（2）若x1?x2?x1?x2?1，求k的值。
3. （2012湖北鄂州8分）关于x的一元二次方程x2?(m?3)x?m2?0。
（1）证明：方程总有两个不相等的实数根；
（2）设这个方程的两个实数根为x1，x2，且｜x1｜=｜x2｜－2，求m的值及方程的根。 4. （2012四川南充8分）关于x的一元二次方程x＋3x＋m－1=0的两个实数根分别为x1,x2。 （1）求m的取值范围；
（2）若2（x1+x2）+ x1x2+10=0．求m的值。
5. （2011四川达州3分）已知关于x的方程x﹣mx+n=0的两个根是0和﹣3，则m= ▲ ，n= ▲ 。 6. （2011四川泸州2分）已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣2=0的两实根的平方和等于11，则k的值为 ▲ 。
7. （2011四川乐山10分）题甲：已知关于x的方程x2?2(a?1)x?a2?7a?4?0的两根为x1、x2，且满足x1?x2?3x1?3x2?2?0.求(1?4a?422
2
)?a?2a的值。
8. （2006北京市7分）已知：关于x的方程mx2?14x?7?0有两个实数根x1和x2，关于y的方程
y?2?n?1?y?n?2n?0有两个实数根y1和y2，且－2≤y1＜y2≤4．当
222x1?x2?6x1?x2?2（2y1?y2）?14?0
2时，求m的取值范围。
9. （2006四川凉山6分）已知：x2+a2x+b=0的两个实数根为x1、x2；y1、y2是方程y2+5ay+7=0的两个实数根，且x1－y1=x2－y2=2．求a、b的值。
五、在平面几何中的应用：在平面几何中，①两圆外切，两圆圆心距离等于两圆半径之和；②勾
股定理两直角边的平方和等于斜边的平方的应用，可以与一元二次方程根与系数的关系相结合命题。
典型例题：
例2：（2003江苏镇江6分）已知，如图，Rt△ABC中，∠ACB=90，AB=5，两直角边AC、BC的长是关于x的方程x??m?5?x?6m?0的两个实数根。
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（1）求m的值及AC、BC的长（BC>AC）
（2）在线段BC的延长线上是否存在点D，使得以D、A、C为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出CD的长；若不存在，请说明理由。
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练习题：
1. （2012山东潍坊3分）已知两圆半径r1、r2分别是方程x—7x+10=0的两根，两圆的圆心距为7，则两圆的位置关系是【 】．
A．相交 B．内切 C．外切 D．外离
2.（ 2006四川广安8分）已知：△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2－（2k+3）x+k2+3k+2=0的两个实数根，第三边BC的长为5．试问：k取何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？ 3. （2002江苏无锡9分）已知：如图，⊙O的半径为r，CE切⊙O于C，且与弦AB的延长线交于点E，CD⊥AB于D．如果CE=2BE，且AC、BC的长是关于x的方程x2?3?r?2?x?r2?4?0的两个实数根． 求：（1）AC、BC的长；（2）CD的长．
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4. （2002湖南益阳10分）巳知：如图，在△ABC中，∠B=90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的半圆交AB于点E，与AC切于点D．当AD2?AE2?5时，AD、AE（AD＞AE）是关于x的方程x2－（m－1）x＋m－2=0（m≠0）的两个根． （1）求实数m的值；
（2）证明：CD的长度是无理方程2x?1?x?1的一个根；
（3）以B点为坐标原点，分别以AB、BC所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，求过A、B、D三点且对称轴平行于y轴的抛物线的解析式．
5. （2010湖南株洲3分）两圆的圆心距d=5，它们的半径分别是一元二次方程x2-5x+4=0的两个根，这两
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圆的位置关系是 ▲
七、在二次函数中的应用：一元二次方程ax2＋bx＋c(a≠0)可以看作二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
当y＝0时的情形，因此若干二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与ｘ轴交点的综合问题都可以用韦达定理解题。
典型例题：
例1：（2012天津市3分）若关于x的一元二次方程（x－2）（x－3）=m有实数根x1,x2，且x1≠x2，有下列结论：
①x1=2，x2=3； ②m>?14；
③二次函数y=（x－x1）（x－x2）＋m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）． 其中，正确结论的个数是【 】 （A）0 （B）1 （C）2
例2：（2012甘肃兰州10分）若x1、x2是关于一元二次方程ax＋bx＋c(a≠0)的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：x1＋x2＝?ba2
（D）3
，x1?x2＝
ca．把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如
果设二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的两个交点为A(x1，0)，B(x2，0)．利用根与系数关系定理可以得到A、B连个交点间的距离为：AB＝|x1－x2|＝?x1+x2?b?4aca224cb?4ac?b? ?4x1x2=????=2aaa??22=。
参考以上定理和结论，解答下列问题：
设二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴的两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，抛物线的顶点为C，显然△ABC为等腰三角形．
(1)当△ABC为直角三角形时，求b2－4ac的值； (2)当△ABC为等边三角形时，求b2－4ac的值．
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例3：（2012广东梅州10分）（1）已知一元二次方程x2+px+q=0（p2﹣4q≥0）的两根为x1、x2；求证：x1+x2=﹣p，x1?x2=q．
（2）已知抛物线y=x2+px+q与x轴交于A、B两点，且过点（﹣1，﹣1），设线段AB的长为d，当p为何值时，d取得最小值，并求出最小值．
例4：（2012湖北荆州12分）已知：y关于x的函数y=（k﹣1）x2﹣2kx+k+2的图象与x轴有交点． （1）求k的取值范围；
（2）若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足（k﹣1）x1+2kx2+k+2=4x1x2． ①求k的值；②当k≤x≤k+2时，请结合函数图象确定y的最大值和最大值．
例5：（2012湖北黄石10分）已知抛物线C1的函数解析式为y?ax2?bx?3a(b?0)，若抛物线C1经 过点(0,?3)，方程ax2?bx?3a?0的两根为x1，x2，且x1?x2?4。
（1）求抛物线C1的顶点坐标. （2）已知实数x?0，请证明：x?1x2
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≥2,并说明x为何值时才会有x?1x?2.
（3）若抛物线先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线C2，设A(m,y)1， B(n,y2)
0是C2上的两个不同点，且满足： ?AOB?90，m?0，n?0.请你用含有m的表达式表示出△AOB
的面积S，并求出S的最小值及S取最小值时一次函数OA的函数解析式。
Q(x2,y2)，（参考公式：在平面直角坐标系中，若P(x1,y1)，则P，Q两点间的距离(x2?x1)?(y2?y1)）
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例6：（广东广州14分）已知关于x的二次函数y?ax2?bx?c?a?0?的图象经过点C（0，1），且与x轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是（1，0） （1）求c的值； （2）求a的取值范围；
（3）该二次函数的图象与直线y＝1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记△PCD的面积为S1，△PAB的面积为S2，当0＜a＜1时，求证：S1﹣S2为常数，并求出该常数．
b 例7：（2011黑龙江大庆8分）已知二次函数y?ax2?bx?b(a?0,b?0))图象顶点的纵坐标不大于－．
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(1)求该二次函数图象顶点的横坐标的取值范围；
(2)若该二次函数图象与x轴交于A、B两点，求线段AB长度的最小值．
例8：（2012湖南长沙10分）如图半径分别为m，n（0＜m＜n）的两圆⊙O1和⊙O2相交于P，Q两点，且点P（4，1），两圆同时与两坐标轴相切，⊙O1与x轴，y轴分别切于点M，点N，⊙O2与x轴，y轴分别切于点R，点H．
（1）求两圆的圆心O1，O2所在直线的解析式； （2）求两圆的圆心O1，O2之间的距离d；
（3）令四边形PO1QO2的面积为S1，四边形RMO1O2的面积为S2．
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