k?y?(x0).
设切点为(a,e?a),则切线方程为y?e?a??e?a(x?a). 令x?0,得y?e?a(1?a),令y?0,得x?1?a. 由三角形面积计算公式,有切线与两个坐标轴夹的面积为S?因S??(1?a)e?a1(1?a)2e?a. 211?(1?a)2e?a?(1?a2)e?a,令S??0,得a1?1,a2??1(舍去). 22由于当a?1时,S??0；当a?1时,S??0.故当a?1时,面积S有极大值,此问题中即为最
大值.
?1故所求切点是(1,e),最大面积为 S?12?1?2?e?2e?1. 2【相关知识点】由连续曲线y?f(x)、直线x?a,x?b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得的旋转体体积为：V??
九、(本题满分7分)
【解析】因为A?B,故可用相似矩阵的性质建立方程组来求解参数x和y的值.若
?baf2(x)dx.
P?1AP??,则?是A的特征向量.求可逆矩阵P就是求A的特征向量.
(1) 因为A?B,故其特征多项式相同,即
?E?A??E?B,即
(??2)[?2?(x?1)??(x?2)]?(??1)(??2)(??y).
由于是?的多项式,由?的任意性,
令??0,得2(x?2)?2y. 令??1,得3?(?2)??2(1?y). 由上两式解出y??2与x?0.
??200???(2) 由(1)知202?????311????100??020?. ????00?2??因为B恰好是对角阵,所以马上可得出矩阵A的特征值,矩阵A的特征值是
?1??1,?2?2,?3??2.
?100??100?????当?1??1时,由(?E?A)x?0,?2?1?2?012, ???????3?1?2????000??
得到属于特征值???1的特征向量?1?(0,?2,1)T.
?400??100????? 当?2?2时,由(2E?A)x?0,?22?2?01?1, ???????3?11????000??得到属于特征值??2的特征向量?2?(0,1,1)T.
?000??111?????当?3??2时,由(?2E?A)x?0,?2?2?2?010. ???????3?1?3????000??得到属于特征值???2的特征向量?3?(1,0,?1)T.
?001????1那么令P?(?1,?2,?3)??210,有PAP?B.
????11?1??
十、(本题满分6分)
【解析】对于条件AB?0应当有两个思路：一是B的列向量是齐次方程组Ax?0的解；另一个是秩的信息即r(A)?r(B)?n.要有这两种思考问题的意识.
?12?2???(1) 方法1：令A??2?1??,对3阶矩阵A,由AB?0,B?0知必有A?0,否则A?31?1???可逆,从而B?A(AB)?A0?0,这与B?0矛盾. 故
?1?113130021?2?2A?2?1??0,
?1用行列式的等价变换,将第三列加到第二列上,再按第二列展开,有
A?2??1??5(??1)?0.
?1解出??1.
方法2：因为B?0,故B中至少有一个非零列向量.依题意,所给齐次方程组Ax?0有非零解,得系数矩阵的列向量组线性相关,于是
13以下同方法一.
(2) 反证法：对于AB?0,若B?0,则B可逆,那么A??AB?B?1?0B?1?0.与已知条件A?0矛盾.故假设不成立,B?0.
【相关知识点】对齐次线性方程组Ax?0,有定理如下:
对矩阵A按列分块,有A???1,?2,?,?n?,则Ax?0的向量形式为
21?2A?2?1??0,
?1x1?1?x2?2???xn?n?0.
那么, Ax?0有非零解 ??1,?2,?,?n线性相关
?r??1,?2,?,?n??n?r?A??n. 对矩阵B按列分块,记B?(?1,?2,?3),那么
AB?A(?1,?2,?3)?(A?1,A?2,A?3)?(0,0,0).
因而A?i?0i?(1,2,3),即?i是Ax?0的解.
十一、(本题满分6分)
【解析】在证明一个矩阵是正定矩阵时,不要忘记验证该矩阵是对称的. 方法1：定义法.
因为A、B均为正定矩阵,由正定矩阵的性质,故A?A,B?B,那么
TT?A0??ATTC??????0B??0TT0??A0?????C,即C是对称矩阵. T?B??0B?TT设m?n维列向量Z?(X,Y),其中XT?(x1,x2,?,xm),YT?(y1,y2,?,yn),
T若Z?0,则X,Y不同时为0,不妨设X?0,因为A是正定矩阵,所以XAX?0.
又因为B是正定矩阵,故对任意的n维向量Y,恒有YAY?0.于是
T?A0??X?TTZCZ?(X,Y)????XAX?YAY?0, ??0B??Y?TTT即ZCZ是正定二次型,因此C是正定矩阵.
T
方法2：用正定的充分必要条件是特征值大于0,这是证明正定时很常用的一种方法.
因为A、B均为正定矩阵,由正定矩阵的性质,故AT?A,BT?B,
?A0??ATT那么C??????0B??0T0??A0?????C,即C是对称矩阵. T?B??0B?设A的特征值是?1,?2,?,?m,B的特征值是?1,?2,?,?n.由A,B均正定,知
?i?0,?j?0(i?1,2,?,m,j?1,2,?,n).因为
?E?C??Em?A00??Em?A??En?B
?En?B?????1??????m?????1??????m?,
于是,矩阵C的特征值为?1,?2,?,?m,?1,?2,?,?n.
因为C的特征值全大于0,所以矩阵C正定.
十二、(本题满分7分) 【解析】设事件
A?“每次测量中测量误差的绝对值大于19.6”,因为 X?N(0,102),即
EX???0,DX??2?102.根据正态分布的性质则有：
?X??19.6???p?P(A)?P?X?19.6??P???
?????|X?0|19.6?0??|X|??P???1.96? ??P?10??10?10?X???1?P??1.96??1.96??1???(1.96)??(?1.96)?
10???1?[?(1.96)?(1??(1.96))]?2?2?(1.96) ?2[(1??(1.96)]?0.05.
设Y为100次独立重复测量中事件A出现的次数,则Y服从参数为n?100,p?0.05的二项分布.根据二项分布的定义,P?Y?k??Cnp(1?p)kkn?k(k?0,1,2?),则至少有三
次测量误差的绝对值大于19.6的概率?为：
??P{Y?3}?1?P{Y?3}?1?P{Y?0}?P{Y?1}?P{Y?2}
012?1?C1000.050(1?0.05)100?C1000.051(1?0.05)100?1?C1000.052(1?0.05)100?2
?1?0.95100?100?0.9599?0.05?100?99?0.9598?0.052. 2根据泊松定理,对于成功率为p的n重伯努利试验,只要独立重复试验的次数n充分大,而p相当小(一般要求n?100,p?0.1),则其成功次数可以认为近似服从参数为的泊松分布,具体应用模式为若Y?B(n,p),则当n充分大,p相当小时当Y近似服从参数为??np的泊松分布,即 P?Y?k??Cp(1?p)knkn?k(np)k?np?e(k?0,1,2?).
k!设Y为100次独立重复测量中事件A出现的次数,则Y服从参数为n?100,p?0.05的二项分布.故
??P{Y?3}?1?P{Y?3}?1?P{Y?0}?P{Y?1}?P{Y?2}
(?)0??(?)1??(?)2???2???????1?e?e?e?1?e??e?e
0!1!2!252?1?e(1?5?)?0.87.
2?5
十三、(本题满分5分) 【解析】令随机变量
?1,第i个部件需调整，i?1,2,3. Xi??0,第i个部件不需调整，?依题意X1,X2,X3相互独立,且X1,X2,X3分别服从参数为0.1,0.2,0.3的0?1分布,即
X1 0 0.9 0 0.8 0 0.7 1 0.1 1 0.2 1 0.3 p
X2 p
X3 p 由题意知X?X1?X2?X3,显然X的所有可能取值为0,1,2,3,又X1,X2,X3相互独立, 所以
(1) P{X?0}?P{X1?X2?X3?0}?P{X1?0,X2?0,X3?0}