第四章 符号秩和检验法
§4.1 对称中心为原点的检验问题
设对称中心为?，则原假设与备择假设分别为：
H0:??0H0:??0H0:??0H1:??0 H1:??0 H1:??0
?1xi?0ui??
0其它?引入符号检验统计量为：
S??ui,?i?1n将x1,x2,??xn排序。设量为：W??uiRi
?i?1nxi的秩为Ri,i?1,2,?,n. 引入符号秩和检验统计
表4.1 10个观察值和它们的符号，绝对值和绝对值的秩
观察值 符号 绝对值 绝对值的秩 -7.6 ? 7.6 9 -5.5 ? 5.5 7 4.3 ? 2.7 ? -4.8 ? 4.8 6 2.1 ? -1.2 ? 1.2 1 -6.6 ? 6.6 8 -3.3 ? 3.3 4 -8.5 ? 8.5 10 4.3 5 2.7 3 2.1 2 S??3 ,W??5?3?2
下面讨论符号秩和检验的检验方法，原假设与备择假设为：
H0:??0如果?H1:??0
11P(X?0)?P(X??)?,P(X?0)?P(X??)??0，则
22对于任意的正数a，
P(X?a)?P(X???(a??))?P(X???(a??))?P(X??a?2?)?P(X??a)
即P(X?a)?P(X??a),?a?0
?a ?a
此时W?较大，C为检验的临界值为
c?inf{c*:P(W??c*)??}.
原假设与备择假设为：
H0:??0H1:??0
此时P(X?a)?P(X??a),?a?0 此时W?较小，d为检验的临界值为
d?sup{d*:P(W??d*)??}.
原假设与备择假设为：
H0:??0H1:??0
我们在W?较大或者较小的时候拒绝原假设，检验的临界值c，c?inf{c*:P(W??c*)??2}.
d为
d?sup{d:P(W?d)?
*?*?2}.
§4.2 符号秩和检验统计量W的性质
?性质4.1 令S??iui，则在总体的分布关于原点0对称时，W与S同分布：
i?1n? W?S
表4.1 10个观察值和它们的符号，绝对值和绝对值的秩
观察值 符号 绝对值 绝对值的秩 ?d-7.6 ? 7.6 9 -5.5 ? 5.5 7 ?n4.3 ? 2.7 ? -4.8 ? 4.8 6 2.1 ? -1.2 ? 1.2 1 -6.6 ? 6.6 8 -3.3 ? 3.3 4 -8.5 ? 8.5 10 4.3 5 2.7 3 2.1 2 W??uiRi?5?3?2?10
i?1表4.3 10个观察值和它们的符号，绝对值和绝对值的秩
观察值 符号 绝对值 绝对值的秩 -1.2 ? 1.2 9 2.1 ? 2.7 ? -3.3 ? 3.3 3 4.3 ? -4.8 ? 4.8 2 n-5.5 ? 5.5 1 -6.6 ? 6.6 8 -7.6 ? 7.6 4 -8.5 ? 8.5 10 2.1 7 n2.7 5 4.3 6 ? S??iui?2?3?5?10,W??uiRi
i?1i?1这样就初步说明了性质4.1
W?的概率分布，在总体X关于原点0分布时，u1,u2,?,un相互独立，同分布，
n1且P(ui?0)?P(ui?1)?,i?1,2,?,n.所以S??iui是离散的分布，它的取值
2i?1范围是0,1,2,?,n(n?1)2,，且
P(S?d)?P(?iui?d)?tn(d)2n,d?0,1,2,?,n(n?1)2,（4.1）
i?1n其中tn(d)表示从1,2,?,n.中取若干个，其和恰好为d的取法数， 例如：tn(0)?tn(1)?tn(2)?1。tn(3)?tn(4)?2，tn(5)?3，tn(6)?4.
性质4.2 在总体的分布关于原点0对称时，W与S同分布：所以W的分布
nP(W?d)?P(uR?d)?t(d)2,d?0,1,2,?,n(n?1)2,（4.2） ?iin?i?1n???? P(W?d)?P(W?n(n?1)2?d),d?1,2,?,n(n?1)2. ??于是 P(W?d)?P(W?n(n?1)2?d),(4.3)
这说明W的密度是以中心对称的。
性质4.3 在总体的分布关于原点0对称时，W的分布的对称中心为：
例4.1 有12个工人，每个工人用两种生产方式完成一项生产任务，所用时间对比如下表所示：
??n(n?1) 4
表4.4 用两种方式完成一项生产任务的完工时间及其差值
工人 方式1 方式2 1 2 3 4 5 6
xi yi 差值 di?xi?yi 工人 方式1 方式2 差值 7 8 9 10 11 12 xi 16.1 18.5 21.9 24.2 23.4 25.0 yi di?xi?yi 20.3 23.5 22.0 19.1 21.0 24.7 18.0 21.7 22.5 17.0 21.2 24.8 2.3 1.8 -0.5 2.1 -0.2 -0.1 17.2 14.9 20.0 21.1 22.7 23.7 -1.1 3.6 1.9 3.1 0.7 1.3 表4.5 差值的符号，绝对值及绝对值的秩
工人 差值 符号 差的绝对值 绝对值的秩 工人 差值 符号 1 2 3 4 5 6 2.3 1.8 -0.5 2.1 -0.2 -0.1 ? ? ? 2.3 1.8 0.5 2.1 0.2 0.1 10 7 3 9 2 1 7 8 9 10 11 12 -1.1 3.6 1.9 3.1 0.7 1.3 ? 差的绝对值 绝对值的秩 1.1 3.6 1.9 3.1 0.7 1.3 5 12 8 11 4 6 ? ? ? ? ? ? ? ? 符号秩和统计量
?W?10?7?9?12?8?11?4?6?67
原假设与备择假设为
H0:??0
H1:??0