【2013年中考攻略】专题4：韦达定理应用探讨
锦元数学工作室 编辑
韦达，1540年出生于法国的波亚图，早年学习法律，但他对数学有浓厚的兴趣，常利用业余时间钻研数学。韦达第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为―韦达定理‖）。人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为―代数学之父‖。
韦达定理说的是：设一元二次方程ax2+bx+c=0?a?0?有二实数根x1，x2，则x1+x2=?，1x?2x=abca。
这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a，b，c的关系。其逆命题：如果x1，x2满足x1+x2=?，x1?x2=abca，那么x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0?a?0?的两个根也成立。
韦达定理的应用有一个重要前提，就是一元二次方程必须有解，即根的判别式?=b2?4ac?0。 韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学教学和中考中有着广泛的应用。锦元数学工作室将其应用归纳为：①不解方程求方程的两根和与两根积； ②求对称代数式的值； ③构造一元二次方程； ④求方程中待定系数的值； ⑤在平面几何中的应用；⑥在二次函数中的应用。下面通过近年全国各地中考的实例探讨其应用。
一、不解方程求方程的两根和与两根积：已知一元二次方程，可以直接根据韦达定理求得两根
和与两根积。
典型例题：
例1：（2012湖北武汉3分）若x1、x2是一元二次方程x2－3x＋2＝0的两根，则x1＋x2的值是【 】
A．－2 B．2 C．3 D．1
例2：（2001湖北武汉3分）若x1、x2是一元二次方程x2＋4x＋3＝0的两个根，则x1·x2的值是【 】
A.4. B.3. C.－4. D.－3.
例3：（2012山东烟台3分）下列一元二次方程两实数根和为﹣4的是【 】 A．x2+2x﹣4=0 B．x2﹣4x+4=0 C．x2+4x+10=0 D．x2+4x﹣5=0
例4：（2012广西来宾3分）已知关于x的一元二次方程x+x+m=0的一个实数根为1，那么它的另一个实数根是【 】
A．－2 B．0 C．1 D．2
2
练习题：
1
1. （2007重庆市3分）已知一元二次方程2x2?3x?1?0的两根为x1、x2，则x1+x2= ▲ 。 2. （2005浙江湖州3分）已知一元二次方程x2?12x?7?0的两个根为x1、x2，则x1+x2的值是【 】
A．－12 B．12 C．－7 D．7
3. （2011广西来宾3分）已知一元二次方程x+mx﹣2=0的两个实数根分别为x1、x2，则x1·x2= ▲ ． 4.（2011湖北咸宁3分）若关于x的方程x2?2x?m?0的一个根为?1，则另一个根为【 】
A．?3
B．?1
C．1
D．3
2
5.（2011云南昆明3分）若x1，x2是一元二次方程2x2﹣7x+4=0的两根，则x1+x2与x1?x2的值分别是【 】
A、﹣
72错误！未找到引用源。，﹣2 B、﹣
72，2 C、
72，2 D、
72，﹣2
二、求对称代数式的值：应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。
所谓对称式，即若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变（f?x，y?=f?y，x?），则称这个代数式为完全对称式，如x2+y2， +x11y等。扩展后，可以视x?y中x与?y对称。
典型例题：
例1：（2012四川攀枝花3分）已知一元二次方程：x2﹣3x﹣1=0的两个根分别是x1、x2，则x12x2+x1x22的值为【 】 A． ﹣3
B． 3
C． ﹣6
D． 6
例2：（2012山东莱芜3分）已知m、n是方程x2＋22x＋1＝0的两根，则代数式m2＋n2＋3mn的值为【 】
A．9 B．±3 C．3 D．5
例3：（2012江苏南通3分）设m、n是一元二次方程x2＋3x－7＝0的两个根，则m2＋4m＋n＝ ▲ ．
22?6x2?3)?a?4，例4：（2012湖北鄂州3分）设x1、x2是一元二次方程x＋5x－3=0的两个实根，且2x1(x2则a= ▲ .
练习题：
1. （2012湖南张家界3分）已知m和n是方程2x2﹣5x﹣3=0的两根，则
1m+1n= ▲ ．
222
2. （2012四川泸州3分）设x1，x2是一元二次方程x – 3x – 1 =0的两个实数根，则x1?x2?4x1x2的
值为 ▲
2
3. （2012山东日照4分）已知x1、x2是方程2x2+14x－16=0的两实数根，那么
x2x1?x1x2的值为 ▲ .
4. （2012黑龙江绥化3分）设a，b是方程x2＋x－2013=0的两个不相等的实数根，则a2＋2a＋b的值为 ▲ 5. （2012黑龙江大庆4分）若方程x2?x?1?0的两实根为a、b，求
1a?1b
的值．
6. （2011湖北荆州、荆门3分）关于x的方程ax2?(3a?1)x?2(a?1)?0有两个不相等的实根x1、x2， 且有x1?x1x2?x2?1?a，则a的值是【 】 ??
[来源:学§科§网Z§X§X§K]
A.1 B.?1 C. 1或?1 D.2
7.（2011贵州黔东南4分）若a、b是一元二次方程x2?2011x?1?0的两根，则
A、2010 B、2011 C、
120101a?1b
的值为【 】
D、
12011
8. （2011江苏苏州3分）已知a、b是一元二次方程x2?2x?1?0的两个实数根，则代数式
?a?b??a?b?2??ab的值等于 ▲ ．
9. （2011山东德州4分）若x1，x2是方程x 2+ x﹣1=0的两个根，则x 12+ x 22= ▲ ．
10. （2011广西玉林、防城港6分）已知：x1、x2是一元二次方程x2?4x?1?0的两个实数根．求：
(x1?x2)?(21x1?1x2)的值．
三、构造一元二次方程：如果我们知道问题中某两个字母的和与积，则可以利用韦达定理构造以
这两个字母为根的一元二次方程。扩展后字母可为代数式。
典型例题：
?ab2+b2?3a+1?2422
例1：（2012湖北随州4分）设a?2a?1?0，b?2b?1?0，且1－ab≠0，则?= ???a??5 ▲ .
学科网]
2例2：（2012四川内江12分）如果方程x?px?q?0的两个根是x1,x2，那么x1?x2??p,x1.x2?q,请
根据以上结论，解决下列问题：
（1）已知关于x的方程x?mx?n?0,(n?0),求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数；
2 3
（2）已知a、b满足a2?15a?5?0,b2?15b?5?0,求
ab?ba的值；
（3）已知a、b、c满足a?b?c?0,abc?16求正数c的最小值。
例3：（2012四川宜宾8分）某市政府为落实―保障性住房政策，2011年已投入3亿元资金用于保障性住房建设，并规划投入资金逐年增加，到2013年底，将累计投入10.5亿元资金用于保障性住房建设． （1）求到2013年底，这两年中投入资金的平均年增长率（只需列出方程）；
（2）设（1）中方程的两根分别为x1，x2，且mx12﹣4m2x1x2+mx22的值为12，求m的值．
例4：（2012贵州黔西南14分）问题：已知方程x2+x?1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍。
解：设所求方程的根为y，则y=2x，所以x=y?y?把x=代入已知方程，得??+?1=0
2?2?2y2
y2化简，得：y2+2y?4=0 故所求方程为y2+2y?4=0
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为―换根法‖。请阅读材料提供的―换根法‖求新方程（要求：把所求方程化成一般形式）
（1）已知方程x2+x?2=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为： ；
（2）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0?a?0?有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程的倒数。[来源:学科网ZXXK]
练习题：
1. （2004辽宁沈阳2分）请你写出一个二次项系数为1，两实数根之和为3的一元二次方程： ▲ . 2. （2005山东临沂3分）请写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且其两根互为倒数 ▲ . 3.（2002浙江杭州10分）已知某二次项系数为1的一元二次方程的两个实数根为p、q，且满足关系式
??p?q?p?1??5，试求这个一元二次方程． ?22??pq?pq?64. （2007江苏淮安3分）写出一个两实数根符号相反的一元二次方程： ▲ .
四、求方程中待定系数的值：已知方程两根满足某种关系，则可以利用韦达定理确定方程中待定
字母系数的值。
典型例题：
4
例1：（2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分）如果关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根x1，x2满足x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=0，那么a的值为【 】
A．3 B．﹣3 C．13 D．﹣13
例2：（2012湖南株洲3分）已知关于x的一元二次方程x﹣bx+c=0的两根分别为x1=1，x2=﹣2，则b与c的值分别为【 】
A．b=﹣1，c=2 B．b=1，c=﹣2 C．b=1，c=2 D．b=﹣1，c=﹣2
例3：（2012内蒙古呼和浩特3分）已知：x1，x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根，且x1+x2=3，x1x2=1，则a、b的值分别是【 】
A．a=﹣3，b=1
B．a=3，b=1
C．a=?322
，b=﹣1
D．a=?32，b=1
例4：（2012内蒙古包头3分）关于x的一元二次方程x2?mx+5?m?5?=0的两个正实数根分别为x1，x2，且2x1+x2=7，则m的值是【 】
A.2 B. 6 C. 2或6 D . 7
例5：（2012山东威海3分）若关于x的方程x2+?a?1?x+a2=0的两根互为倒数，则a= ▲ . 例6：（2012湖北孝感12分）已知关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0．
(1)求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
(2)若x1、x2是原方程的两根，且|x1－x2|＝22，求m的值和此时方程的两根．
例7：（2012湖南怀化10分）已知x1,x2是一元二次方程(a?6)x2?2ax?a?0的两个实数根.
（1）是否存在实数a，使?x1?x1x2?4?x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由； （2）求使(x1?1)(x2?1)为负整数的实数a的整数值.
例8：（2011四川南充8分）关于的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2． （1）求k的取值范围；
（2）如果x1+x2﹣x1x2＜﹣1且k为整数，求k的值．
练习题：
1. （2011湖南株洲3分）孔明同学在解一元二次方程x2?3x?c?0时，正确解得x1?1，x2?2，则c的值为 ▲ ．
2. （2011湖北孝感10分）已知关于x的方程x?2(k?1)x?k?0有两个实数根x1，x2，
22（1）求k的取值范围；
5