? 根据（1）式，将各转折频率（交接频率）：
11111?i1?，， ?k1， ?j2?， ?k2， ?l1， ?i2?，
Tj1Tj2Ti1Ti2?l按从小到大的顺序依次标注在频率轴上。
22、 绘制系统对数幅频特性的低频渐近线 lim20lgA(?)?lim20lg L低(?)???0??0k(j?)v?lim20lg??0k?v?20lgk?v20lg? （7）
（7）式为斜率等于?20?vdB/dec，过当??1、L(?)?20lgk一点（即过点（1，20lgk））的直线方程； 或为斜率等于?20?vdB/dec，过L低(?)?0、??k一点（即过点（k，0））的直线方程。
3、 以低频渐近线作为近似分段直线的第一段，从低频段开始，沿频率增大的方向，每遇到一个交接频率改变一次分段直线的斜率
当遇到?j?11v1v11、?j2?时，斜率变化为?20dB/dec； Tj1Tj22当遇到?k、?k时，斜率变化为?40dB/dec；
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当遇到?i?111、?i2?时，斜率变化为?20dB/dec； Ti1Ti22当遇到?l、?l时，斜率变化为?40dB/dec；
1依次绘出分段直线，即可获得系统开环对数幅频特性曲线的近似表示。
也可利用典型环节修正的方法对分段直线进行误差修正，得到准确的对数幅频特性曲线。修正时应考虑相邻各环节的互相影响。
4、 分段直线的最后一段是开环对数幅频特性的高频渐近线
斜率为：?20(n?m)dB/dec；该斜率用来验证1～3步绘制曲线的正确与否。
5、 对数相频特性也可利用典型环节的各对数相频特性曲线相加得到；或者直接利用相频特性表达式（6）进行计算。
（三）已知系统的Bode图（开环对数频率特性曲线），求系统开环传递函数 1. 假设系统为最小相位系统。
2. 根据已知的对数幅频特性曲线（或其渐近线），确定其传递函数。
mm?2??22?k?(1?j?Tj)?(1?2?j2?k)k?(Tjs?1)?(2s?2?ks?1)????j?1k?1j?1k?1kkkkG(j?)?G(s)?， nnnn?2??22?vv(j?)?(1?j?Ti)?(1?2?j2?l)s?(Tis?1)?(2s?2?ls?1)?l?l?li?1l?1i?1l?1?l121212m1m2式中各环节转折频率及相应的时间常数等参数可从已知的对数幅频特性曲线（渐近线）上直接确定，而系统的型v和开环放大系数k均由对数幅频特性曲线的低频段来确定：
L低(?)?lim20lg??0k(j?)v?lim20lg??0k?v?20lgk?v20lg?
① 如果开环对数幅频特性曲线的低频段是平行于ω轴的水平线（如下图），则系统为0型系统（v?0）
20lgk
设水平线高度为x, 则x?20lgk?0?20lg?，可确定开环放大系数k?10
② 如果开环对数幅频特性曲线的低频段是斜率为?20dB/dec的直线，则系统为1型系统（v?1）
?20dB/dec20lgkvw?1x20?20dB/dec20lgkvw?kvw?1w?kv
L低(?)?20lgk?20lg?
a. 设开环对数幅频特性曲线的低频渐近线或其延长线与0dB线交点的频率为?c， 则k??c，（此时L(?c)?0,20lgk?20lg?c）
b. 设开环对数幅频特性曲线的低频渐近线或其延长线与??1垂直线交点上的幅值为x,
则k?10（此时L(1)?x,x?20lgk?20lg1?20lgk）
5
x20③ 如果开环对数幅频特性曲线的低频段是斜率为?40dB/dec的直线，则系统为2型系统（v?2）
L低(?)?20lgk?40lg?
?40dB/dec?40dB/dec20lgk?20lgk?w?1w?1wc?k?wc?k?
a. 设开环对数幅频特性曲线的低频渐近线或其延长线与0dB线交点的频率为?c， 则k??c2，（此时L(?c)?0,20lgk?40lg?c）
b. 设开环对数幅频特性曲线的低频渐近线或其延长线与??1垂直线交点上的幅值为x,
则k?10（此时L(1)?x,x?20lgk?40lg1?20lgk）
3. 求出相频特性的表达式，并作出相频特性曲线。将此相频特性曲线与由实测数据绘出的相频特性曲线比较，若两者能较好地吻合，且高频时，它们的相角都趋于?90(n?m)，则说明该系统确实是最小相位系统。否则，说明该系统为非最小相位系统（还需依据有关条件对传递函数中的有关环节重新确定）。
注：1. 工程中，有时需要用实验的方法来确定系统的传递函数，一般可以分为两步来完成：首先通过实验测得系统的频率特性，并画出系统的波德图；然后，根据波德图确定系统的传递函数。
2.由实验数据得到的往往是闭环系统的波德图，对应求出的也就是闭环传递函数。若获得的是
开环频率特性，则求出的是开环传递函数。
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