1992年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.)
(1) 设商品的需求函数为Q?100?5P,其中Q,P分别表示为需求量和价格,如果商品需
求弹性的绝对值大于1,则商品价格的取值范围是_________.
(x?2)2n(2) 级数?的收敛域为_________. nn4n?1?(3) 交换积分次序
?dy?012?y2yf(x,y)dx?_________.
(4) 设A为m阶方阵,B为n阶方阵,且A?a,B?b,C???0?BA??,则C?________. 0?(5) 将C,C,E,E,I,N,S等七个字母随机地排成一行,那么,恰好排成英文单词SCIENCE的
概率为__________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
x2xf(t)dt,其中f(x)为连续函数,则limF(x)等于 ( ) (1) 设F(x)?x?ax?a?a(A) a (B) af(a)
(C) 0 (D) 不存在
(2) 当x?0时,下面四个无穷小量中,哪一个是比其他三个更高阶的无穷小量? ( )
(A) x (B) 1?cosx (C) 1?x2?1 (D) x?tanx
(3) 设A为m?n矩阵,齐次线性方程组Ax?0仅有零解的充分条件是 ( )
(A) A的列向量线性无关 (B) A的列向量线性相关 (C) A的行向量线性无关 (D) A的行向量线性相关
(4) 设当事件A与B同时发生时,事件C必发生,则 ( )
(A) P(C)?P(A)?P(B)?1 (B) P(C)?P(A)?P(B)?1 (C) P(C)?P(AB) (D) P(C)?P(A?B)
2221n(5) 设n个随机变量X1,X2,?,Xn独立同分布,D(X1)??,X??Xi,
ni?12
1nS?(Xi?X)2,则 ( ) ?n?1i?12(A) S是?的无偏估计量 (B) S是?的最大似然估计量 (C) S是?的相合估计量(即一致估计量) (D) S与X相互独立
三、(本题满分5分)
?lncos(x?1),x?1,???设函数f(x)??1?sinx问函数f(x)在x?1处是否连续?若不连续,修
2?1,x?1.??改函数在x?1处的定义使之连续.
四、(本题满分5分)
arccotexdx. 计算I??ex
五、(本题满分5分)
x?2z设z?sin(xy)??(x,),求,其中?(u,v)有二阶偏导数.
y?x?y
六、(本题满分5分)
求连续函数f(x),使它满足f(x)?2
七、(本题满分6分)
求证:当x?1时,arctanx?
八、(本题满分9分)
设曲线方程y?e(x?0).
?x(1) 把曲线y?e,x轴,y轴和直线x??(??0)所围成平面图形绕x轴旋转一周,
?x?x0f(t)dt?x2.
12x?arccos?. 221?x4得一旋转体,求此旋转体体积V(?);求满足V(a)?1limV(?)的a. 2????(2) 在此曲线上找一点,使过该点的切线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最大,并求出该面积.
九、(本题满分7分)
设矩阵A与B相似,其中
??200???100??,B??020?.
A??2x2???????311???00y??(1) 求x和y的值.
(2) 求可逆矩阵P,使得PAP?B.
十、(本题满分6分)
已知三阶矩阵B?0,且B的每一个列向量都是以下方程组的解:
?1?x1?2x2?2x3?0,??2x1?x2??x3?0, ?3x?x?x?0.?123(1) 求?的值; (2) 证明B?0.
十一、(本题满分6分)
?A0?A、B设分别为m、n阶正定矩阵,试判定分块矩阵C???是否是正定矩阵.
0B??十二、(本题满分7分)
假设测量的随机误差X?N(0,10),试求100次独立重复测量中,至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率?,并利用泊松分布求出?的近似值(要求小数点后取两位有效数
字). [附表]
2? e?? 1 2 3 4 5 6 7 ? 0.368 0.135 0.050 0.018 0.007 0.002 0.001 ?
十三、(本题满分5分)
一台设备由三大部分构成,在设备运转中各部件需要调整的概率相应为0.10,0.20和0.30.假设各部件的状态相互独立,以X表示同时需要调整的部件数,试求X的数学期望EX和方差DX.
十四、(本题满分4分)
设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
?e?y,0?x?y,f(x,y)??
0,其他,?
(1) 求随机变量X的密度fX(x); (2) 求概率P{X?Y?1}.
1992年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(10,20]
【解析】根据Q(P)?100?5P?0,得价格P?20,又由Q?100?5P得Q?(P)??5, 按照经济学需求弹性的定义,有
??P?Q?(P)5P??, Q(P)100?5P令
??5P5P??1,解得P?10.
100?5P100?5P所以商品价格的取值范围是(10,20]. (2)【答案】(0,4)
【解析】因题设的幂级数是缺项幂级数,故可直接用比值判别法讨论其收敛性. 首先当x?2?0即x?2时级数收敛.
当x?2时,后项比前项取绝对值求极限有
(x?2)2(n?1)n4n(x?2)2n(x?2)2lim??lim?, 2nn??(n?1)4n?1n??(x?2)4n?14(x?2)2?1,即当0?x?2?2?0?x?2或2?x?4时级数绝对收敛. 当
4?11又当x?0和x?4时得正项级数?,由p级数：?p当p?1时收敛；当p?1时发散.
n?1nn?1n?所以正项级数
1是发散的. ?nn?1?综合可得级数的收敛域是(0,4).
tn注：本题也可作换元(x?2)?t后,按如下通常求收敛半径的办法讨论幂级数?n的收
n?1n42?敛性.
?an?1【相关知识点】收敛半径的求法：如果??lim,其中an,an?1是幂级数?anxn的相邻
n??an?0n两项的系数,则这幂级数的收敛半径
?1??, 0?????,??R????, ??0,
?0, ????.???(3)【答案】
?dx?01x20f(x,y)dy??dx?122?x20f(x,y)dy
【解析】这是一个二重积分的累次积分,改换积分次序时,先表成：原式?由累次积分的内外层积分限确定积分区域D：D?{(x,y)0?y?1,即D中最低点的纵坐标y?0,最高点的纵坐标
??f(x,y)dxdy.Dy?x?2?y2},
y y?1,D的左边界的方程是x?y,即
y?x的右支,D的右边界的方程是
x?2?y即x?y?2的右半圆,
22D 22O 1 2 x 从而画出D的图形如图中的阴影部分,从图形可见D?D1?D2,且