2．4．3 本征值问题的解
当式（2.42）右端的已知激励向量b为零时，为对应腔体谐振和波导分析的本征值方程求解。一个标准的本征值问题由下式定义： Ax＝λx （2.50） 其中，A是一个n×n方阵，x是本征向量，λ表示对应的本征值。显然，仅当下式成立时
det?A??I??0 （2.51） （2.50）式才可能有非零解。在上式中，I表示单位矩阵。总的来说，本征值问题的解法很多，也比确定性问题更复杂，有些也是以矩阵分解为基础的。
有限元方法得到的一般是广义形式的本征值问题：
Ax＝λBx （2.52） 很明显，如果把B分解为B?LLT，其中L是一个下三角阵，那么广义本征值问题可以改为标准形式
LAL?1?T y??y， y?Lx （2.53）
TLanczos法是有效的求解带状稀疏矩阵的本征值问题的方法，大家可以在Ansoft HFSS的solver中找到。
2．4．4 Ansoft HFSS的自适应迭代算法
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从上面的讨论我们可以看出，矩阵方程的求解复杂度与有限元的剖分密度即未知数数目有很大的关系，未知数数目越多，求解所需的时间越长。然而，从另外一个方面来说，有限元方法求解的精度与也随着未知数数目的增加而更加准确。因此，有限元方法的求解时间与准确度是一对矛盾。为了在越短的时间内取得越大的精度，Ansoft HFSS采取了自适应迭代算法，如图2.5所示。该算法一开始先选用较粗的剖分，采用我们上面所谈的方法求解，然后看其进度是否满足要求。如不满足，进一步细化剖分，再次进行求解，知道达到给定的精度。
图2.5 Ansoft HFSS的自适应迭代算法
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第三章 电磁内问题和散射问题的有限元分析方法
Ansoft HFSS是分析电磁场工程中的内问题和散射问题的有力工具，下面我们对其应用于电磁内问题和散射问题时的一些关键技术进行介绍。
3．1 电磁内问题
Ansoft HFSS可以分析封闭的各种传输线及其不连续性、谐振腔特性等。在工程上，我们尤其关心各种微波结构的网络特性，一般来说，我们使用S参数来描述这些网络特性。实际用户在使用Ansoft HFSS时有时会出现和预想的情况不太吻合，甚至出现?Sijj?1n2?1的不
合理情况。在本节中，我们着重讲述Ansoft HFSS计算微波网络S参数的一些问题，帮助用户分析实际使用中的一些问题。
3．1．1 Ansoft HFSS中S参数的定义
在我们建立了微波问题的有限元研究模型并求解其场结构以后，我们可以利用求得的场进一步求取其多端口网络参数。多端口网络的S参数描述的是多端口网络端口反射波和入射波之间的线性关系，比如一个二端口网络的S参数定义为：
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?b1??S11?????b2??S21S12??a1???? （3.1） S22??a2?Ansoft HFSS对其中各参数的定义为：
我们ai是端口i的入射波，其模值平方ai是激励功率，相位?ai是激励场相位（对于有耗端口模式和无耗传输模式定义为0，对于无耗截止模是90）。
bi是端口i的反射波，其模值平方bi是激励功率，相位?bi是反
22射场由于激励场而产生的相位。
Sij描述了端口j处的激励场反射或传输到端口i的比率和相移。
必须注意到，Ansoft HFSS定义的S参数是与模式有关的，其默认的S参数是主模的S参数，同时也具备计算高次模式的S参数。其计算的主要步骤如下：
·对系统结构进行有限元剖分。 ·计算端口处的模式
·在每个模式激励下的系统内的电磁场分布 ·根据计算的场求得端口间的反射和传输特性。
3．1．2 Ansoft HFSS中多口网络端口特性阻抗的定义
Ansoft HFSS端口的特性阻抗有Zpi，Zpv和Zvi三种阻抗定义，我们分别具体介绍如下。
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Zpi是由功率P和电流I来定义的：
Zpi?PI?I （3.2）
式中的功率P和电流I都可以由有限元方法计算的场来求得，功率P由下式计算：
??P??sE?Hds （3.3）
s表示端口表面积。电流I由下式计算：
? I??lH?dl （3.4）
l为端口环线积分。注意电流由流入和流出端口两种，Ansoft HFSS取其平均。
Zpv是由功率P和电压V定义的：
Zpv?V?VP （3.5）
式中功率P的定义和（3.3）式相同，电压V的定义为：
? V??LE?dL （3.6）
积分式在设定端口时定义的阻抗线上进行。
Zvi则是由前两个阻抗来定义的：
Zvi?ZpiZpv （3.7）
一般来说，对于TEM传输线，Ansoft HFSS选择使用Zvi作为特性阻抗的定义；对于微带线，Ansoft HFSS建议使用Zpi作为特性阻抗的定义；对于槽状结构的共面波导等，Ansoft HFSS建议使用Zpv作为特性阻抗的定义。
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