????n???)?(n?1)? 所以 E(E(?)?nE(?)?? n?1???)????，从而 E(???n???)?E(n???又 E(???????)＝? ~?所以?与?的无偏估计分别为：?n?1????n?n?1n?1????~n?， ? ?n?114.解：设H0:??0.005，H1:??0.005
当H0真时，t?X?0.005～t(9)
S10对于??0.05,查得临界值t0.95(9)??t0.05(9)??1.8331,得拒绝域为|t|≤-1.8331 计算t?0.00452?0.005??0.039??1.8331
0.037510∴在??0.05下，接受H0，认为??0.5%. 15.解：（1）设H0:??500，H1:??500 当??500时，检验统计量T?X?500S9~t(8)，
对于??0.05，拒绝域为|t|?t0.025(8)?2.306， 计算|t|?499?50016.033?0.187?2.306，没有落入拒绝域，
所以不拒绝H0，认为?与500没有显著性差异。 （2）设H0:? 当?222?10， H1:?222?10
8S10222?10时，检验统计量??～?(8)，
22对于??0.05，拒绝域为?2??0.05(8)?15.507，
计算??28?16.031022?20.557?15.507，落入拒绝域，
所以拒绝H0，认为标准差已超过10克。 综上，认为机器工作不正常。 16. 解： E(X)?p, D(X)?E(|X?p|)?D(X)?2p(1?p)np(1?p)n，若p为未知数，
?0.01,由此 n?100p(1?p)
要对每一个p，上述不等式都成立，只要求p值使p(1?p)最大，
显然p?立。
12时，p(1?p)?14最大，所以当n?100?14?25时，对每一个p不等式均能成
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17. 解：当?2未知时，?的置信度为1??的置信区间为X?St?2(n?1)，区间的长度
nL?2Snt?2(n?1)，所以L?2224Sn2t2?2(n?1)。
4Sn2由于E(S)??4?n22，从而 E(L)?E(2t?2(n?1))2＝
4nt?2(n?1)E(S)＝
22t?2(n?1)。
18. 解：n=10，当H0真时，X～b(10，0.6)
（1）??P{W|p?0.6}?P{X?1}?P{X?9}
?P{X?0}?P{X?1}?P{X?9}?P{X?10}
1999100.6?0.4?C10?0.6?0.4?0.6 ?0.410?C10 ?0.49(0.4?6)?0.69(4?0.6)?e9ln0.4?6.4?e9ln0.6?4.6?0.0467 （2）当H0不真时，X～b(10，0.3)
??P{W|p?0.3}?1?P{W|p?0.3}?1?(P{X?1}?P{X?9}) ?1??0.710?10?0.3?0.79?10?0.39?0.7?0.310?
?1??0.79(0.7?3)?0.39(7?0.3)??1??e9ln0.7?3.7?e9ln0.3?7.3? ?1?0.1494?0.8506
19. 解： 当H0为真时，?=0，此时X~N(0,1)，有X~N(0,)，
41所以?＝P{拒绝H0|H0为真}=P{X?0.98|?=0}
?X0.98??＝P???1??(1.96)?1?0.975?0.025。 12??12当H0不真时，?=1，此时X~N(1,1)，有X~N(1,)，
41所以?＝P{不拒绝H0|H0不真}＝P{X?0.98|?=1}
?X?10.98?1??＝P????(?0.04)?1??(0.04)?1?0.516?0.484。 1212??四、证明题
??21、证明X～N??,?n???，X??n?1～N(?,?)，X与Xn+1相互独立
2n?12?X?X∴Xn?1?X～N??? n?1～N(0,1) ?0,?n?n?1n? 12
(n?1)Sn22～?(n?1) Sn与X及X2?X2n?1均独立，∴Sn2与Xn?1?X独立。
n?1?Xn?1∴
2n?2?Xn?1?Xn(n?1)SnSnn?1～t(n?1)
?(n?1)2、证：E?(X1,…,Xn)=1?P{X1?a}?0?P{X1?a}?P{所以?(X1,?,Xn)是?(2X1????a???}＝?(a???)，
a???)的无偏估计。
3、 证：设DX??（未知），显然EY1?EY2，DY1?可见E(Y1?Y2)?0，由于Y1与Y2独立，
D(Y1?Y2)?DY1?DY2＝
?2?26，DY2??2，
36??2322??2, 从而
Y1?Y222?~N(0,1)
222由正态总体样本方差的性质知
2S?~?(2)。又由于Y1与S, 以及Y2与S独立，可
见Y1?Y2与S2独立，于是由服从t分布随机变量的结构知
Y1?Y2Z??2S222＝
22(Y1?Y2)S服从自由度为2的t分布。
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