当n>1，显然???n????2
?????????。 ?????结论：X～N（μ，σ），X~N(?,2. （C）设Yi?Xi???2n) 在μ左右同样距离，方差小者概率大。
n?2, Yi～N(0,1)，且Y1,…,Yn相互独立,∴?Yi2~?2(n).
i?13. （D）(n?1)S?(n?1)S122~?(n?1)
24. （A）X~N(0,???2), X～N?0,?n?nX??, ??nX?nXS~N(0,1),
(n?1)S22～?(n?1)
?2X与S相互独立 ∴
22
?(n?1)S2?~t(n?1)
?(n?1)5． （C） 设U～N(0,1), V～?2(n),则 X?Y?1X2UV/n~t(n).
?V/nU2?V/nU2/1~F(n,1) （注 U2~?(1)）
26.（C）
?17.（A）∵E??nn?i?1?1(Xi??)???n2n?i?1E(Xi??)?21n?n?22??
8.（D）比较有效性的前提是都是无偏估计。 9.（A）σ2已知时，μ的置信区间长度L?2u?/2变小，所以L变小。
10.(D) 因为S不是σ的矩估计量，所以S不是σ的矩估计量；最大似然估计量与具体分布有关，不能肯定S是σ的最大似然估计量；虽然S2是σ2的无偏估计量，但S不是σ的无偏估计量；S2依概率收敛到σ2，由依概率收敛的性质，S依概率收敛到σ，从而S是σ的一致估计量。
2211.(C) 因为E???2??D?????E?????D??????2??2，所以??一定不是?的无偏估计量。
2?n，当1－α减小时，α增大，而分位点u?/222
12.(A)
13.(A) α是犯第一类错误的概率，即拒真的概率，α越小，越不容易拒绝H0，故必接受Ho。 三、填空题
1． F (5，n-5) 。
2． 2 。提示：可用?函数，?(s)?3． n ， n/5 。 4．
X?1???0xs?1e?xdx,s?0,性质?(n?1)?n!.
。
5. a=0.2，b＝0.8. 因为??3?a??1?b??2是?的无偏估计，则E???3??E?a??1?b??2???a?b????，
6
所以a?b?1。由??1与??2不相关，计算
22222D??3?aD??1?bD??2?4aD??2?(1?a)D??2?(5a?2a?1)D??2
????????????求得极小值点为a=0.2，则b＝0.8。。 四、计算题 1.
??2X~N???,n??，X???.
n?12n?12? ～N(?,?)，X与Xn+1相互独立，∴Xn?1?X～N????0,?n?X1?X?X1?1n(X1???Xn)?n?1n2X1?1n21nX2???1nXn
22?n?1n?1?n?1?～N????,????nnn????(n?1)?2?n?1??N???0,?n??4?
??2. X1?X2～N(0,2) ，
∴
(X1?X2)22X1?X222～N(0,1)， 同理
12X3?X2～N(0,1)
?(X3?X4)2?2Y～?(2) ∴ C?12
?????n?0.1??X?????1?0.95 3. P{|X??|?0.1}?P???2????0.20.2???2??nn??????n???0.975 ， ?2???10n2?1.96 ， n?15.37， ∴至少应取16
4.Xi??～N(0,1)，
?1P?0.26?10?10?i?1(Xi??)～?(10)
10222?i?1??(Xi??)?2.3??P?2.6????i?1?2(Xi??)?23?
??10??10?22?P??(Xi??)?2.6??P??(Xi??)?23??0.99?0.01?0.98
?i?1??i?1?10?i?1(Xi?X)?102910?9i?1(Xi?X)?9S222?9S122～?(9)
1?P?0.26?10??i?1??(Xi?X)?2.3??P?2.6???10?i?1?2(Xi?X)?23?
??10??10?22?P??(Xi?X)?2.6??P??(Xi?X)?23??0.975?0.005?0.97?i?1??i?1?
5.（1）??X?Z0.025??0.9???(5?1.96?0.3)?(5?0.588)?(4.412,5.588) 3?（2）?X?t0.025(8)???1?1??(5?2.306?)?(5?0.77)?(4.23,5.77) 3?36. 置信区间长l?2Z0.025?n?2?1.96?0.2n?0.16，
7
n?4.9 n?24.01 ∴n至少取25
7. 解 E(X)? ???10?(??1)x(1?x)dx??(??1)???1???12X1?X|xi|??? ????2???212E(X)1?E(X) ∴?的矩估计???n
1?n8.解（1）样本的似然函数为 L(?)??i?112?ne???(2?)e?|xi|?i?11n，
取对数lnL(?)??nln?2???令
dlnL(?)d?n1n1??|xi?1i|，
n1???2?|xi|?0，得???n??i?1n?|xi?1i|，
1 所以???n?|Xi?1i|为?的最大似然估计量。
n?1（2）证明：因为E(??)?E??n?i?1?|xi|??E?|Xi|????????|x|12?e?|x|?dx?2???0x12?e?x?dx??，
所以??为?的无偏估计。 （3）因为D(??)?D??11?|x|??i?n2?ni?1?nn?i?1D|xi|?1nD|Xi|，
而D?|Xi|??D?|X|??E?|X|2??E2?|X|?， 及E?|X|2??E(X2)??2????x212?e?|x|?dx?2???012?xe2?x?dx?2?，
2 所以D?|Xi|??2?2??122??，得D(??)??。
n第（2）、（3）问的解法2：可直接求|Xi|即|X|的分布，令Y=|X|，先求其分布函数，
?y?0,FY(y)?P{|X|?y}?P{?y?X?y}?FX(y)?FX(?y)，
求导得概率密度函数fY(y)?fX(y)?fX(?y)，
?1??e,???所以fY(y)???0,??yy?0，即Y服从参数为θ的指数分布，
其它则E(??)?E?|Xi|??E?|X|???x，D(??)?1D?|Xi|???nndx???e?x?2x?2?2。
?2x?2?x?2x?2??2(x??)9.解 (1) 当x??,F(x)??2e?d(?2x?2?)??e|??1?e
∴F(x)?????1?e0,?2x?2?x??,x??
(2) ?的值域为（?,??), 对?x??
8
F?(x)?P{???x}?P{min{X1,X2??Xn}?x}??1?P{min{X1,X2,??,Xn}?x}?1?P{X1?x,X2?x,??,Xn?x}
?1?Pn{X?x}?1?[1?P{X?x}]n?1?[e?2x?2?]n?1?e?2nx?2n???1?e0,?2nx?2n? ∴F??(x)???0,?2nx?2n?x??,x??
(3) f??(x)???x??,x???2ne
???2n(x??)E(?)???xe?????x?2ne|????2n(x??)dx????xed(?2nx?2n?)|????2n(x??)?????e?2n(x??)dx???12ne?2n(x??)???(?12n)???12n??
??不是?的无偏估计量10．解：对样本值x1,x2,?xn按照<1或者≥1进行分组：xi1,xi2,?xiN?1，
xi(N?1),xi(N?2),?xin?1。 样本的似然函数为 L(?)??xi(N?1),xi(N?2),?xin?1，
N(1??)n?N，xi1,xi2,?xiN?1，
lnL(?)?Nln??(n?N)ln(1??)，
dlnL(?)d?n?N??n?N1???0，所以???Nn。
11. 解：样本的似然函数为
n??1L(a,b)??bi?1e?(xi?a)/b?b?ne1b?(xi?a)/bi?1,0?a?xi,i?1,2,..n,b?0。(*)
取自然对数 lnL(a,b)??nlnb??(xii?1n?a),0?a?xi,i?1,2,.,n,b?0,
n令
?lnL(a,b)?b??nbnb?1b2n?(xii?1?a)?(xi?a)?0,得b?i?1n。
由于
?lnL(a,b)?a??0,需从似然函数本身出发找a的最大似然估计。
由(*)知，固定b，要使L(a,b)达到最大，a应该取最大值，由于0?a?xi,i?1,2,..n,所
??minxi。 以，当a?minxi时，L(a,b)达到最大，故a的最大似然估计值为a1?i?n1?i?nn????minXi，b综上，a ,b的最大似然估计量分别为 a1?i?n?(Xii?1?minXi)1?i?nn。
9
12. 解：（1）Y的密度为fY(y)?12???e?(y??)22,???x???，于是
2b?E?X??Ee??1??2???Y12?2???ee??12y?(y??)2dyt?y??12??????et??e?t22dt
?e???12?e?(t?1)2dt?e. （2）因为Y~N(?,1)，则?的置信度为0.95的置信区间为??Y?u0.025???1n,Y?u0.025?1??，? n?计算得Y?14(ln0.50?ln1.25?ln0.80?ln2)?14ln1?0，
于是?的置信度为0.95的置信区间是(-0.98,0.98)。 (3) 由（2）知P??0.98???0.98??0.95，则P{?0.48???由ex的单调递增性知P{e?0.48?e为(e?0.48,e1.48)。
?1,??x???????13．解：设总体X的密度为f(x)?? ， 其分布函数是
?0,其他?????xF(x)??????0,????1,??1212?1.48}?0.95，
?e1.48}?0.95，因此b的置信度为0.95的置信区间
x???的密度为 , ??x??， 则?x??x??1n(??x)(???)n?1nf?(x)?n!(n?1)!(1????)n?1???n?1?， ??x??
?)?E(?n(???)n???x(??x)dx???n?n?1
n?1x??n?11n(x??)??的密度为 f?(x)?n( ??x?? )?n??????(???)?)?E(?n(???)n???x(x??)n?1dx?n???n?1
?，??不是?，?的无偏估计。为得到无偏估计可作如下修正： 由此可知，?从E(??)???n?n?1?中得： ?)?n?，将其代入E? 可得 ??(n?1)E(? 10