点，或材料的边缘和尖点上，场的某些分量可能变成无穷大。但在有限元分析中，因为是数值解，即使问题包含边缘和尖点，我们也要确定边缘和尖点的场，然而，我们也看到，通过结点场插值无法得到无穷大的场。
2．3．5 三维棱边元
上一世纪80年代以后，棱边元单元的出现解决了上面提到的这些有限元方法的缺点。Ansoft HFSS正是采用了棱边元（也称为矢量有限元）的方法，下面我们对其进行介绍。
考察矢量函数：
?eeeeW12?L1?L2?L2?L1 （2.37）
首先，容易看出
??ee??W12?0， ??W12?2?L1??L2 （2.38）
e?1表示从结点1指向结点2的单位矢量。其次，假设e因为L1是从
结点1处的1变化到结点2处的0的线性函数，Le2是从结点2处的1变化为结点1处的线性函数，所以，
?1??L1??1/l1， e?1??L1?1/l1 eeeee其中，l1e表示连接结点1和2的棱边长。因此
?1?e1?W12?e （2.39）
l1?它表示W12沿棱边（1，2）有一个常切向分量，沿其它5个棱边
没有切向分量。如果定义该棱边为1，则可以定义其矢量基函数为：
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?e?eN1?W12l1 （2.40）
类似可得到棱边i的矢量基函数为：
?e?eeNi?Wiili （2.41）
12其中棱边数及相关结点i1和i2定义在表2.1中。
表2.1 四面体单元的棱边定义
棱边i 1 2 3 4 5 6
在以上定义的基础上，适用于泛函（2.26）的四面体单元内的电场矢量可以表示为：
?E?6结点i1 1 1 1 2 4 3 结点i2 2 3 4 3 2 4 ?i?1?eNiEi （2.42）
E（其中，i＝1，…，6）就是单元内的未知量。这就是Ansoft HFSSi中使用的棱边元（对应其0th order basis function）。可以看到，这类矢量基函数在单元内自然满足散度为零，旋度不为零（见（2.38）式），其定义也正好是沿切向定义的，棱边元也避免了结点值，所以它能够去除我们上一小节所谈的结点值四面体的三个缺点。
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四面体单元在模拟任意形状的几何体时，特别是不规则的几何物体时，比矩形块、六面体等单元更加灵活和准确。虽然对于同样离散数，矩形块和六面体比四面体的未知数要少，但是，有趣的是，对于几乎同样的未知量数目，采用四面体的有限元数值解比采用矩形块和六面体的有限元数值解精度要高。应该说，四面体单元特别是四面体棱边元在解决三维问题时是较好的选择。
2．4 有限元方程组的求解
在利用变分原理和离散化方法建立了有限元矩阵方程后，我们就面临着求解以结点值为未知数的矩阵方程。我们将方程写为：
Ax?b （2.42）
式中系数矩阵A是一个n×n方阵，x是待求解的未知量，b表示已知向量。为了精确的描述电磁场工程中的实际问题，许多应用中的系数矩阵的维数（对应离散剖分的结点值未知量个数）非常大。结果，当我们利用计算机寻求数值解时，我们遇到庞大的计算机内存需求和过长的计算时间。幸好，正如我们在2.2节谈到的，有限元离散得到的矩阵总是稀疏的、对称的和带状的。如果我们充分的利用这些性质，就可以大大地节省存储量。比如说，一般的有限元矩阵每行的非零元素少于15个，如果我们只存储非零元素，由于对称性，我们只需要存储8个元素，因此，对于一个10000个未知量的方程，只有大约8×10000个非零矩阵元素需要存储。加上用于记号所需的两个
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整型数组，总存储量不到相应满秩矩阵存储空间的六百分之一。除存储量降低外，有限元矩阵的特殊性质也能减少计算时间。大量的零矩阵元素不需产生，加上适当设计算法，它们在解过程中的运算也可避免。因此，正是这一为矩量法等积分方程方法所不具备的特殊性质，使得有限元方法对分析电大尺寸问题时更有吸引力。
下面我首先介绍矩阵方程的解法，然后介绍在此基础上Ansoft HFSS为在一定精度的要求上最大限度的提高效率而设计的自适应迭代算法。
2．4．1 确定性问题矩阵方程求解的直接法
当式（2.42）右端的已知激励向量b不为零时，为确定性方程求解，也就是利用各种等效方法的对矩阵A求逆，其中最适用于有限元方法矩阵的是分解法，Ansoft HFSS就是采用的分解法。这其中，LU分解是最基础的一种方法，很多的快速分解方法都是在其基础上发展而来的，所以我们这里将介绍LU分解方法。
如果矩阵可以分解为
A＝LU （2.43） 其中，L是一个下三角矩阵，U是一个上三角矩阵。那么，先求解
Ly＝b （2.44） 然后求解
Ux＝y （2.45）
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即可得到（2.42）式的解。因为L是一个下三角矩阵，y可通过前向替代过程而高效地获得
y1?b1l11 （2.46）
i?11?yi??bi??likyk?? i?1 （2.47）
?k?1lii?然后，x可通过后向替代过程而获得
xn?ynunn （2.48）
? ?ux? i?n （2.49）
ikkk?i?1n1?xi??yi?uii??这种分解算法其计算的复杂度正比于O?N3?（N为矩阵的维数，也即未知数的数目），也并没有利用有限元带状稀疏阵的性质。进一步利用带状稀疏阵的分解算法能够有效地提高运算效率，降低计算复杂度。Ansoft HFSS的快速算法计算复杂度就在O?N3?以下。
2．4．2 确定性问题矩阵方程求解的迭代法
矩阵方程的迭代方法又可以分为直接迭代方法和共轭梯度法，特别是共轭梯度法现在被认为是求解矩阵方程的有效方法。共轭梯度法首先给出未知量的一个初始猜测，然后在一定的泛函空间中按照搜索向量进行迭代，直到达到设定的精度。共轭梯度法的计算复杂度正比于O?N2?。因为Ansoft HFSS使用的是分解法，这里对共轭梯度法不再详细介绍。
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