第六、七、八章 数理统计 （抽样分布、参数估计、假设检验）
一、思考题
1．统计抽样工作中，得到的都是具体数值，即样本值。为什么说样本是随机变量？ 2．参数的区间估计中，参数与置信区间谁是随机的？
3．假设检验中两类错误的关系如何？要想同时减少犯两类错误的概率，办法是什么？ 4．在单边检验问题中，建立原假设与备择假设的原则是什么？ 二、单项选择题
1. 设X1,X2,?,Xn,(n?1)是来自正态总体N(?,?2)的一个简单随机样本，X为样本均值，则
P{|X??|??}（ ）P{|X??|??}。
（A）> （B）< （C）≥ （D）≤
2
2. 设X1,X2,?,Xn是来自正态总体N(?,?2)的一个简单随机样本，X和S分别为样本均值和
n样本方差，则?i?1?Xi???。 ??～（ ）
???2（A） N(0,1) （B）?2(n?1) （C）?2(n) (D)t(n?1)
3. 设X1,X2,?,Xn是来自正态总体N(0,1)的一个样本，则下列统计量中，服从自由度为n-1
的 ?2分布的是 （ ）。
n（A）?Xi2
i?1
（B）S2 （C）(n-1)X2 （D）(n-1)S2
4. 设X1,X2,?,Xn是来自正态总体N(0,?2)的一个样本，则下列统计量中，服从自由度为
n-1的t分布的是 （ ）。 （A）
nXS （B）
nXS
1X （C），
nXS2 （D）
nXS2
5. 设随机变量X~t(n)(n?1)，Y?2 ）。
（A）Y~?2(n) （B）Y~?2(n?1) （C）Y~F(n,1) （D）Y~F(1,n) 6. 总体均值μ的95%置信区间的意义是指这个区间 （ ）。
（A）平均含总体95%的值
（B）平均含样本的95﹪的值 （D）有95%的可能含样本均值X
（C）有95%的可能含μ的真值
7. 设X1,X2,?,Xn是来自总体X的样本，E(X)= μ，D(X)=σ2，则可以作为σ2的无偏估计量
的是（ ）。
（A）当μ为已知时，?i?1n(Xi??)n(Xi??)n22n （B）当μ为已知时，?i?1n(Xi??)n?122
（C）当μ为未知时，?i?1n （D）当μ为未知时，?i?1(Xi??)n?1
8. 设??1和??2是总体参数?的两个估计量，说??1比??2更有效，是指 （ ）。
（A）E(??1)?E(??2)??,且?1??2
（B）E(??1)?E(??2)
1
（C）D(??1)?D(??2)
（D）E(??1)?E(??2)??,且D(??1)?D(??2)
9． 设总体X服从正态分布N(?,?2)，其中σ2已知，当样本容量固定时，均值μ的置信区间长度L与置信水平1－α的关系是（ ） （A）当1－α减小时，L变小 （C）当1－α减小时，L不变
（B）当1－α减小时，L增大 （D）当1－α减小时，L增减不定
2
2
10. 设X1,X2,?,Xn是来自总体X的样本， D(X)=σ，样本方差为S，则（ ） （A）S是σ的矩估计量 （B）S是σ的极大似然估计量 （C）S是σ的无偏估计量
（D）S是σ的一致估计量
211．设??是参数?的无偏估计量，且D(??)?0，则??（ ）是?2的无偏估计量。
（A）一定 （B）不一定
（D）可能
（C）一定不
12. 从正态总体N(?,?2)中抽取容量为9的样本，测得样本均值x=15，样本方差s2=0.42，σ2未知时，总体期望μ的置信度为0.95的单侧置信下限为 （ ） （A） 15-(0.4/3)?1.8595 （B）15-(0.4/3)?1.8331 （C） 15-(0.16/9)?1.8595 （D）15-(0.16/9)?1.8331
13． 对正态总体的数学期望μ进行假设检验。如果在显著性水平0.05下，接受原假设Ho: μ=μo，
那么在显著性水平α=0.01下 （ ）。 （A）必接受Ho （C）必拒绝Ho
（B）可能接受，也可能拒绝Ho （D）不接受，也不拒绝Ho
三、填空题
?n?2Xi??1??5?i?15?1．设X1,X2,?,Xn为来自总体X～N(0,1)的一个简单随机样本，则
n
?Xi?62i 服从的分布为 。(注明参数) 2．设总体X的密度函数为f(x)?2
2
12e?x,???x???，X1,X2,?,Xn为X的一个简单随机
样本，S为样本方差，则E(S)= 。
3．设X1,X2,?,X10是来自总体X~?2(n)的一个简单随机样本，X是样本均值， 则E(X)＝ ，D(X)＝ 。
?e?(x??),4．设总体X的密度函数为f(x,?)???0,x??x??，X1,X2,?,Xn为来自该总体的一个简
单随机样本，则参数?的矩估计量为 。
5．已知??1,??2是未知参数?的两个无偏估计，且??1与??2不相关，D(??1)?4D(??2)。如果
??3?a??1?b??2也是?的无偏估计，且是??1,??2的所有同类型线性组合中方差最小的，则
a= ，b= 。 四、计算题
2
1. 设X1,X2,?,Xn,Xn?1为正态总体N(?,?)的一个样本，X?求（1）Xn?1?X；（2）X1?X所服从的分布。
21nn?i?1Xi。
2. 设X1，X2，X3，X4是来自正态总体N(0,1)的一个样本，令Y=(X1+X2)2+(X3+X4)2，若统计量
CY服从?2(2)，求常数C。
3. 设X1,X2,?,Xn为正态总体N(?,0.22)的一个样本，为使P{|X??|?0.1}?0.95，求
样本容量n的取值。
4. 设X1,X2,?,X10是正态总体N(?,1)的一个样本，求概率
（1）P{0.26?11010?(Xi?1i??)?2.3}；
2（2）P{0.26?(X?10i?1110i?X)?2.3}
25. 设从正态总体N(?,?2)抽取一个容量为9的样本，测算得x?5，S2=1。
（1）若总体方差?2?0.9，求总体期望?的置信度为0.95的置信区间
2（2）若总体方差?2未知，求?的置信度为0.95的置信区间
6. 设总体X～N(?,0.22)，为使?的置信度为0.95的置区间的长度不大于0.16，求抽取的
样本的容量n的取值范围。
??(??1)x??1(1?x)7. 设总体X的密度函数为f(x;?)??0?0?x?1其他，其中未知参数??0。
X1,X2,?,Xn为X的一个样本，求?的矩估计量。
8. 设总体X的密度函数为f(x;?)?X1,X2,?,Xn为X的一个样本。
12?e?|x|?,???x???，其中未知参数??0。
（1）求?的最大似然估计量??；（2）证明??为?的无偏估计 （3）求D(??)。
?2e?2(x??),9. 设总体X的概率密度为f(x)??0,?x??x??，其中??0是未知参数。从总体X
中抽取简单随机样本X1,X2,?,Xn，记??=min{X1,X2,?,Xn}。 （1） 求总体X的分布函数F(x)； （2） 求统计量??的分布函数F(x)；
??（3） 如果用??作为?的估计量，讨论它是否具有无偏性。
??,?10． 设总体X的概率密度为 f(x,?)??1??,?0,?0?x?11?x?2 其他 3
其中?（0
其它其中参数a,b均未知且b>0，X1,X2,?,Xn为来自总体X的简单随机样本。求参数a,b的最大似然估计量。
12．假设0.50，1.25，0.80，2.00是来自总体X的简单随机样本。已知Y?lnX服从正态分布
N(?,1)，
（1）求X的数学期望E(X)（记E(X)为b）； （2）求?的置信度为0.95的置信区间； （3）利用上述结果求b的置信度为0.95的置信区间。
13. 设X1,X2,?,Xn是取自均匀分布总体U[?,?]的一个样本，若把
??max?是否分别为?,???min{X1,?,Xn},??,?分别作为?,?的估计量，问??X{,?,Xn}，1的无偏估计量？如何修正，才能得到?,?的无偏估计。
14. 某溶液中的水分服从正态分布，总体均值为?。现抽取一容量为10的样本，测算得
x?0.452%，s?0.0375。在水平??0.05下，检验假设H0:??0.5%；H1:??0.5%。
15. 酒厂用自动装瓶机装酒，每瓶规定重量为500克，标准差不超过10克。某天取样9瓶，测算得x?499克，s?16.03。假设瓶装酒的重量X服从正态分布。问这天机器工作是否正常。（??0.05）
16. 设总体X服从0－1分布，参数p未知，X1,X2,?,Xn是取自此总体的一个样本，X为样本均值，则对每个p，样本容量应取多大才能使E(X?p)?0.01。
17. 设样本X1,X2,?,Xn为总体X~N(?,?)的样本，其中?,?未知。设随机变量L是关于?的置信度为1??的置信区间的长度，求E(L)。
18. 设总体X服从二项分布b(n,p)。检验假设H0:p=0.6，H1:p≠0.6，检验的拒绝域取为
W?{X?C1}?{X?C2}。设n=10，C1=1，C2=9，求显著性水平?和p的真值为0.3时的第
2222二类错误的概率?。
19. 关于正态总体X~N(?,1)的数学期望有如下二者必具其一的假设，H0: ?=0和 H1: ?＝1。考虑检验规则：当X?0.98时拒绝H0接受H1，其中X?14?X1?X2?X3?X4?，而
X1,X2,X3,X4是来自总体X的一个样本。求犯第一类错误的概率?和犯第二类错误的概率?。
五、证明题
1．设X1,X2,?,Xn，Xn?1为正态总体N(?,?)的一个样本，X?21nn?i?1Xi，
4
Sn?2?(Xn?1i?11ni2?X)，试证统计量 Xn?1?Xnn?1～t(n?1)。
Sn2. 设X1,X2,?,Xn为正态总体N(?,?2)的一个样本，试证对任意固定的a，
?(X1,X2,?,Xn)???1,?0,X1?aX1?a
是?(a???)的无偏估计，其中?(x)是标准正态分布函数。
3. 设X1,X2,?,X9为来自正态总体X的一个简单随机样本，
Y1?16(X1?X2???X6)，Y2?13(X7?X8?X9)，S2?19i?(X2i?7?Y2)，
2Z?2(Y1?Y2)S。证明：统计量Z服从自由度为2的t分布。
第六、七、八章 数理统计 参考答案 （抽样分布、参数估计、假设检验）
二、思考题
1． 统计抽样工作中，得到的都是具体数值，即样本值。为什么说样本是随机变量？
因为总体有各种取值，统计抽样工作中，得到的具体数值只是某一个数值被取到，或者说是某一个结果发生，实际样本同样会有各种取值且抽取之前不清楚哪一个值被抽到，所以说样本是随机变量。
2． 参数的区间估计中，参数与置信区间谁是随机的？ 置信区间是随机的。
3． 假设检验中两类错误的关系如何？要想同时减少犯两类错误的概率，办法是什么？
设犯第一类错误，即原假设成立而放弃原假设，也即弃真的概率为?，犯第二类错误，即原假设不成立而接受原假设，也即取伪的概率为?，在样本容量不变的情况下，?减小则?加大，?加大则?减小。要想同时减小犯两类错误的概率，应该加大样本容量。
4． 在单边检验问题中，建立原假设与备择假设的原则是什么？
从题目的问法可以直接得到一个假设，其对立的论断为另一个假设。因为两个假设中有且仅有一个含等号，我们总是将含等号的假设作为原假设，不含等号的作为备择假设，这样当原假设中等号成立时，就可以确定检验统计量的分布了。
二、选择题
1. （B） ∵P{|X??|??}?P???X??????X???~N(0,1)? ??2????1， ????????????， X???? ??1~N(0,1)???????n?????????????n????X???P?X??|????P???2??????????nn??? 5