D1?{(x,y)0?x?1,0?y?x2},D2?{(x,y)1?x?2,0?y?2?x}.所以
2
?dy?012?y2yf(x,y)dx??dx?01x20f(x,y)dy??dx?122?x20f(x,y)dy.
(4)【答案】(?1)mnab
【解析】由拉普拉斯展开式, C?0BA?(?1)mnAB?(?1)mnab. 0【相关知识点】两种特殊的拉普拉斯展开式：设A是m阶矩阵,B是n阶矩阵,则
AOA*O??A?B, *BOBB(5)【答案】
A*Amn????1?A?B. *BO1 1260【解析】按古典概型求出基本事件总数和有利的基本事件即可.
设所求概率为P(A),易见,这是一个古典型概率的计算问题,将给出的七个字母任意排成一行,其全部的等可能排法为7!种,即基本事件总数为n?7!,而有利于事件A的样本点数为2!?2!,即有利事件的基本事件数为4,根据古典概型公式P(A)?
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(B)
【解析】方法1:limF(x)为“
x?a2!?2!1?. 7!12600”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在,0x所以可应用洛必达法则.
f(t)dtxx?2af(t)dt?alim limF(x)?lim
x?ax?ax?a?ax?ax?a2a2f(x)?lim?a2f(a). x?a1故应选(B).
方法2: 特殊值法.
x2x2dt?2a2. 取f(x)?2,则limF(x)?lim?x?ax?ax?aa显然(A),(C),(D)均不正确,故选(B).
【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：
若F(t)????(t)(t)f(x)dx,?(t),?(t)均一阶可导,则
F?(t)???(t)?f??(t)????(t)?f??(t)?.
(2)【答案】(D)
【解析】由于x?0时,1?cosx~是同阶无穷小,可见应选(D). (3)【答案】(A)
【解析】齐次方程组Ax?0只有零解?r(A)?n.
由于r(A)?A的行秩?A的列秩,现A是m?n矩阵,r(A)?n,即A的列向量线性无关.故应选(A).
【相关知识点】对齐次线性方程组Ax?0,有定理如下:
对矩阵A按列分块,有A???1,?2,?,?n?,则Ax?0的向量形式为
121x,1?x2?1~?x2,故x2,1?cosx,1?x2?122x1?1?x2?2???xn?n?0.
那么, Ax?0有非零解??1,?2,?,?n线性相关
?r??1,?2,?,?n??n?r?A??n.
(4)【答案】(B)
【解析】依题意：由“当事件A与B同时发生时,事件C必发生”得出AB?C,故
P(AB)?P(C)；由概率的广义加法公式P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)推出 P(AB)?P(A)?P(B)?P(A?B)；又由概率的性质P(A?B)?1,我们得出
P(C)?P(AB)?P(A)?P(B)?P(A?B)?P(A)?P(B)?1,
因此应选(B). (5)【答案】(C)
【解析】根据简单随机样本的性质,可以将X1,X2,?,Xn视为取自方差为?的某总体
2X的简单随机样本,X与S2是样本均值与样本方差.
222由于样本方差S是总体方差的无偏估计量,因此ES??,ES??,否则若ES??,
则(ES)??,DS?ES?(ES)?0.故不能选(A).
对于正态总体, S与X相互独立,由于总体X的分布未知,不能选(D).同样因总体分
222222布未知,也不能选(B).综上分析,应选(C).进一步分析,由于样本方差S是?的一致估计量,其连续函数S?
S2一定也是?的一致估计量.
三、(本题满分5分)
【解析】函数f(x)在x?x0处连续,则要求limf(x)?f(x0).
x?x0方法1:利用洛必达法则求极限limf(x),因为limf(x)为“
x?1x?10”型的极限未定式,又分子分0母在点0处导数都存在,所以连续应用两次洛必达法则,有
sin(x?1)lncos(x?1)tan(x?1)cos(x?1)2 limf(x)?lim?lim?limx?1x?1x?1?x??x?x?1?x1?sin?coscos2222124cos2(x?1) ?lim??2.
?x?1(?sin?x)???22?x?1而f(1)?1,故limf(x)?1,所以f(x)在x?1处不连续. 若令f(1)??4?2,则函数f(x)在x?1处连续.
方法2:利用变量代换与等价无穷小代换,x?0时,cosx?1??求极限limf(x),令x?1?t,则有
x?112x；ln(1?x)?x. 2
lncos(x?1)lncostln[1?(cost?1)] ?lim?limx?1x?1t?0?x?tt?0?t1?sin1?cos1?cos2221?t2cost?12??4. ?lim?limt?01?2t?0?2?222?tt248limf(x)?lim以下同方法1.
四、(本题满分5分) 【解析】用分部积分法:
I???arccotede?xxx?xex??earccote??edx
1?e2x?xx?xe2x??earccote??(1?)dx
1?e2x1??e?xarccotex?x?ln(1?e2x)?C, 其中C为任意常数.
2注：分部积分法的关键是要选好谁先进入积分号的问题,如果选择不当可能引起更繁杂的计算,最后甚至算不出结果来.在做题的时候应该好好总结,积累经验.
【相关知识点】分部积分公式：假定u?u(x)与v?v(x)均具有连续的导函数,则
?uv?dx?uv??u?vdx, 或者 ?udv?uv??vdu.
五、(本题满分5分)
【解析】这是带抽象函数记号的复合函数的二阶混合偏导数,重要的是要分清函数是如何复合的.
由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关,所以本题可以先求
?z??z,再求(). ?x?y?x??由复合函数求导法,首先求z?x,由题设 zx?ycos(xy)??1?再对y求偏导数,即得
1?, ?2y???z?xy?cos(xy)?xysin(xy)?(?1)y?11?)?y?2?2? (?2yy?x??1?x??1??????22?????2?2? ?cos(xy)?xysin(xy)??12?y?yy?y?yy ?cos(xy)?xysin(xy)?xx1??????????. 21232222yyy【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数u??(x,y),v??(x,y)都在点(x,y)具有对x及对y的偏导数,函数z?f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数,则复合函数
z?f(?(x,y),?(x,y))在点(x,y)的两个偏导数存在,且有
?z?z?u?z?v?u?v???f1??f2?； ?x?u?x?v?x?x?x?z?z?u?z?v?u?v???f1??f2?. ?y?u?y?v?y?y?y
六、(本题满分5分)
【解析】两端对x求导,得f?(x)?2f(x)?2x.记P(x)?2,Q(x)?2x,有通解
?P(x)dxP(x)dx1f(x)?e?(?Q(x)e?dx?C)?e?2x(?2xe2xdx?C)?Ce?2x?x?,
2其中C为任意常数.
由原方程易见f(0)?0,代入求得参数C?11?2x1.从而所求函数f(x)?e?x?.
222【相关知识点】一阶线性非齐次方程y??P(x)y?Q(x)的通解为
?P(x)dx??P(x)dxdx?C?, 其中C为任意常数. y?e?Q(x)e?????
七、(本题满分6分)
【解析】方法1：令f(x)?arctanx?12x?arccos?,则 21?x2412(1?x2)(1?x2)f?(x)????0(x?1).
1?x22(x2?1)(1?x2)2因为f(x)在[1,??)连续,所以f(x)在[1,??)上为常数,因为常数的导数恒为0.
12x?arccos?. 21?x2412x??方法2：令f(x)?arctanx?arccos,则f(x)在[1,x]上连续,在(1,x)内可导,
21?x24故f(x)?f(1)?0,即arctanx?由拉格朗日中值定理知,至少存在一点??(1,x),使得
f(x)?f(1)?f?(?)(x?1).
12(1?x2)(1?x2)由复合函数求导法则,得 f?(x)????0(x?1),
1?x22(x2?1)(1?x2)2所以f(x)?f(1).由f(1)?0可得,当x?1时,arctanx?【相关知识点】复合函数求导法则:
如果u?g(x)在点x可导,而y?f(x)在点u?g(x)可导,则复合函数y?f?g(x)?在点x可导,且其导数为
12x?arccos?. 221?x4dydydydu?f?(u)?g?(x) 或 ??. dxdxdudx
八、(本题满分9分)
【解析】对于问题(1),先利用定积分求旋转体的公式求V(?),并求出极限limV(?).问题
????(2)是导数在求最值中的应用,首先建立目标函数,即面积函数,然后求最大值. (1)将曲线表成y是x的函数,套用旋转体体积公式
V(?)???y2dx???e?2xdx?00???2.
(1?e?2?),V(a)??2(1?e?2a),
????limV(?)?lim(1?e?2a)??2????(1?e?2?)??2由题设知
?2?4,得a?1ln2. 2(2) 过曲线上已知点(x0,y0)的切线方程为y?y0?k(x?x0),其中当y?(x0)存在时,