8.9 直线与圆锥曲线的位置关系
一、选择题
x2y2
1．AB为过椭圆2＋2＝1中心的弦，F(c,0)为它的焦点，则△FAB的最大面积为( )
ab A．b2
B．ab
C．ac
D．bc
1 解析：设A、B两点的坐标为(x1，y1)、(－x1，－y1)，则S△FAB＝|OF||2y1|＝c|y1|≤bc.
2 答案：D
2．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k的值为( ) A．1 B．1或3 C．0 D．1或0
??y＝kx＋2，
解析：由?2
?y＝8x，?
得ky－8y＋16＝0，若k＝0，则y＝2，若k≠0，则Δ＝0，即64－64k＝0解得
2
2
k＝1，因此直线y＝kx＋2与抛物线y＝8x有且只有一个公共点，则k＝0或k＝1. 答案：D
x2y22
3．已知椭圆C的方程为＋2＝1(m>0)，如果直线y＝x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是
16m2
椭圆的右焦点F，则m的值为( ) A．2
B．22
2
2C．8
2 D．23
2
解析：根据已知条件c＝16－m，则点(16－m，
216－m216－m2
∴＋＝1可得m＝22.
162m2 答案：B
x2y2
16－m)在椭圆＋2＝1(m>0)上，
16m
x22
4．斜率为1的直线l与椭圆＋y＝1相交于A、B两点，则|AB|的最大值为( )
4 A．2
45B.
5
410C.
5
810D. 5
22??x＋4y＝4，
解析：设椭圆截直线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由?消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0.
?y＝x＋t，?
4(t2－1)8
则有x1＋x2＝－t，x1x2＝.
55 ∴|AB|＝
4(t2－1)4282
1＋k|x1－x2|＝2·(－t)－4×＝ 555
2
5－t2，
当t＝0时，|AB|max＝ 答案：C
410
. 5
二、填空题
．直线y＝kx＋1与椭圆x25＋y2
5m＝1恒有公共点，则m的取值范围是______．
解析：∵方程x2y2
5
＋m＝1表示椭圆，∴m>0且m≠5.∵直线y＝kx＋1恒过(0,1)点，
0212
∴要使直线与椭圆总有公共点，应有：5＋m≤1，m≥1，∴m的取值范围是m≥1且m≠5.
答案： m≥1且m≠5
6．直线y＝kx－2与抛物线y2＝8x交于A、B不同两点，且AB的中点横坐标为2，则k的 是________．
解析：设A(xyy??y＝kx－2，
1，1)、B(x2，2)，由??得k2x2
－4(k＋2)x＋4＝0，
?y2
＝8x，
消去y?Δ＝[－4(k＋2)]2－4×k2
×4＞0， 由题意得?
?∴?
＞－1，
??xx4(k＋2)
1＋2＝k2＝2×2，
??k?k＝2.
?
k＝－1或k＝2，
即 答案： 2
4的直线交椭圆x27．倾斜角为π
4＋y2＝1于A、B两点，则线段AB的中点M的轨迹方程是________． 解析：设M(x，y)，A(xx21，y1)，B(x2，y2)，则有1＋y24
1＝1，① 2
x24
＋y22＝1，② ①－②得1
4
(x1＋x2)(x1－x2)＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0.③
又直线AB的斜率k＝tanπ4＝y1－y2
x－x＝1，∴y21－y2＝x1－x12.④
由中点坐标公式得x1＋x22＝x，y1＋y2
2＝y，
即x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y.⑤
把④⑤代入到③中得x＝－4y，∴直线方程为x＋4y＝0， ?x2
由?2?4＋y＝1， 得x2＝164545
??x＋4y＝0，
5.∴x1＝－5，x2＝5
.
∴点M的轨迹方程为x＋4y＝0(－
455 5 )． 值 4545 答案：x＋4y＝0(－三、解答题 8．已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y＝x＋1与该椭圆交于P和Q，且OP⊥OQ， 10 |PQ|＝，求椭圆方程． 2 解答：设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，且m≠n)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)． ??y＝x＋1，由?2消去y，整理得(m＋n)x2＋2nx＋n－1＝0，Δ＝4n2－4(m＋n)(n－1)>0， 2 ?mx＋ny＝1，? 即m＋n－mn>0，OP⊥OQ等价于x1x2＋y1y2＝0， 将y1＝x1＋1，y2＝x2＋1代入，整理得2x1x2＋(x1＋x2)＋1＝0， 2(n－1)2n ∴－＋1＝0?m＋n＝2，① m＋nm＋n 4(m＋n－mn)1023 由弦长公式，得2·＝()，将m＋n＝2代入，得mn＝.② 224(m＋n) ?m＝2， 解①②得?3n＝?2，1 ?m＝2，或?1n＝?2. 3 x23y23x2y2 显然满足Δ>0，故所求椭圆的方程为＋＝1或＋＝1. 2222 9．过抛物线焦点F的直线交抛物线于P、Q两点，PQ的垂直平分线交抛物线的对称轴于R点，求证： 1 |FR|＝|PQ|. 2 证明：证法一：如图设抛物线方程为y＝2px，p＞0则直线PQ的方程为y＝k(x－)，k≠0，设P、Q两 2点的坐标为(x1，y1)，(x2，y2) 2 py＝2px，?? 由?py＝k(x－)，?2? 2 2 2 2 2 得kx－p(k＋2)x＋ 222 k2p2 4 ＝0， ∴Δ＝p(k＋2)－4k k2p2 4 ＝4pk＋4p. 222 2 p(k2＋2)p22p(1＋k)2 且x1＋x2＝，x1x2＝，|PQ|＝1＋k|x1－x2|＝. k24k2 p(k2＋2)p?px1＋x2p(k2＋2)y1＋y2x1＋x2p?－?＝. 由＝，得＝k(－)＝k?22 2?k22k222?2k p1?p(k＋2)? ∴直线PQ垂直平分线的方程为y－＝－?x－2?， 2kkk?? p(k＋2)?pp(1＋k2)p(k2＋2)? 令y＝0，得x＝p＋，∴|FR|＝?p＋2?－2＝k2. 2 2k2k?? 1 因此|FR|＝|PQ|. 2 2 2 y2y2122 证法二：设P、Q两点坐标为(，y1)、(，y2)，由直线PQ过F点可证y1y2＝－p，|PQ|＝ 2p2p2 y2y2(y1－y2)y2－y12p1222(－)＋(y1－y2)＝，直线PQ的斜率为2. 2＝2p2p2py2y1y1＋y2 －2p2p2 y1＋y2y21＋y2 ∴直线PQ垂直平分线方程为y－＝－(x－)， 22p4py1＋y2 22 y2y2p1＋y21＋y2 令y＝0，得x＝p＋，∴|FR|＝(p＋)－ 4p4p2222 y2(y1－y2)11＋y2＋2p ＝＝，则|FR|＝|PQ|. 4p4p2 证法三：如上图，PQ的中点为M，过P、Q、M分别作PP′、MM′、QQ′垂直于抛物线的准线x＝－，连结M′F、M′P，由抛物线的定义得 2 111 |MM′|＝(|PP′|＋|QQ′|)＝(|PF|＋|QF|)＝|PQ|＝|MP|，∴∠M′PM＝∠PM′M＝∠P′PM′. 222又|PP′|＝|PF|，PM′为△PM′P′与△PM′F的公共边，∴△PM′P′≌△PM′F，则M′F⊥PQ. 又MR⊥PQ，∵M′F∥MR，又MM′∥FR，∴四边形FRMM′为平行四边形． 1 ∴|FR|＝|MM′|＝|PQ|. 2 10．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个焦点为F，M为椭圆上的任意一点，|MF|的最大值 410 和最小值的几何平均数为2，椭圆上存在着以y＝x为对称轴的点M1和M2，且|M1M2|＝，求椭圆3 方程． x2y2 解答：设所求椭圆的方程为2＋2＝1(a>b>0)， ab x2y211 M1、M2两点的坐标分别为(x1，y1)、(y1，x1)，x1>0，则(a＋c)(a－c)＝4，即b＝4，且2＋2＝1，① ab 2 2y1x21 2＋2＝1，② ab P(x1－y1)(x1＋y1)(y1－x1)(y1＋x1) ①－②得＋＝0， a2b2 11 ∵x1≠y1，∴(2－2)(x1＋y1)＝0，∴y1＝－x1，|M1M2|＝(2x1)2＋(－2x1)2＝22x1. ab41025 又|M1M2|＝，∴x1＝. 33 x2y22525205 ∴M1点的坐标为(，－)代入方程2＋＝1得2＋＝1，解得a2＝5. 33a49a9x2y2 因此所求椭圆的方程为＋＝1. 54 ★ 选做题 1．A、B是抛物线y2＝2px(p＞0)上的两点，且OA⊥OB(O为坐标原点)．求证： (1)A，B的横坐标之积为定值；(2)直线AB经过一定点． 2 证明：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y21＝2px1，y2＝2px2， 2 又∵OA⊥OB，∴x1x2＋y1y2＝0，∵y2y21·2＝4px1x2， 22 将y1y2＝－x1x2代入，得x21x2＝4px1x2，得知，x1x2≠0， ∴x1x2＝4p2，故A，B两点横坐标之积为定值4p2. 2 (2)∵y22－y1＝(y2＋y1)(y2－y1)＝2p(x2－x1)，x1≠x2.∴ y2－y12p ＝， x2－x1y1＋y2 ∴直线AB的方程为y－y1＝ 2p (x－x1)， y1＋y2 y22p2py22py1y211 又由x1＝，得y＝x＋y1－·＝x＋， 2py1＋y2y1＋y22py1＋y2y1＋y2 2p4p22p 由(1)y1y2＝－x1x2＝－4p代入，可得y＝x－＝(x－2p)， y1＋y2y1＋y2y1＋y2 2 所以直线AB过定点(2p,0)． 2．如图，设抛物线方程为x2＝2py(p>0)，M为直线y＝－2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B. (1)求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列； (2)已知当M点的坐标为(2，－2p)时，|AB|＝410.求此时抛物线的方程； x2x212 解答：(1)证明：由题意设A(x1，)，B(x2，)，x1 2p2px2xx1x2 由x＝2py得y＝，得y′＝p，所以kMA＝p，kMB＝p. 2p 2 x1x2 因此直线MA的方程为y＋2p＝p(x－x0)，直线MB的方程为y＋2p＝p(x－x0)． x2x11 所以＋2p＝p(x1－x0)，① 2p 2x2x2 ＋2pp(x2－x0)．② 2p x1＋x2x1＋x2 由①、②得＝x1＋x2－x0，因此x0＝，即2x0＝x1＋x2. 22 所以A，M，B三点的横坐标成等差数列． 222 (2)由(1)知，当x0＝2时，将其代入①、②并整理得：x21－4x1－4p＝0，x2－4x2－4p＝0， 所以x1，x2是方程x2－4x－4p2＝0的两根，因此x1＋x2＝4，x1x2＝－4p2， 2 x2x12－2p2px1＋x2x02 又kAB＝＝＝p，所以kAB＝p. 2px2－x1 由弦长公式得|AB|＝1＋k2(x1＋x2)2－4x1x2＝ 41＋2 p 16＋16p2. 又|AB|＝410，所以p＝1或p＝2，因此所求抛物线方程为x2＝2y或x2＝4y.